第七節拋物線 三年15考高考指數 1 掌握拋物線的定義 幾何圖形 標準方程及簡單幾何性質 2 理解數形結合的思想 3 了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用 1 拋物線的定義 標準方程 幾何性質是高考的重點 拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的轉化是高考的熱點 有時與其他知識交匯命題 2 多以選擇題和填空題為主 屬中 低檔題目 有時也會在解答題中出現 屬中 高檔題目 1 拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線 1 在平面內 2 動點到定點f距離與到定直線l的距離 3 定點 定直線上 相等 不在 即時應用 1 思考 在拋物線的定義中 若定點f在定直線l上 動點的軌跡是什么 提示 若定點f在定直線l上 則動點的軌跡為過點f與定直線l垂直的一條直線 2 若動點p到點f 0 2 的距離與它到直線y 2 0的距離相等 則點p的軌跡方程為 解析 由拋物線的定義知 點p的軌跡是以點f 0 2 為焦點 y 2為準線的拋物線 其方程為 x2 8y 答案 x2 8y 2 拋物線的標準方程和幾何性質 離心率 頂點坐標 范圍 對稱軸 準線方程 焦點坐標 圖形 y2 2px p 0 標準方程 x軸 x軸 x 0 x 0 o 0 0 e 1 y2 2px p 0 性質 離心率 頂點坐標 范圍 對稱軸 準線方程 焦點坐標 圖形 標準方程 o 0 0 e 1 x2 2py p 0 y軸 y 0 y 0 x2 2py p 0 y軸 即時應用 1 思考 拋物線y2 2px p 0 上任意一點m x0 y0 到焦點f的距離與點m的橫坐標x0有何關系 若拋物線方程為x2 2py p 0 結果如何 提示 由拋物線的定義得 mf 若拋物線方程為x2 2py p 0 則 mf 2 拋物線y 4x2的焦點坐標為 解析 拋物線y 4x2的標準方程為 所以再由拋物線的焦點在y軸的非正半軸上 所以拋物線的焦點坐標為 0 答案 0 3 頂點在原點 對稱軸是x軸 且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程是 解析 因為拋物線頂點與焦點的距離等于6 所以 6 又因為頂點在原點 對稱軸是x軸 所以拋物線方程為 y2 24x 答案 y2 24x 拋物線的定義及其應用 方法點睛 利用拋物線的定義可解決的常見問題 1 軌跡問題 用拋物線的定義可以確定動點與定點 定直線距離有關的軌跡是否為拋物線 2 距離問題 涉及拋物線上的點到焦點的距離 到準線的距離問題時 注意利用兩者之間的轉化在解題中的應用 提醒 注意一定要驗證定點是否在定直線上 例1 1 2012 廣州模擬 已知拋物線的頂點在原點 焦點在y軸上 拋物線上一點m m 3 到焦點的距離為5 則拋物線的方程為 2 設p是拋物線y2 4x上的一動點 求點p到a 1 1 的距離與點p到直線x 1的距離之和的最小值 若b 3 2 拋物線的焦點為f 求 pb pf 的最小值 解題指南 1 本題可將到焦點的距離轉化為到準線的距離 以減少運算量 2 注意到直線x 1為拋物線的準線 利用拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等 即可解決 規范解答 1 設拋物線方程為x2 2py p 0 焦點為f 過點m向準線l作垂線 垂足為n 則 mn mf 5 又 mn 得p 4 故拋物線方程為x2 8y 答案 x2 8y 2 由于a 1 1 f 1 0 p是拋物線上的任意一點 則 ap pf af 從而知點p到a 1 1 的距離與點p到f 1 0 的距離之和的最小值為 所以點p到a 1 1 的 距離與p到直線x 1的距離之和的最小值也為 如圖所示 自點b作bq垂直于拋物線的準線于點q 交拋物線于點p1 此時 p1q p1f 那么 pb pf p1b p1q bq 4 即最小值為4 q o p1 f x y b 3 2 互動探究 本例 2 中 b 3 2 改為 b 1 5 結果如何 解析 因為點b的坐標為 1 5 且拋物線方程為y2 4x 所以該點在拋物線外 要求使 pb pf 最小的點p 只需bf連線與拋物線相交 其交點即為所求p點 此時 最小值即 bf 的長 bf 5 反思 感悟 本題 1 是利用拋物線的定義來求解 凡涉及到拋物線上的點到焦點的距離問題都可轉化為點到準線的距離解決 這樣能起到事半功倍的效果 2 與拋物線有關的最值問題 一般情況下都與拋物線的定義有關 將點到準線的距離轉化為點到焦點的距離 或將到焦點的距離轉化為到準線的距離 變式備選 若動圓與圓 x 2 2 y2 1外切 又與直線x 1 0相切 求動圓圓心的軌跡方程 解析 方法一 設動圓半徑為r 動圓圓心坐標為o x y 因動圓與圓 x 2 2 y2 1外切 則o 到 2 0 的距離為r 1 動圓與直線x 1 0相切 o 到直線x 1 0的距離為r 所以o 到 2 0 的距離與到直線x 2的距離相等 故o 的軌跡是以 2 0 為焦點 直線x 2為準線的拋物線 其方程為y2 8x 方法二 設動圓圓心坐標為o x y 動圓半徑為r 據題意有化簡得y2 8x 即動圓圓心的軌跡方程為y2 8x 拋物線的標準方程與性質 方法點睛 1 求拋物線的標準方程的方法及注意事項 1 方法 求拋物線的標準方程常用待定系數法 因為未知數只有p 所以 只需一個條件確定p值即可 2 注意事項 因為拋物線方程有四種標準形式 因此求拋物線方程時 需先定位 再定量 2 拋物線的標準方程及其性質的應用由拋物線的方程可求x y的范圍 從而確定開口方向 由方程可判斷其對稱軸 求p值 確定焦點坐標等 提醒 拋物線方程中的參數p 0 其幾何意義是焦點到準線的距離 例2 2011 山東高考 設m x0 y0 為拋物線c x2 8y上一點 f為拋物線c的焦點 以f為圓心 fm 為半徑的圓和拋物線c的準線相交 則y0的取值范圍是 a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解題指南 本題可先求拋物線的準線 由圓與準線相交知動圓半徑的范圍 再由拋物線方程求得點m縱坐標的取值范圍 規范解答 選c 設圓的半徑為r 因為f 0 2 是圓心 拋物線c的準線方程為y 2 由圓與準線相交知416 即有 解得y0 2或y02 反思 感悟 1 解答本題的關鍵是直線與圓相交 圓的半徑大于圓心到直線的距離 2 當點在曲線上時 點的坐標適合曲線方程 這一條件在求最值 范圍 解方程中應用比較廣泛 但容易被忽視 變式訓練 將兩個頂點在拋物線y2 2px p 0 上 另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數記為n 則 a n 0 b n 1 c n 2 d n 3 解析 選c 根據拋物線的對稱性 正三角形的兩個頂點一定關于x軸對稱 且過焦點的兩條直線傾斜角分別為30 和150 這時過焦點的直線與拋物線最多只有兩個交點 如圖 所以正三角形的個數n 2 變式備選 已知拋物線y2 2px p 0 的準線與圓x2 y2 6x 7 0相切 則p的值為 a b 1 c 2 d 4 解析 選c 由y2 2px 得拋物線準線方程 圓x2 y2 6x 7 0可化為 x 3 2 y2 16 由圓心到準線的距離等于半徑得 3 4 所以p 2 直線與拋物線的位置關系 方法點睛 1 直線與拋物線的位置關系的判定設直線方程ax by c 0與拋物線方程y2 2px p 0 聯立 消去x得到關于y的方程my2 ny l 0 2 直線與拋物線相交的幾個結論已知拋物線y2 2px p 0 過其焦點的直線交拋物線于a b兩點 設a x1 y1 b x2 y2 則有以下結論 1 ab x1 x2 p或 ab 為ab所在直線的傾斜角 2 3 y1y2 p2 4 過拋物線焦點且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑 拋物線的通徑長為2p 提醒 直線與拋物線有一個交點 并不表明直線與拋物線相切 因為當直線與對稱軸平行 或重合 時 直線與拋物線也只有一個交點 例3 已知拋物線c y2 2px p 0 過點a 1 2 1 求拋物線c的方程 并求其準線方程 2 是否存在平行于oa o為坐標原點 的直線l 使得直線l與拋物線c有公共點 且直線oa與l的距離等于 若存在 求直線l的方程 若不存在 說明理由 解題指南 1 用待定系數法求出拋物線方程及其準線方程 2 依題意設直線l的方程為y 2x t 聯立直線與拋物線的方程 利用判別式限制參數t的范圍 再由直線oa與直線l的距離等于列出方程 求出t的值 規范解答 1 將 1 2 代入y2 2px 得 2 2 2p 1 p 2 故所求的拋物線方程為y2 4x 其準線方程為x 1 2 假設存在符合題意的直線l 其方程為y 2x t 由得y2 2y 2t 0 因為直線l與拋物線c有公共點 所以 4 8t 0 解得t 另一方面 由直線oa與直線l的距離等于可得 t 1 由于 1 1 所以符合題意的直線l存在 其方程為y 2x 1 反思 感悟 1 求拋物線方程 一般是先設出拋物線方程 注意拋物線的開口方向 焦點的位置 用待定系數法求解 2 研究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓 雙曲線的位置關系的方法類似 一般是聯立兩曲線方程 但涉及拋物線的弦長 中點 距離等問題時 要注意 設而不求 整體代入 點差法 以及定義的靈活應用 變式訓練 已知拋物線c y2 4x的焦點為f 直線y 2x 4與拋物線c交于a b兩點 則cos afb a b c d 解析 選d 聯立 消y得x2 5x 4 0 解得x 1或x 4 不妨設a在x軸上方 于是a b的坐標分別為 4 4 1 2 可求 ab af 5 bf 2 利用余弦定理cos afb 滿分指導 直線與拋物線綜合問題的規范解答 典例 12分 2011 福建高考 已知直線l y x m m r 1 若以點m 2 0 為圓心的圓與直線l相切于點p 且點p在y軸上 求該圓的方程 2 若直線l關于x軸對稱的直線為l 問直線l 與拋物線c x2 4y是否相切 說明理由 解題指南 1 設出點p坐標 根據切線特點求出點p坐標 從而求出圓的半徑 然后寫出圓的標準方程 也可根據條件設出圓的方程 然后根據直線與圓相切的條件列式求解 2 由l的方程求得l 的方程 將l 的方程與拋物線c的方程聯立 得一元二次方程 然后依據對應判別式 來判定兩者能否相切 規范解答 方法一 1 依題意 點p的坐標為 0 m 因為mp l 所以解得m 2 即點p坐標為 0 2 2分從而圓的半徑r mp 故所求圓的方程為 x 2 2 y2 8 6分 2 因為直線l的方程為y x m 所以直線l 的方程為y x m 由 得x2 4x 4m 0 8分 42 4 4m 16 1 m 當m 1 即 0時 直線l 與拋物線c相切 當m 1 即 0時 直線l 與拋物線c不相切 11分綜上 當m 1時 直線l 與拋物線c相切 當m 1時 直線l 與拋物線c不相切 12分方法二 1 設所求圓的半徑為r 則圓的方程可設為 x 2 2 y2 r2 依題意 所求圓與直線l y x m相切于點p 0 m 則 解得 4分所以所求圓的方程為 x 2 2 y2 8 6分 2 同方法一 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數據分析與總結 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2011 新課標全國卷 已知直線l過拋物線c的焦點f 且與c的對稱軸垂直 l與c交于a b兩點 ab 12 p為c的準線上一點 則 abp的面積為 a 18 b 24 c 36 d 48 解析 選c 由題知 ab 2p 12 得p 6 又點p到直線ab的距離為p 6 2 2011 遼寧高考 已知f是拋物線y2 x的焦點 a b是該拋物線上的兩點 af bf 3 則線段ab的中點到y