二次函數的圖象與各項系數之間的關系一、學習目標l 通過觀察二次函數的圖象的形成過程，導出二次函數的圖象與系數的關系；l 能根據字母間的關系判斷二次函數的性質；l 理解和探索相關二次函數的圖象之間的關系二、知識回顧1拋物線y=ax2+bx+c的開口方向與什么有關? 與二次項系數a.2拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點坐標是（0，c）3拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是三、新知講解1二次函數圖象與的關系二次項系數，決定了拋物線開口的大小和方向：a的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小（1）當a0時，拋物線開口向上；當a0時，拋物線與y軸交于正半軸；當c0時，拋物線與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，拋物線與x軸有一個交點；當b2-4ac0，則a+b+c0；（2）當x=1時，若y=0，則a+b+c=0；（3）當x=1時，若y0，則a+b+c0，則a-b+c0；（2）當x=-1時，若y=0，則a-b+c=0；（3）當x=-1時，若y0，則a-b+c0四、典例探究掃一掃，有驚喜哦！1根據二次函數各項系數的符號判斷二次函數圖象【例1】（2013秋臨沂期末）如圖，若a0，b0，c0，則拋物線y=ax2+bx+c的大致圖象為（）a b c d總結：1. 此類題一般采取排除法解決.2. 二次函數中的系數a，b，c的符號決定了二次函數圖象的大概位置，其中：（1） 由a的符號可以確定二次函數圖象的開口方向；（2） 由a，b的符號可以確定拋物線對稱軸的位置；（3） 由c的符號可以確定拋物線與y軸交點的位置.練1（2011招遠市模擬）已知二次函數y=ax2+bx+a21的圖象如下圖，若b0，則符合條件的圖象為（）a b c d2根據一次函數圖象推斷二次函數圖象【例2】（2011秋安慶期中）已知直線y=ax+b如圖所示，則二次函數y=ax2+bx+3的圖象可能是（）a bc d總結：已知一次函數圖象判斷二次函數圖象的方法：（1） 先根據一次函數圖象的位置，判斷a，b的符號；（2） 再結合二次函數各項系數來判斷二次函數圖象的位置；（3） 一般采用排除法.練2（2013上城區二模）已知函數y=（xm）（xn）（其中mn）的圖象如下圖所示，則函數y=nx+m的圖象可能正確的是（）a b c d3根據二次函數的圖象判斷式子符號【例3】（2014秋廣河縣校級期中）已知二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，請結合圖象，判斷下列各式的符號abc；b24ac；a+b+c；ab+c總結：已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象，可以得到以下信息（1）a的符號：由拋物線的開口方向確定；（2）c的符號：由拋物線與y軸的交點位置確定；（3）b的符號：由a及對稱軸的位置確定；（4）b2-4ac的符號：由拋物線與x軸的交點個數確定；（5）a+b+c的符號：由x=1時拋物線上的點的位置確定；（6）a-b+c的符號：由x=-1時拋物線上的點的位置確定；（7）2ab的符號：由對稱軸的位置及直線x=1 或x=-1的位置共同確定練3（2014資陽一模）如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，對稱軸x=1，給出四個結論：abc0；2a+b=0；b24ac；ab+c0其中正確結論個數是（）a0 b1 c2 d3五、課后小測一、選擇題1（2015畢節市）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關系式錯誤的是（）aa0 bb0 cb24ac0 da+b+c02（2015普陀區一模）如果二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，那么（）aa0，b0，c0 ba0，b0，c0ca0，b0，c0 da0，b0，c03（2013秋張家港市期末）已知二次函數y=ax2+bx+c，若a0，c0，那么它的圖象大致是（）a b c d4（2014臺山市模擬）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，則一次函數y=ax+c的圖象大致是（）a b c d5（2013密云縣二模）如圖，二次函數y=ax2+bx+c中a0，b0，c0，則它的圖象大致是（）a bc d6（2012常德模擬）當a0，b0，函數y=ax2+bx與函數y=ax+b的圖象是（）a b c d7（2012鞍山三模）在同一直角坐標系內，二次函數y1=ax2+bx+c與y2=cx2+bx+a的圖象大致為（）a b c d8（2012秋蕭山區校級月考）已知：a0，b0，c0，則二次函數y=a（x+b）2+c的圖象可能是（）a bc d9（2011棗陽市自主招生）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結論錯誤的是（）ab24ac0 bab+c0 cabc0 d2a+b010（2011綿陽校級自主招生）已知二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，給出以下結論：a+b+c0；ab+c0；b+2a0；abc0其中所有正確結論的序號是（）a b c d11（2009秋河西區期末）已知二次函數y=ax2+bx+c的系數滿足abc0，則它的圖象可能是（）a b c d 12（2015春鼓樓區校級月考）已知二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=0.5，判斷點（a+b+c，abc）在第（）象限a一 b二 c三 d四二、解答題13已知函數y=ax2+bx+c，若a0，b0，c0，問這個函數的圖象與x軸交點情況14二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結論正確的有哪些？并說明理由（1）3a+b0；（2）0ba+1；（3）b+2a0；（4）a典例探究答案：【例1】分析：由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷解答：解：a0，拋物線的開口方向向下，故第三個選項錯誤；c0，拋物線與y軸的交點為在y軸的負半軸上，故第一個選項錯誤；a0，b0，對稱軸為x=0，對稱軸在y軸右側，故第四個選項錯誤故選b點評：考查二次函數y=ax2+bx+c的圖象與系數符號的關系練1分析：由拋物線的開口向下可知a的符號，由對稱軸為x=0可以推出b的取值范圍，然后即可作出選擇解答：解：選項a，b對稱軸為y軸，對稱軸為x=0，即b=0，故此選項錯誤；c、拋物線開口向上，x=0a、b異號，即b0故此選項正確；d、拋物線開口向下，x=0a、b異號，即b0故此選項錯誤；故選：c點評：本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，根據對稱軸符號以及a的符號得出是解題關鍵【例2】分析：利用一次函數圖象得出a，b的符號進而得出二次函數開口方向和對稱軸位置，即可得出答案解答：解：已知直線y=ax+b如圖所示：故a0，b0，a，b異號，二次函數對稱軸在x軸正半軸，且開口向下，故選：b點評：此題主要考查了一次函數與二次函數圖象與系數的關系，熟練利用一次函數性質得出a，b符號是解題關鍵練2分析：根據圖象可得出方程=（xm）（xn）=0的兩個實數根為m，n，且一正一負，又mn，則m0n根據一次函數y=nx+m的圖象的性質即可得出答案解答：解：如圖，函數y=（xm）（xn）（其中mn），拋物線與x軸的兩個交點橫坐標分別是m，n，且m0ny=nx+m的圖象經過第一、三象限，且與y軸交于負半軸故選：d點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題以及一次函數的性質，是重點內容要熟練掌握【例3】分析：拋物線開口向下得到a0，對稱軸在y軸的左側，a與b同號，得到b0，拋物線與y軸的交點在x軸的下方得到c0，于是abc0；拋物線與x軸沒有交點，所以=b24ac0；取x=1，觀察圖象得到圖象在x軸下方，則x=1，y=a+b+c0；取x=1，觀察圖象得到圖象在x軸下方，則x=1，y=ab+c0解答：解：拋物線開口向下，則a0，對稱軸在y軸的左側，則x=0，則b0，拋物線與y軸的交點在x軸的下方，則c0，abc0；拋物線與x軸沒有交點，所以=b24ac0；當自變量為1時，圖象在x軸下方，則x=1時，y=a+b+c0；當自變量為1時，圖象在x軸下方，則x=1時，y=ab+c0點評：本題考查了二次函數圖象與系數的關系，對于二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右（簡稱：左同右異）；常數項c決定拋物線與y軸交點拋物線與y軸交于（0，c）拋物線與x軸交點個數=b24ac0時，拋物線與x軸有2個交點；=b24ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；=b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點練3分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷解答：解：拋物線的開口向上，a0，與y軸的交點為在y軸的負半軸上，c0，對稱軸為x=0，a、b異號，即b0，abc0；故本結論正確；對稱軸為x=1，2a=b，2a+b=0；故本結論正確；從圖象知，該函數與x軸有兩個不同的交點，所以根的判別式=b24ac0，即b24ac；故本結論正確；由圖象知，x=1時y0，所以ab+c0，故本結論錯誤故選d點評：本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式以及特殊值的熟練運用課后小測答案：一、選擇題1解：a、拋物線開口向下，則a0，所以a選項的關系式正確；b、拋物線的對稱軸在y軸的右側，a、b異號，則b0，所以b選項的關系式正確；c、拋物線與x軸有2個交點，則=b24ac0，所以d選項的關系式正確；d、當x=1時，y0，則a+b+c0，所以d選項的關系式錯誤故選d2解：圖象開口方向向上，a0；圖象的對稱軸在x軸的正半軸上，0，a0，b0；圖象與y軸交點在y軸的負半軸上，c0；a0，b0，c0故選：c3解：a0，圖象開口向下，故a、b錯誤；c0，圖象與y軸的交點在x軸的上方，故c錯誤；故d正確；故選：d4解：拋物線開口向上，與y軸交于正半軸，a0，c0，一次函數y=ax+c的圖象經過第一、二、三象限故選a5解：二次函數y=ax2+bx+c中a0，該函數圖象開口方向向上故d錯誤；二次函數y=ax2+bx+c中a0，b0，對稱軸x=0故b錯誤；二次函數y=ax2+bx+c中c0，該函數圖象與y軸交于負半軸，故c錯誤故選a6解：a0，y=ax2+bx圖象開口向上，排除c、d；a0，b0，函數y=ax+b圖象經過第一、三、四象限，排除a，故選b7解：a、當二次函數y1=ax2+bx+c的圖象的開口方向是向下，a0，二次函數y2=cx2+bx+a與y軸交于負半軸；故本選項錯誤；b、當二次函數y1=ax2+bx+c的圖象的開口方向是向下，a0；又對稱軸x=0，b0，而該函數與y軸交于負半軸，c=0；二次函數y2=cx2+bx+a變為一次函數，故本選項錯誤；c、當二次函數y1=ax2+bx+c的圖象的開口方向是向上，a0，二次函數y2=cx2+bx+a與y軸交于正半軸；故本選項錯誤；d、當二次函數y1=ax2+bx+c的圖象的開口方向是向上，a0，此時c0，二次函數y2=cx2+bx+a與y軸交于正半軸；故本選項正確故選d8解：當a0時，二次函數的圖象的開口向上，選項b和c錯誤；c0，二次函數的圖象的頂點的縱坐標是負數，在x軸的下方，選項a、d都符合，b0，二次函數的圖象的頂點的橫坐標是b0，即頂點在y軸的右邊，選項d錯誤；只有選項a正確；故選a9解：a、圖象與x軸有2個交點，依據根的判別式可知b24ac0，故本選項正確；b、當x=1時，y=ab+c0，故本選項正確；c、圖象開口向上，a0，與y軸交于負半軸，c0，對稱軸在y軸右側，0，b0，abc0，故本選項錯誤；d、對稱軸在1的左邊，1，又a0，2a+b0，故本選項正確故選c10解：當x=1時，y=a+b+c=0，故錯誤；當x=1時，圖象與x軸交點負半軸明顯大于1，y=ab+c0，故正確；由拋物線的開口向下知a0，對稱軸為0x=1，2a+b0，故正確；對稱軸為x=0，a0a、b異號，即b0，由圖知拋物線與y軸交于正半軸，c0abc0，故錯誤；正確結論的序號為故選：b11解：當a0時，因為abc0，所以b、c異號，由d圖可知c0，故b0，0，即函數對稱軸在y軸左側，選項（d）不符合題意由b圖可知c0，故b0，0，即函數對稱軸在y軸右側，選項（b）不符合題意顯然a0時，開口向下，因為abc0，所以b、c同號，對于a、由圖象可知c0，則b0，對稱軸0，即函數對稱軸在y軸右側，a不正確；對于 c，c0，則b0，對稱軸0，c選項正確故選c12 解：拋物線開口向下，a0，拋物線的對稱軸在y軸的右側，b0，所以a選項錯誤；拋物線與y軸的交點在x軸上方，c0，abc0，x=1時，y0，a+b+c0，點（a+b+c，abc）在第四象限故選d二、解答題13解：=b24ac0，這個函數圖象與x軸有兩個交點，設這個函數圖象與x軸兩個交點的坐標為（x1，0）、（x2，0），x1x2=，a0，c0，x1x20，一個在x軸的正半軸，另一個在x