第3章 機械能和功 一、功1、功能的定義式：恒力的功：變力的功：2、保守力若某力所作的功僅取決于始末位置而與經歷的路徑無關，則該力稱保守力。或滿足下述關系的力稱保守力： 3、幾種常見的保守力的功：（1）重力的功：（2）萬有引力的功：（3）彈性力的功：4、功率 二、勢能保守力的功只取決于相對位置的改變而與路徑無關。由相對位置決定系統所具有的能量稱之為勢能。1、常見的勢能有（1）重力勢能 （2）萬有引力勢能 （3）彈性勢能 2、勢能與保守力的關系（1）保守力的功等于勢能的減少 （2）保守力為勢能函數的梯度負值。 （3）勢能曲線 勢能曲線能很直觀地表述一維運動的主要特征，如運動范圍，平衡位置，保守力隨位置的變化情況，動能與勢能的相互轉換等。三、動能定理、功能原理、機械能守恒定律 功可分為：外力的功、保守內力的功、和非保守內力的功1、 質點動能定理：2、質點系動能定理：3、功能原理：4、機械能守恒定律：，時，第3章 機械能和功 【例3-1】已知三種力如下：；。式中、為x、y方向的單位矢量，為速度方向的單位矢量，、K為常數。（1）分別計算這三種力沿任意路徑所作的功；（2）判斷哪是保守力，哪是非保守力； 【解】（1）根據題意及功的定義，處理、力作功取直角坐標，處理力作功取自然坐標，原點選在運動的開始點，則：（2）根據保守力的定義： （s為閉合路徑的長度） 因此、為保守力，為非保守力。【例3-2】輕彈簧AB的上端A固定，下端B懸掛質量為的重物。已知彈簧原長，勁度系數為，重物在O點達到平衡，此時彈簧伸長了，如圖所示。取軸向下為正，且坐標原點位于：（1）彈簧原長位置；（2）力的平衡位置。若取原點為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，試分別計算重物在任一位置時系統的總勢能。【解】（1）以彈簧原長點為坐標原點，系統總勢能 （2）若以重力與彈性力合力的平衡位置為原點，則有 任意位置x處的系統總勢能： 由此可知，以重力和彈性力合力的平衡位置為原點為勢能的零點，它的總勢能與只有彈性勢能的是等效的。這樣勢能零點的選取，應用在實際問題中就方便多了。 這一結果還可以從另一方面來理解，重力和彈性力都是保守力，它的合力F也應是保守力，現取重力和彈性力的平衡位置為坐標原點，則合力的大小 與單純只有彈性力一樣，因為它的總勢能就應 【例3-3】雙原子分子的勢函數可表示為：式中a、b為正常數，這勢函數曲線可如題圖3-3a所示，如果雙原子分子的總能量為零。求：（1）雙原子之間的最小距離； （2）雙原子之間平衡位置的距離； （3）雙原子之間最大引力時的兩原子距離； （4）勢阱深度Ed: （5）畫出與勢能曲線相應的原子之間的相互作用力曲線。【解】（1）由題意雙原子的總能量為零，即 當動能時，為最大，兩原子之間有最小距離 解得： （2）平衡位置的條件為F=0。 又有勢函數與兩原子相互作用力的關系： 可得： （3）最大引力的條件為： 即： 此時兩原子相距：（4）將平衡位置兩原子之間的距離代入勢函數公式，可得勢阱深度： （5）分子之間相互作用的勢能曲線可用題圖3-3a表示，由保守力與勢能系數的關系： 可知，勢能曲線斜率的負值應為保守力的大小。勢能曲線上極小植的位置處應有： 也就是在位置處，保守力F為零。 在勢能曲線的拐點位置處應有： 也就是保守力F的最小值的位置，由此可畫出圖3-3b的分子間相互作用力隨位置的關系曲線的大致情況了 【例3-4】在密度為的液面上方，懸掛一根長為，密度為的均勻棒A B，棒的B端剛和液面接觸如題圖3-4a，今剪斷細繩，設細棒只在浮力和重力作用下運動，在的條件下，求細棒下落過程中的最大速度，以及細棒能潛入液體的最大深度H。 【解】現在只要求某一狀態的情況，采用功能原理解題比較方便。先求棒B端沉入液面處浮力F所作的功（設棒的橫截面積為s）：時：重力所作的功： 由動能定理得： （1）要求細棒下沉最大的速度也是相當于求細棒動能的最大值，我們將上式對求導，并使等于零。 （2）解得 時細棒有最大動能。將此式代入（1）式可得細棒最大速度。 即： 得：（2）式告訴我們，當細棒的重力等于浮力時，棒在處已達到最大速度了，當細棒繼續下沉時，向上的浮力大于重力，速度將不斷變小，當棒沉到最深位置H處，棒的速度為零，也就是重力所作的功與浮力所作的功正好抵消的位置，我們可以列出方程：上式中我們應注意到棒全部沒入液體已為恒力。解得：由此式可知棒要全部沒入液體中的條件為：，即：解得：，這也就是題目所規定的條件。（在或的情況，請讀者自己考慮。） 【例3-5】若在近似圓形軌道上運行的衛星受到塵埃的微弱空氣阻力的作用，設阻力與速度的大小成正比，比例系數為常數，即，試求質量為的衛星，開始在離地心（為地球半徑）隕落到地面所需的時間。【解】衛星運行時間內，阻力所作的功 （1）衛星在運行軌道處它的向心力是萬有引力提供的： （2）由此可得衛星的動能：而衛星的勢能：可得衛星在運行軌道處的總機械能： （3）由功能原理將（2）式代入上式 （4）比較（1）、（4）式得：得 積分得： 第3章 機械能和功 3.1 如圖所示，一質點在幾個力作用下沿半徑的圓周運動，其中有一恒力，求質點從A開始沿逆時針方向經圓周到達B的過程中，力所做的功。3.2 質量為m的小球系于繩的一端，繩長為，上端A固定，如圖所示。今設水平變力作用在該小球上，使小球極其緩慢地移動，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態，直到繩子與豎直方向成角，（1）試用變力作功方法計算力力的功；（2）計算重力所做的功。3.5 一質點在外力（試中為常量）作用下由點運動到點，如圖所示。（1）求在此過程中外力所做的功；（2）判斷外力是否為保守力? 3.6 地球質量為M，半徑為R，一質點質量為m，處于距地心處。求質點地球系統在此相對位置時的引力勢能：（1）取無窮遠處為勢能零點參考位置；（2）取地球表面為勢能零點參考位置。 3.8 一粒子沿x軸運動，其勢能的函數曲線如圖所示。若該粒子所具有的總能量，試分析：（1）該粒子的運動范圍；（2）粒子的平衡位置；（3）粒子在處的動能；（4）粒子受到最大力的位置。3.12 在如圖所示裝置中，定滑輪高度為，重物質量，拉力，方向豎直向下，若不計滑輪與軸承間摩擦和重物與地面間的摩擦，將重物自靜止開始從位置拉到位置時的速度。3.17 彈簧原長正好等于圓環半徑R，彈簧下懸掛一質量為m的重環，當彈簧的總長時重環正好達到平衡狀態。現將彈簧的一端系于豎直放置的圓環上端A點，將重環套在光滑圓環上，AB長為，重環在B點由靜止釋放沿圓環滑動，如圖所示。試求：重環滑到最低點C處時的加速度以及對圓環的壓力。3.19 質量為m的衛星，沿圓軌道繞地球運行。地球的質量為M，半徑為R，試求：（1）要使衛星進入的圓軌道，其發射速度至少應多大?（2）要使衛星飛離地球至無窮遠處，至少應做多少功?3.20 在一半徑為的星球表面（無大氣層），若以的速度豎直上拋一物體，則該物體上升的最大高度為，試問：該星球的逃逸速度（即脫離該星球的最小速度）為多大?3.22 如圖所示，一質量為m，長為的柔索放在桌面上，柔索跨過輕滑輪下垂，其問摩擦不計，柔索與桌面間的摩擦系數為。（1）求下垂長度至少為多長時，柔索開始下滑？（2）計算柔索全部離開桌面時的速度。第3章 機械能和功 答案 3.1 3.2（1）； （2） 3.5 3.6（1）； （2） 3.8（1） （2） （3） （4） 3.12 3.17 ， 3.19（1）；（2） 3.22（