1 數學思想與方法復習資料 2013.6 一，填空題 (每題 3 分，本題共 30 分 ) 1. 化歸方法包含的三個要素是： 化歸對象、化歸目標、化歸途徑 。 2. 算法的有效性是指， 如果使用該算法從它的初始化數據出發，能夠得到這一問題的正確解 。 3. 數學的研究對象大致可以分成兩類： 研究數量關系； 研究空間形式 。 4. 一個科學的分類標準必須能夠將需要分類的數學對象，進行 不重復、無遺漏 的劃分。 5. 根據學生掌握數學思想方法的過程有潛意識階段、明朗化階段和 深刻理解階段等三個階段，可相應地將小學數學思想方法數學設計成 多次孕育、初步理解、簡單應用 三個階段。 6. 九章算術思想方法的特點 是開放的歸納體系 算法化的內容 模型化的方法。 7. 抽象的含義：抽象是對同類事物 抽取其共同的本質屬性或特征，舍去其非本質的屬性或特征的思維過程。 8. 在反例反駁中，構造一個反例必須滿足條件 （ 1）反例滿足構成猜想的所有條件（ 2）反例與構成猜想的結論矛盾。 9. 化歸方法的三個要素是 化歸對象， 化歸目標，化歸途徑。 10. 算法可分為 多項式算法 ，指數型算法 兩大類 . 11. 任何分類都必須遵循下列原則 : 不重復，無遺漏，標準同一，按層次逐步劃分 12. 數學的研究對象大致可以分成如下兩類 確定性現象和隨機性現象 13. 所謂特殊化是指在研究問題時， 從對象的一個給定集合出發，進而考慮某個包含于該集合的較小集合的思想方法 的思想方法。 14. 小學數學思想方法教學的主要階段是： 形象抽象思維，即由具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段 . 15三段論是演繹推理的主要形式，三段論由 大前提，小前提，結論 組成。 16. 學生理解或掌握數學 思想方法的過程有如下三個主要階段 對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類 。 17面對一個問題，經過認真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面人手：演繹證明此猜想為真；或者 尋找反例說明此猜想為假 ，并且進一步修正或否定此猜想。 18變量數學產生的數學基礎是 解析幾何 ，標志是 微積分 。 19化歸方法是將 疑難問題 轉化為已知問題。 20公理方法是從盡可能少的初始概念和公理出發，應用嚴格的 邏輯推理 ，使一門數學構建成為演繹系統的一種方法。 21數學的第一次危機是由于出現了 無理數 (或 ) 而造成的。 22數學猜想具有兩個明顯的特點： 科學性 與 推測性 。 23所謂社會科學數學化就是指數學向 社會科學 的滲透，運用數學方法來揭示 社會現象 的一般規律。 24分類必須遵循的原則是 不重復；無遺漏；標準同一 。 25深層類比又稱實質性類比，它是通過 對被比較對象的處理相互依存的各種相似屬性之間的多種因果關系的分析 而得到的類比。 26. 幾何原本所開創的 公理化 方法不僅成為一種數學陳述模式，而且還被移植到 其它 2 學科，并且促進它們的發展。 27. 隨機現象的特點是 在一定條件下，可能發生某種結果，也可能不發生某種結果 。 28. 等腰三角形概念的抽象過程，就是把一個新的特征： 兩邊相等 ，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強化。 29. 類比法是指， 由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。 30. 面對一個問題，經過認真的觀察和思考，通過歸納或者類比提出猜想，然后從兩個方面入手：演繹證明此猜想為真；或者 尋找反例說明此猜想為假 ，并且進一步修正或否定此猜想。 二、判斷題 (每題 4 分 ，本題共 20 分 ) 1中國古代數學中使用的數學方法是演繹的方法。 錯誤， 中國古代數學中使用的數學方法是開放的歸納體系 2幾何原本是人類歷史上最早的演繹的公理化體系。 正確 幾何原本是人類歷史上最早形成的演繹體系，是公理體系在具體學科中應用成功的標志，并以此為開端的。 3微積分的建立標志著變量數學的誕生。 正確 4完全歸納法的一般推理形式是： 設 S= A1, A2,-, An,-由于 A1 具有屬性 p， A2 具有屬性 p， An 具有屬性 p，因此推斷集合 S 中的每一個對象都具有屬性 p。 錯誤 此題給出的是不完全歸納法的定義 5如果某一問題存在算法，并且進一步構造出這個算法，就一定能夠求出該問題的解。 錯誤 如果某一問題存在算法，并進一步構造出這個算法，也不一定能夠求出該問題的解 6數學模型方法是近代才產生的。 ( 否 ) 7在小學數學教學中，本教材所涉及到的數學思想方法并不多見。 ( 否 ) 8所謂特殊化是指在研究問題時，從對象的一個給定集合出發，進而考慮某個包含于該集合的較小集合的思想。 ( 是 ) 9既沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包括數學 思想方法的數學知識。 ( 是 ) 10對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類。 ( 是 ) 11. 九章算術不包括代數、幾何內容。（否） 12. 抽象和概括是兩種完全不同的方法。（否） 13. 沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包含數學思想方法的數學知識。（是） 14. 數學模型方法是物理學、工程學的專利，在生物學、經濟學、軍事學等領域沒有應用。（否） 15. 在解決數學問題時，往往需要綜合運用多種數學思想方法才能奏效 .(是 ) 16. 計算機是數學的創造物，又是數學的 創造者。（是） 3 17. 一個數學理論體系內的每一命題都是必須給出證明。（否） 18. 如果某一類問題存在算法，并且構造出這個算法，就一定能求出該問題的精確解。（否） 19. 對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類。（是） 20. 數學思想方法教學隸屬數學教學范疇，只要貫徹通常的數學教學原則就可實現數學思想方法教學目標。（否） 21.九章算術不包括代數、幾何內容 （否） 22.既沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包括數學思想方法的數學知識（是） 23.對同一數學對象，若選取不同的標準， 可以得到不同的分類（是） 24.特殊化是研究共性中的個性的一種方法（否） 25.數學模型方法應用面很窄（否） 26.隨機現象就是雜亂無章的現象，無論是個別還是整體，其隨機現象都沒有規律性。 （） 27.數學學科的新發展 分形幾何，其分形的思想就是講某一對象的細微部分放大后，其結構與原先的一樣。（） 28.我國中小學數學成績舉世公認，“高分必然產生高創造力”，我 國中學生的科學測試成績名列前茅。（） 29 我國數學課程標準指出。數學知識就是“數與形以及演繹的知識”。（） 30.數學基礎知識與數學思想方法是數學教學的兩條主線，而且是兩條明線。（） 三、簡答題 (每題 10 分，本題共 30 分 ) 1簡述確定性現象、隨機現象的特點以及確定數學的局限 確定性現象特點：在一定條件下，其結果完全被決定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即這種現象在一定的條件下必然會發生某種結果，或者必然不會發生某種結果 隨即現象的特點：在一定條件下，可能發生某種結果，也可能不發生某 種結果。 確定數學的局限性：隨機現象并不是雜亂無章的現象，就個體而言，似乎沒什么規律存在，但當同類現象大量出現時，在總體上卻呈現出一種規律性，但是確定數學無法定量地揭示這種規律性 2簡述數學建模的基本步驟。 數學建模的方法和步驟是： 弄清實際問題：包括了解問題的實際背景知識，從中提取有關的信息，明確要達到的目標。 化簡問題：根據問題的特點和目的，做出某種核力的假設，舍棄一些次要因素，從而使問題得以化簡。 建模：在假設的基礎上，抓住主要因素和有關量之間的關系進行抽象概括，運用適當的數學工具刻畫變量之間的數 量關系，建立起相應的數學結構 求解：對所得的模型在數學上進行推理或演算，求出數學上的結果 檢驗：把數學上的結論返回到實際問題中。若模型與實際比較溫和，則對所得結果給出實際含義，并進行解釋。倘若經過檢驗與實際不符，就必須對所得模型加以修正，重復前面的建模過程。 3什么是類比猜想 ?并舉一個例子。 人們運用類比法，根據一類事物所具有的某種屬性，得出其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想 分式與分數非常相似，只不過是用字母替代數而已，因此，我們可以猜想，分式與分數在定義、 基本性質、約分、通分、四則運算等方面都是對應相似的。 事實也如此。 4 4簡述概括與抽象的關系。 答：概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯系。抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間不一定有種屬關系。概括是在思維中由認識個別事物的本質屬性，發展到認識具有這種本質屬性的一切事物，從而形成關于這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個屬概念。概括和抽象雖有差別，但又是互相聯系、密不可分的。抽象是概括的基礎 ，沒有抽象就不能認識任何事物的本質屬性，就無法概括。概括也是抽 象思維過程中所必須的一個環節，前述“收括”操作實際上也是一個概括過程，有人就把“收括”稱之為概括，由于對共同點的概括才能得出對象的本質屬性，從而完成抽象過程。 評分標準： (1)答對，得 3 分； (2)答對，得 3 分； (3)答對，得 4 分； (4)完整答出，得 10 分。 5簡述培養數學猜想能力的途徑。 答：猜想能力培養可以通過數學教學，如：新知識的學習、數學規律的尋求、解題思路的探索等途徑 來實現。 評分標準： (1)答對，得 3 分； (2)答對，得 3 分； (3)答對，得 4 分； (4)完整答出，得 10 分。 6微積分產生可以歸結為哪四類情況 ? 答：這些問題歸結到數學上主要有如下四類情況。 第一類是：已知物體移動的距離為時間的函數，求物體瞬時速度和加速度；反過來，已知物體的加速度為時間的函數，求速度和距離。 第二類是：求曲線切線的斜率和方程。 第三類是：求函數的最大值與最小值。 第四類是：求曲線 的長度，曲邊梯形的面積，曲面圍成的物體的重心。 這四類問題的核心是求一個常量無法確定的量 變量 問題。 評分標準： (1)答對，得 2 5 分； (2)答對，得 2 5 分； (3)答對，得 2 5 分； (4)答對，得 2 5 分； (5)完整答出，得 10 分。 7. 為什么說幾何原本是一個封閉的演繹體系？ 幾何原本以少數原始概念和公設、公里為基礎，運用邏輯規則將當時所知的幾何學中的主要命題（定理）全部推演出來，從而形成一個井然有序的整體。在這個 體系中除了邏輯規則外，每個定理的證明所采用的論據均是公設、公里或前面已證明的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。 5 另外，幾何原本回避任何與社會生產現實生活有關的應用問題，對社會生活的各個領域來說也是封閉的。 因此，幾何原本是一個相對封閉的演繹體系。 8. 簡述計算機在數學方面的三種新用途。 第一，用來證明一些數學命題；第二，用來預測某些數學問題的可能結果；第三，用來驗證某些數學問題的結果的正確性 9. 試用框圖表示出 MM 方法解題的基本步驟 。 MM 方法解題的基本步驟可用框圖表示為： 10. 簡述化歸方法在數學數學中的應用。 化歸方法在數學數學中的應用至少有以下三個方面： 利用化歸方法學習新知識； 利用化歸方法指導解題； 利用化歸方法整理知識結構。 11. 試對九章算數思想方法的一個特點“算法化的內容”加以說明。 答：九章算術在每一章內都先列舉若干實際問題，并對每個問題給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解法。以后遇到同類問題， 只要按“術”給出的程序去做就一定能能求出問題的答案；書中的“術”其實就是算 法。 12. 簡述數學抽象的特征。 答：數學抽象有以下特點：無物質性；層次性；數學抽象過程要憑借分析或直覺；數學抽象不僅有概念抽象還有方法抽象。 13. 為什么將“化隱為顯”列為數學思想方法教學的一條原則？ 答：由于數學抽象方法往往隱含在數學知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但如果不是有意識地把數學思想方法作為教學對象，在數學學習時，學生常常只注意到處于表層的數學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數學思想方法教學時必須以數學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化 ，才能通過知識教學過程達到思想方法教學的目的。 14. 簡述用數學模型方法解決實際問題的基本步驟。 答：用 MM 方法解決實際問題的基本步驟為： 從現實原型抽象概括出數學模型； 在數學模型上進行邏輯推理、論證或演算，求得數學問題的解； 從數學模型再過渡到現實原型，即將研究數學模型所得到的結論，返回到現實原型上去，求得實際問題的解答。 15. 試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程。 答：特殊化解決問題的過程可用框圖表示為： 6 16.簡述培養數學猜想能力的途徑 答：猜想能力培養可以通過數學教學，如： 1.新知識的學習， 2.數學規律的尋求， 3、解題思路的探索等途徑來實現。 17.簡述特殊化方法要數學教學中的應用。 答： 1.利用特殊值（圖形）解選擇題， 2.利用特殊化探求問題結論， 3.利用特例檢驗一般結果， 4.利用特殊化探索解題思路。 18.什么是歸納猜想：并舉一個例子說明。 答： 1.人們運用歸納猜想，得出一類現象的某種一般性認識的一種推測性的判斷，即猜想這種思想方法稱為歸納猜想。 2.例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發現它們的值總是近似地等于 3.14，于是提出了圓周率是 3.14 的猜想。后來數學家從理論上證明圓周率的數值為 ， 果然和 3.14 很接近。 19.簡述概括與抽象的關系。 答： 1 概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又是十分密切的聯系。抽象是舍棄事物的些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來抽象的概念之間不一定有種屬關系。 2.概括是在思維中由認識個別事物的本質屬性一，發展認識肯有這種本質屬性的一切事物，從而形成關于這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個屬 概念。 3.概括和抽象雖有差別，但又是互相聯系，密不可分的，抽象是概括的基礎，沒有抽象就不能認識任何事物的本質屬性，就無法概括。概括也是抽象思維過程中必須的一個環節，前述“收括”操作實際上也是一個概括過程，有人把“收括”稱之為概括，由于對共同點的概括才能得出對象的本質屬性，從而完在抽象過程。 20.在實施數學思想方法教學時應注意哪些問題？ 答：為了切實加強數學思想方法教學，應注意以下幾點事項： 1.要把數學思想方法的學習納入教學目標，并在教案中設計好數學思想方法的教學內容教學過程； 2.重視數學知識發生、發展的 過程，認真設計數學思想方法教學的目標； 3.做好數學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作； 4.不同類型的數學思想方法應有不同的教學要點； 5.注意不同數學思想方法的綜合運用。 21.簡述類比的含義，數學中常用的類比有哪些？ 答：所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。類比又稱為類比法，或者類比推理。 在數學中，常見的類比有：直線和平面的類比，平面與空間的類比，數與式的類比，方程與不等式的類比，數與形的類比，一元與多元的類比，有限與無線的類比。 22.簡述計 算工具的發展。 答：經歷了古代的計算工具；手搖計算機、對數計算尺等機械式計算工具；電動式計算機；機電式計算機；集成電路計算機、大規模集成電路計算機幾個主要階段。 23.簡述小學數學加強數學思想方法教學的重要性，具體表現？ 答：數學思想方法是聯系知識與能力的紐帶，是數學科學的靈魂，它對發展學生的數學 7 能力，提高學生的思想品質都有十分重要的作用。 具體表現在： 掌握數學思想方法能更好地理解數學知識。 數學思想方法對數學問題的解決有著重要的作用。 加強數 學思想方法的教學是以學生發展為本的必然要求。 24.簡述類比的含義，數學中常用的類比有哪些？ 答： 所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。數學中常用的類似有表層類比、深層類比、溝通類比。 25.常量數學應用的局限性是什么？ 答： 在建立了太陽中心理論后， 17 世紀的人們面臨了如何改進計算行星位置，以及如何解釋地球上靜止的物體保持不動、下降的物體還落在地球上等之類的問題。 這類問題的核心是物體的運動。而對這類帶有運動特征的問題，人們已有的數學知識：算術、初等代數、初等幾何和三解等構成的初等數學，顯得無效。 由于初等數學都是以不變的數量（即常量）和固定的圖形為其研究對象（因此這部分內容也稱為常量數學）。運用這些知識可以有效地描述和解釋相對穩定的事物和現象。可是，對于這些運動變化的事物和，它們顯然無能為力。 26.簡述代數解題方法的基本思想。 答：代數解題方法的基本思想是， 首先依據問題的條件組成內含已知數和未知數的 代數式，并按等量關系列出議程； 然后通過對方程進行恒等變換求出未知數的值。 27.簡述九章自術與幾何原本兩大著作的特點。 答：幾何原本特點：封閉的演繹體系、抽象化的內容、公理化的方法； 九章算術特點：開放的歸納體系、算法化的內容、模型化的方法。 28.為什么說數學模型方法是一種迂回式化歸？ 答： 1。運用數學模型方法解決問題時，不是直接求出實際問題的解，因為這樣做往往是行不通或者花費過分昂貴。 2。而是先將實際問題化歸為一個合適的數學模型，然后通過求數學模型的解間接 求出原實際問題的解，走的是一條迂回的道路。 3 因此，我們說數學模型方法是一種迂回式化歸。 29.特殊化在數學教學中的作用有哪些？ 答： 1 利用特殊值（圖形）解選擇題 1 利用特殊化探求問題結論 2 利用特例檢驗一般結果 3 利用特殊化探索解題思路 30.為什么數形結合方法在數學中有著非常廣泛的應用？ 答： 1.，數學研究的是現實世界的數量關系和空間形式，而現實世界本身是同時兼備數與形兩種數形的。既不存在有數無形的客觀對象，也不存在有形無數的客觀對象。 2，因此，在數學發展的進程中，數和形常常結合在一起，在內容上互相聯系， 在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉換 3.，充分運用數形結合方法解決數學問題，對于溝通代數，三角，幾何各分支之間的聯系，提高分析問題，解決問題的能力具有重要作用 四、解答題 (本題 20 分 ) 1. 運用方程模型解應用題時，其中最重要的是“設想問題已經解出”、“用兩種不同方式表示同一個量”、“方程個數和未知量個數相等”這三個要點。這是為什么 ?請闡述你的理解。 答： “設想問題已經解出”，即在列式時將未知量與已知量同等對待。這是列方程中的一 8 個重要思想，也是它優于算術之處。設問題中的已知量為 a， b， c，算術中 的列式為： 未知量 f（ a， b， c）（通常省去“未知量”） 未知量只能列在等號左邊，且系數必須為 1，已知量只能在等號右邊出現。已知量 與未知量的地位截然不同。若用字母 x 表示未知量，則方程式為： f（ x， a， b， c） g（ x， a， b， c） 未知量與已知量處于同等地位，都可以在等號兩邊出現，于是列式就容易對了。 “用兩種不同表達式表示同一量”，這是列方程的關鍵。通常按形式定義方程為“含有未知量的等式”，其實也可以說，方程就是用兩種不同的方法去表示同一個量。 “方程個數和 未知量個數相等”，否則就不會得到確定的解。這里有個自由度的思想。當未知量個數多于方程個數時，就會出現不定方程（組）。這是方程組的解一般會有無窮多個。 2. 論述幾何原本和九章算術思想方法的特點。 答：幾何原本的思想方法的特點： 封閉的演繹體系 因為在幾何原本中，除了推導時所需要的邏輯規則外，每個定理的證明所采用的論據均是公設、公理或前面已經證明過的定理，并且引入的概念 (除原始概念 )也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾何原本是一個封閉的 演繹體系。 另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會生產現實生活有關的應用問題，因此對于社會生活的各個領域來說，它也是封閉的。 所以，幾何原本是一個封閉的演繹體系。 抽象化的內容 幾何原本中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關系，不討論這些概念和命題與社會生活之間的關系，也不考察這些數學模型所由之產生的現實原型。因此幾何原本的內容是抽象的。 公理化的方法 幾何原本的第一篇中開頭 5 個公設和 5 個公理，是全書其 它命題證明的基本前提，接著給出 23 個定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據只有公設和公理與前面已經證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。 九章算術的思想方法的特點： 開放的歸納體系 從九章算術的內容可以看出，它是以應用問題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會實踐緊密聯系的開放體系。 在九章算術中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一類 問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領域中各種問題的方法；最后，把解決各領域中問題的數學方法全部綜合起來，就得到整個九章算術。 另外該書還按解決問題的不同數學方法進行歸納，從這些方法中提煉出數學模型，最后再以數學模型立章寫入九章算術。 因此，九章算術是一個開放的歸納體系。 算法化的內容 9 九章算術在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解法。因此，內容的算法化是九章算術思想方法上的特點之一。 模型化的方法 九章算術各章都是先從相應的社會實踐中選擇具有典型意義的現實原型，并把它們表述成問題，然后通過“術”使其轉化為數學模型。當然有的章采取的是由數學模型到原型的過程，即先給出數學模型，然后再舉出可以應用的原型。 評分標準： ， (1)答對，得 3 分； (2)答對，得 3 分； (3)答對，得