第七節數學歸納法 三年3考高考指數 1 了解數學歸納法的原理 2 能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題 1 歸納 猜想 證明仍是高考的重點 2 常與函數 數列 不等式 平面幾何等知識結合 在知識交匯處命題 3 題型以解答題為主 難度中等偏上 1 數學歸納法證明一個與正整數n有關的命題 可按下列步驟進行 1 證明當n取 時命題成立 這一步是歸納奠基 第一個值n0 n0 n 2 假設n k k n0 k n 時命題成立 證明當 時命題也成立 這一步是納遞推 完成這兩個步驟 就可以斷定命題對 n k 1 成立 從n0開始的所有正整數n都 即時應用 判斷下列各說法是否正確 請在括號中填寫 或 1 用數學歸納法驗證第一個值n0 則n0必定為1 2 數學歸納法的兩個步驟是缺一不可的 3 應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為條時 第一步是檢驗n等于3 4 用數學歸納法證明 1 2 22 2n 2 2n 3 1 時 驗證n 1時 左邊式子應為1 2 22 解析 1 錯誤 有些數學歸納法證明題 第一步驗證初始值不是1 可能為2 3 4等 2 正確 數學歸納法的兩個步驟缺一不可 第一步是歸納奠基 第二步是歸納遞推 3 正確 第一步檢驗n 3 即三角形的對角線條數為0 4 錯誤 驗證n 1時 左邊式子應為1 2 22 23 答案 1 2 3 4 2 數學歸納法的框圖表示 所有的正整數n 歸納遞推 歸納奠基 n k 1時命題也成立 即時應用 1 已知n為正偶數 用數學歸納法證明時 若已假設n k k 2且k為偶數 時命題為真 則還需要用歸納假設再證n 時等式成立 2 凸k邊形的內角和為f k 則凸k 1邊形的內角和為f k 1 f k 解析 1 因為假設n k k 2且k為偶數 故下一個偶數為k 2 2 從k邊形到k 1邊形 實際是多了一個三角形 故內角和比k時多 即f k 1 f k 答案 1 k 2 2 用數學歸納法證明等式 方法點睛 用數學歸納法證明等式的規則 1 數學歸納法證明等式要充分利用定義 其中兩個步驟缺一不可 缺第一步 則失去了遞推基礎 缺第二步 則失去了遞推依據 2 證明等式時要注意等式兩邊的構成規律 兩邊各有多少項 并注意初始值n0是多少 同時第二步由n k到n k 1時要充分利用假設 不利用n k時的假設去證明 就不是數學歸納法 例1 2012 煙臺模擬 是否存在常數a b c 使得等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c對一切正整數n都成立 若存在 求出a b c的值 若不存在 說明理由 解題指南 本題是開放式 存在性的問題 一般是先假設存在 利用特值求得a b c的值 而后用數學歸納法證明 規范解答 假設存在a b c使得所給等式成立 令n 1 2 3代入等式得以下用數學歸納法證明等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 對一切正整數n都成立 1 當n 1時 由以上可知等式成立 2 假設當n k時 等式成立 即 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 則當n k 1時 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 由 1 2 知 等式對一切正整數n都成立 反思 感悟 1 對于開放式的與n有關的等式證明問題 一般是先假設結論成立 利用n的前幾個取值求參數 而后用數學歸納法證明 2 在使用數學歸納法的第二步進行證明時 事實上 歸納假設 已經成了已知條件 n k 1時結論正確 則是求證的目標 可先用分析法的思路 借助已學過的公式 定理或運算法則進行恒等變形 把待證的目標拼湊出歸納假設的形式 再把運用歸納假設后的式子進行變形 證明 變式訓練 已知n n 證明 證明 1 當n 1時 左邊右邊等式成立 2 假設當n k k n 時等式成立 即有 那么當n k 1時 左邊 右邊所以當n k 1時等式也成立 綜合 1 2 知對一切n n 等式都成立 用數學歸納法證明不等式 方法點睛 用數學歸納法證明不等式應注意的問題用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n k成立 推證n k 1時也成立 證明時用上歸納假設后 可采用分析法 綜合法 求差 求商 比較法 放縮法等證明 例2 由下列不等式 你能得到一個怎樣的一般不等式 并加以證明 解題指南 由已知條件不難猜想到一般不等式 關鍵是證明 證明時由n k到n k 1時可采用放縮法 規范解答 根據給出的幾個不等式可以猜想第n個不等式 即一般不等式為 用數學歸納法證明如下 1 當n 1時 猜想成立 2 假設當n k時 猜想成立 即則當n k 1時 即當n k 1時 猜想也正確 所以對任意的n n 不等式都成立 反思 感悟 1 本例在由n k到n k 1這一步變化中 不等式左邊增加了即增加了2k項 這一點很關鍵 若項數寫不正確 該題的證明將無法正確得出 2 當n k 1時的證明中采用了放縮法 即將已知式子分母變大 從而所得結果變小 順利地與要證的式子接軌從而得以證明 此種方法是證明不等式的常用方法 應用時要注意是放大還是縮小 變式訓練 證明不等式 證明 1 當n 1時 左邊 1 右邊 2 不等式成立 2 假設當n k k n 時 不等式成立 即那么當n k 1時 方法一 分析法要證只需證 因為0 1顯然成立 所以 方法二 綜合法 放縮法 方法三 綜合法 基本不等式法 這就是說 當n k 1時 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式對任意正整數n都成立 歸納 猜想 證明 方法點睛 歸納 猜想 證明類問題的解題步驟 1 利用數學歸納法可以探索與正整數n有關的未知問題 存在性問題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 即先由合情推理發現結論 然后經邏輯推理即演繹推理論證結論的正確性 2 歸納 猜想 證明 的基本步驟是 試驗 歸納 猜想 證明 高中階段與數列結合的問題是最常見的問題 例3 2012 南京模擬 已知數列 an 滿足sn an 2n 1 1 寫出a1 a2 a3 并推測an的表達式 2 用數學歸納法證明所得的結論 解題指南 1 利用sn a1 a2 an 且sn an 2n 1 代入n 1 2 3得a1 a2 a3 從而猜想an 2 應用數學歸納法證明時 要利用n k的假設去推證n k 1時成立 規范解答 1 將n 1 2 3分別代入可得猜想 2 由 1 得n 1時 命題成立 假設n k時 命題成立 即那么當n k 1時 a1 a2 ak ak 1 ak 1 2 k 1 1 且a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 即當n k 1時 命題也成立 根據 得 對一切n n 都成立 互動探究 若本例中sn an 2n 1變為sn an 2n 其余不變 又將如何求解 解析 1 將n 1 2 3分別代入已知可得猜想 2 當n 1時 a1 1 猜想顯然成立 假設當n k k 1且k n 時 猜想成立 即那么 當n k 1時 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 當n k 1時猜想也成立 綜合 知 當n n 時猜想成立 反思 感悟 歸納 猜想 證明 是不完全歸納法與數學歸納法綜合應用的解題模式 此種方法在解探索性問題 存在性問題時起著重要的作用 特別是在數列中求an sn時更是應用頻繁 變式備選 數列 an 中 a1 1 a2 且an 1 n 2 求a3 a4 猜想an的表達式 并用數學歸納法證明你的猜想 解析 因為a1 1 a2 且所以a3 同理可求得a4 歸納猜想 下面用數學歸納法證明猜想正確 1 當n 1時 易知猜想正確 2 假設當n k k n 時 猜想正確 即那么當n k 1時 即當n k 1時 猜想也正確 由 1 2 可知 猜想對任意正整數都正確 用數學歸納法證明整除性問題或與平面幾何有關的問題 方法點睛 數學歸納法的綜合應用 1 應用數學歸納法證明整除性問題主要分為兩類 是整除數 是整除代數式 這兩類證明最關鍵的問題是 配湊 要證的式子 或是叫做 提公因式 即當n k 1時 將n k時假設的式子提出來 再變形 可證 2 應用數學歸納法證明與平面幾何有關的命題 其關鍵是從前幾項的情形中歸納出一個變化過程 用f k 1 f k 就可以得到增加的部分 然后理解為何是增加的 就可以從容解題 例4 證明下列問題 1 已知n為正整數 a z 用數學歸納法證明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 2 有n個圓 任意兩個都相交于兩點 任意三個不交于同一點 求證 這n個圓將平面分成f n n2 n 2個部分 n n 解題指南 1 當n k 1時 把ak 2 a 1 2k 1轉化成含ak 1 a 1 2k 1的形式是解題的關鍵 2 當n k 1時 第k 1個圓與前k個圓相交 平面區域增加了2k個部分是解題的關鍵 規范解答 1 當n 1時 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 假設當n k k n 時 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么當n k 1時 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 即當n k 1時 命題也成立 根據 可知 對于任意n n an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 2 當n 1時 1個圓將平面分成兩部分 f 1 2 12 1 2 2 n 1時 命題成立 假設當n k k 1 時 k個圓把平面分成f k k2 k 2個部分 當n k 1時 在k個圓的基礎上再增加一個圓與原k個圓都相交 圓周被分成2k段弧 增加了2k個平面區域 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即當n k 1時 命題也成立 綜上知 對任意n n 命題都成立 互動探究 將本例 2 中的圓變為直線 求證這n條直線將平面分成f n 個部分 n n 又將如何證明 證明 1 當n 1時 一條直線將平面分成兩部分 f 1 命題成立 2 假設當n k時 命題成立 即f k 那么當n k 1時 第k 1條直線被前k條直線分成 k 1 段 而每一段將它們所在區域一分為二 故增加了k 1個區域 即f k 1 f k k 1 即當n k 1時 命題也成立 由 1 2 可知 對任意n n 都有成立 反思 感悟 1 用數學歸納法證明整除問題 p k p k 1 的整式變形是個難點 找出它們之間的差異 然后將p k 1 進行分拆 配湊成p k 的形式 也可運用結論 p k 能被p整除且p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 2 證明與平面幾何有關的問題 其著眼點是找規律 由前幾項可找到規律 進行應用即可 變式備選 用數學歸納法證明42n 1 3n 2能被13整除 其中n為正整數 證明 1 當n 1時 42 1 1 31 2 91能被13整除 2 假設當n k k n 時 42k 1 3k 2能被13整除 則當n k 1時 方法一 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 42 k 1 1 3k 3能被13整除 方法二 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 42 3k 2 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 13 42k 1 13能被13整除 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 能被13整除 即42 k 1 1 3k 3能被13整除 當n k 1時 命題也成立 由 1 2 知 對任意n n 42n 1 3n 2都能被13整除 滿分指導 數學歸納法解答題的規范解答 典例 12分 2012 九江模擬 設數列 an 的前n項和為sn 并且滿足2sn an2 n an 0 n n 1 猜想 an 的通項公式 并用數學歸納法加以證明 2 設x 0 y 0 且x y 1 證明 解題指南 1 將n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 從而可猜想an 并用數學歸納法證明 2 利用分析法 結合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可證 規范解答 1 分別令n 1 2 3 得 an 0 a1 1 a2 2 a3 3 猜想 an n 2分由2sn an2 n 可知 當n 2時 2sn 1 an 12 n 1 得2an an2 an 12 1 即an2 2an an 12 1 3分 當n 2時 a22 2a2 12 1 a2 0 a2 2 4分 假設當n k k 2 時 ak k 那么當n k 1時 ak 12 2ak 1 ak2 1 2ak 1 k2 1 ak 1 k 1 ak 1 k 1 0 ak 1 0 k 2 ak 1 k 1 0 ak 1 k 1 即當n k 1時也成立 6分 an n n 2 顯然n 1時 也成立 故對于一切n n 均有an n 7分 2 要證只要證 8分即將x y 1代入 得即只要證4 n2xy n 1 n 2 2 即4xy 1 10分 x 0 y 0 且x y 1 即xy 故4xy 1成立 所以原不等式成立 12分 閱卷人點撥 通過閱卷數據分析與總結 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2012 南陽模擬 用數學歸納法證明等式1 2 3 n 3 n n 時 第一步驗證n 1時