動力學普遍方程拉格朗日方程 拉格朗日方程 引言 將達朗伯原理和虛位移原理結合起來推導出動力學普遍方程和拉格朗日方程 動力學普遍方程中系統的運動是直角坐標來描述的 而拉格朗日方程是用廣義坐標來描述系統的運動 兩者都是用來解決非自由質點系的動力學問題 它是用分析的方法解決動力學問題的出發點 因此它是分析力學的基礎 對于解決復雜的非自由質點系的動力學問題 應用拉格朗日方程往往要比用動力學普遍方程簡便得多 1 1 動力學普遍方程 設由n個質點組成的質點系 由達朗伯原理知 在質點系運動的任一瞬時 任一質點上作用的主動力 約束反力及其慣性力三者構成形式上的平衡力系 即 對該質點系應用虛位移原理 為此 取質點系的任何一組虛位移 則得 設該質點受的是理想約束 則有 故 1 1 動力學普遍方程 即 將上式寫成解析式 則有 以上兩式是由達朗伯原理和虛位移原理相結合而得到的結果 稱為動力學普遍方程 也稱達朗伯 拉格朗日方程 動力學普遍方程可以敘述如下 在理想約束條件下 在任一瞬時作用在質點系上所有的主動力和虛加的慣性力 在該瞬時質點系所處位置的任何虛位移上的元功之和等于零 1 1 動力學普遍方程 例1圖示滑輪系統中 動滑輪上懸掛著重為的重物 繩子繞過定滑輪后 掛著重為的重物 設滑輪和繩子的重量不計 求重為的重物下降的加速度 解 以系統為研究對象 系統具有理想約束 系統所受的主動力為 假想加上慣性力 其中 給系統以虛位移和 由動力學普遍方程 得 由運動學關系 代入上式得 1 1 動力學普遍方程 例2有兩個半徑皆為r的輪子 中心用連桿相連 在傾角為的斜面上作純滾動 如圖 設輪重皆為P 對輪心的轉動慣量皆為J 連桿重量為Q 求連桿運動的加速度 解 以系統為研究對象 系統具有理想約束 系統所受的主動力有它們的重力 假想加上慣性力 如圖 其中 1 1 動力學普遍方程 給連桿以平行斜面移動的虛位移 則輪子有相應的轉動虛位移 根據動力學普遍方程 即 1 2 拉格朗日方程 一 拉格朗日方程 設有n個知點組成的知點系 受完整的理想約束 具有N個自由度 其位置可由N個廣義坐標來確定 則有 是廣義坐標對 這就是拉格朗日方程 簡稱拉氏方程 它是由N個二階常微分方程組成的方程組 將此微分方程組積分 就可以得出以廣義坐標表示的質點的運動方程 1 2 拉格朗日方程 二 保守系統的拉格朗日方程 在上述條件下 如果質點系所受的主動力都是有勢力 就得到保守系統的拉格朗日方程 式中為質點系動能和勢能之差 稱為拉格朗日函數 這就是保守系統的拉格朗日方程 三 應用拉格朗日方程解題的步驟 1 確定研究對象 一般以整個系統 判斷系統的自由度數目 選取合適的廣義坐標 2 分析系統的運動 寫出用廣義坐標及廣義速度表示的系統的動能 速度及角速度均為絕對的 1 2 拉格朗日方程 3 計算對應每個廣義坐標的廣義力 當主動力為有勢力時 需要寫出用廣義坐標表示的勢能及拉格朗日函數 4 計算諸導數 或 5 寫出拉格朗日方程并加以整理 得到N個二階常微分方程 由2N個初始條件 解得運動方程 1 2 拉格朗日方程 例3在水平面內運動的行星齒輪機構如圖 已知動齒輪半徑為r 重為P 可視為均質圓盤 曲柄OA重Q 可視為均質桿 定齒輪半徑為R 今在曲柄上作用一不變的力偶 其矩為M 使機構運動 求曲柄的運動方程 解 以整個系統為研究對象 系統具有一個自由度 取曲柄轉角為廣義坐標 由運動學關系知 動齒輪的角速度與曲柄的角速度的關系為 則系統的動能為 1 2 拉格朗日方程 給曲柄以虛位移 則對應的廣義力為 求諸導數 1 2 拉格朗日方程 即 積分得曲柄的運動方程為 式中 分別為初始轉角和初始角速度 1 2 拉格朗日方程 例4如圖輪A的質量為 在水平面上只滾動不滑動 定滑輪B的質量為 兩輪均為均質圓盤 半徑均為R 重物C的質量為 彈簧的彈性系數為 試求系統的運動微分方程 解 以系統為研究對象 系統具有一個自由度 取x為廣義坐標 x從重物的平衡位置量起 系統的動能為 設系統平衡時彈簧的靜伸長為 則有關系式 即 1 2 拉格朗日方程 以系統平衡位置為彈力及重物C的零勢能位置 則系統的勢能為 利用前面的關系 整理得 代入保守系統的拉格朗日方程得 即為系統的運動微分方程 則拉格朗日函數為 1 2 拉格朗日方程 例5如圖 均質圓輪的質量為 半徑為R 在水平面上只滾動不滑動 桿長L質量為與輪在圓心A鉸接 試求系統的運動微分方程 解 以系統為研究對象 系統具有兩個自由度 取x和為廣義坐標 系統的動能為 整理后得 1 2 拉格朗日方程 系統的勢能為 則拉格朗日函數為 1 2 拉格朗日方程 1 2 即為系統的運動微分方程 1 2 拉格朗日方程 例6如圖輪為均質圓盤 質量為 半徑為R 輪心O及重物A只能沿鉛直方向運動 重物A的質量為 彈簧剛性系數為 原長為 試求系統的運動微分方程 解 以系統為研究對象 系統具兩個自由度 取x和為廣義坐標 系統的動能為 系統的廣義力為 1 2 拉格朗日方程 2 1 2 即為系統的運動微分方程 1 2 拉格朗日方程 例7如圖 物體A的質量為 B輪質量為 半徑為R 在水平面上只滾動不滑動 物體A與水平面無摩擦 彈簧剛性系數為 試求系統的運動微分方程 解 以系統為研究對象 系統具兩個自由度 選取 為廣義坐標 系統的動能為 系統的廣義力為 1 2 拉格朗日方程 1 2 1 2 即為系統的運動微分方程 1 2 拉格朗日方程 例8實心均質圓柱A和質量分布與邊緣的空心圓柱B 質量分別為 半徑均為R 兩者用通過定滑輪的繩索相連 如圖 設圓柱A沿水平面作純滾動 滾動摩擦不計 圓柱B鉛直下降 試求兩圓柱的角加速度和質心的加速度 解 以系統為研究對象 系統具兩個自由度 選取 為廣義坐標 系統的動能為 系統所受主動力只有重力 且皆為有勢力 取過圓柱的水平面為零勢面 則系統的勢能為 1 2 拉格朗日方程 故拉格朗日函數為 求諸導數 1 1 2 拉格朗日方程 2 聯立求解方程 1 2 得 于是角加速度為 1 2 拉格朗日方程 例9質量為的金屬板放置在光滑水平面上 板上有半徑為r 質量為的均質圓柱 圓柱在板上作純滾動而不滑動 今有一水平常力拉動金屬板 試求圓柱純滾的角加速度和金屬板的加速度 解 以系統為研究對象 系統具兩個自由度 選取 為廣義坐標 系統的動能為 系統的廣義力為 1 2 拉格朗日方程 求諸導數 1 2 解得 1 1 動力學普遍方程 例3均質圓柱體A和B質量均為m 半徑均為R 圓柱A可繞固定軸O轉動 一繩繞在圓柱A上 繩的另一端繞在圓柱B上 求B下落時 質心C點的加速度 摩擦不計 解 以系統為研究對象 系統所受的主動力有圓柱的重力 設兩輪的角加速度為 輪B質心的