備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2.了解微積分基本定理的含義.1.考查形式多為選擇題或填空題2.考查簡單定積分的求解如2012年江西t11等3.考查曲邊梯形面積的求解如2012年湖北t3，山東t15，上海t13等4.與幾何概型相結(jié)合考查如2012年福建t6等.歸納知識整合1定積分(1)定積分的相關概念在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義當函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(左圖中陰影部分)一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa，xb之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx.f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.探究1.若積分變量為t，則f(x)dx與f(t)dt是否相等？提示：相等2一個函數(shù)的導數(shù)是唯一的，反過來導函數(shù)的原函數(shù)唯一嗎？提示：一個函數(shù)的導數(shù)是唯一的，而導函數(shù)的原函數(shù)則有無窮多個，這些原函數(shù)之間都相差一個常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時，只要找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，這樣有利于計算3定積分f(x)g(x)dx(f(x)g(x)的幾何意義是什么？提示：由直線xa，xb和曲線yf(x)，yg(x)所圍成的曲邊梯形的面積2微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且f(x)f(x)，那么f(x)dxf(b)f(a)，這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式為了方便，常把f(b)f(a)記成f(x)，即f(x)dxf(x)f(b)f(a)自測牛刀小試1.dx等于()a2ln 2b2ln 2cln 2 dln 2解析：選ddxln xln 4ln 2ln 2.2(教材習題改編)一質(zhì)點運動時速度和時間的關系為v(t)t2t2，質(zhì)點作直線運動，則此物體在時間1,2內(nèi)的位移為()a. b.c. d.解析：選as(t2t2)dt.3(教材習題改編)直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊梯形的面積為_解析：x2dxx3.答案：4(教材改編題)dx_.解析：由定積分的幾何意義可知，dx表示單位圓x2y21在第一象限內(nèi)部分的面積，所以dx.答案：5由曲線y，直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_解析：作出圖象如圖所示解方程組可得交點為a，b，所以陰影部分的面積，dx2ln 2.答案：2ln 2利用微積分基本定理求定積分例1利用微積分基本定理求下列定積分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)x(x1)dx；(4)dx；(5) sin2dx.自主解答(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3x2.(4)dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(5) sin2 dxdxdxcos xdxxsin x.求定積分的一般步驟計算一些簡單的定積分，解題的步驟是：(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；(3)分別用求導公式找到一個相應的原函數(shù)；(4)利用牛頓萊布尼茲公式求出各個定積分的值；(5)計算原始定積分的值1求下列定積分：(1)|x1|dx；(2) dx.解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.利用定積分的幾何意義求定積分例2dx_.自主解答dx表示y與x0，x1及y0所圍成的圖形的面積由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y與x0，x1及y0所圍成的圖形為個圓，其面積為.dx.在本例中，改變積分上限，求dx的值解：dx表示圓(x1)2y21在第一象限內(nèi)部分的面積，即半圓的面積，所以dx. 利用幾何意義求定積分的方法(1)當被積函數(shù)較為復雜，定積分很難直接求出時，可考慮用定積分的幾何意義求定積分(2)利用定積分的幾何意義，可通過圖形中面積的大小關系來比較定積分值的大小2(2013福建模擬)已知函數(shù)f(x)(cos tsin t)dt(x0)，則f(x)的最大值為_解析：因為f(x)sindtcoscoscos sin xcos x1sin11，當且僅當sin1時，等號成立答案：1利用定積分求平面圖形的面積例3(2012山東高考)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()a.b4c. d6自主解答由y及yx2可得，x4，即兩曲線交于點(4,2)由定積分的幾何意義可知，由y及yx2及y軸所圍成的封閉圖形面積為(x2)dx.答案c若將“yx2”改為“yx2”，將“y軸”改為“x軸”，如何求解？解：如圖所示，由y及yx2可得x1.由定積分的幾何意義可知，由y，yx2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為f(x)dxdx(x2)dxx. 利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1)畫出曲線的草圖(2)借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限(3)將“曲邊梯形”的面積表示成若干個定積分的和或差(4)計算定積分，寫出答案3(2013鄭州模擬)如圖，曲線yx2和直線x0，x1，y所圍成的圖形(陰影部分)的面積為()a.b.c.d.解析：選d由x或x(舍)，所以陰影部分面積sdxdx.定積分在物理中的應用例4列車以72 km/h的速度行駛，當制動時列車獲得加速度a0.4 m/s2，問列車應在進站前多長時間，以及離車站多遠處開始制動？自主解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.設t s后的速度為v，則v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)設列車由開始制動到停止所走過的路程為s，則svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20500.2502500(m)，即列車應在進站前50 s和進站前500 m處開始制動1變速直線運動問題如果做變速直線運動的物體的速度v關于時間t的函數(shù)是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時刻ta到tb所經(jīng)過的路程為v(t)dt；如果做變速直線運動的物體的速度v關于時間t的函數(shù)是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時刻ta到tb所經(jīng)過的路程為v(t)dt.2變力做功問題物體在變力f(x)的作用下，沿與力f(x)相同方向從xa到xb所做的功為f(x)dx.4一物體在力f(x)(單位：n)的作用下沿與力f(x)相同的方向運動了4米，力f(x)做功為()a44 jb46 jc48 j d50 j解析：選b力f(x)做功為10dx(3x4)dx10x202646.1個定理微積分基本定理由微積分基本定理可知求定積分的關鍵是求導函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導與積分是互為逆運算3條性質(zhì)定積分的性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進行3個注意定積分的計算應注意的問題(1)若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須分清誰是積分變量；(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限不小于積分下限；(3)面積非負， 而定積分的結(jié)果可以為負. 易誤警示利用定積分求平面圖形的面積的易錯點典例(2012上海高考)已知函數(shù)yf(x)的圖象是折線段abc，其中a(0,0)，b，c(1,0)函數(shù)yxf(x)(0x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_解析由題意可得f(x)所以yxf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx(10x10x2)dxx3.答案1本題易寫錯圖形面積與定積分間的關系而導致解題錯誤2本題易弄錯積分上、下限而導致解題錯誤，實質(zhì)是解析幾何的相關知識和運算能力不夠致錯3解決利用定積分求平面圖形的面積問題時，應處理好以下兩個問題：(1)熟悉常見曲線，能夠正確作出圖形，求出曲線交點，必要時能正確分割圖形；(2)準確確定被積函數(shù)和積分變量1由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()a.b.c.d.解析：選a由得x0或x1，由圖易知封閉圖形的面積(x2x3)dx.2(2012山東高考)設a0.若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析：由題意dxa2.又，即xa2，即aa2.所以a.答案：一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.dx()aln xln2xb.1c. d.解析：選cdx.2(2012湖北高考)已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()a. b.c. d.解析：選b由題中圖象易知f(x)x21，則所求面積為2(x21)dx2.3設函數(shù)f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，則x0等于()a1 b.c d2解析：選cf(x)dx(ax2b)dx9a3b，則9a3b3(axb)，即x3，x0.4設f(x)則f(x)dx()a. b.c. d不存在解析：選c如圖f(x)dxx2dx(2x)dxx3.5以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t秒時刻的速度v4010t2，則此物體達到最高時的高度為()a. m b. mc. m d. m解析：選av4010t20，t2，(4010t2)dt4028 (m)6(2013青島模擬)由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()a. b1c. d.解析：選d結(jié)合函數(shù)圖象可得所求的面積是定積分cos xdxsin x.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7設asin xdx，則曲線yf(x)xaxax2在點(1，f(1)處的切線的斜率為_解析：asin xdx(cos x)2，yx2x2x2.y2xx2xln 22.曲線在點(1，f(1)處的切線的斜率ky|x142ln 2.答案：42ln 28在等比數(shù)列an中，首項a1，a4(12x)dx，則該數(shù)列的前5項之和s5等于_解析：a4(12x)dx(xx2)18，因為數(shù)列an是等比數(shù)列，故18q3，解得q3，所以s5.答案：9(2013孝感模擬)已知a，則當(cos xsin x)dx取最大值時，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1，a，當a時，sin1取最大值答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10計算下列定積分：(1) sin2xdx；(2)2dx；(3)e2xdx.解：(1) sin2xdxdx0.(2)2dxdx(24ln 2)ln 3ln 2ln .(3) e2xdxe2xe.11如圖所示，直線ykx分拋物線yxx2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值解：拋物線yxx2與x軸兩交點的橫坐標為x10，x21，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積s(xx2)dx.又由此可得，拋物線yxx2與ykx兩交點的橫坐標為x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知s，所以(1k)3，于是k1 1.12如圖，設點p從原點沿曲線yx2向點a(2,4)移動，直線op與曲線yx2圍成圖形的面積為s1，直線op與曲線yx2及直線x2圍成圖形的面積為s2，若s1s2，求點p的坐標解：設直線op的方程為ykx，點p的坐標為(x，y)，則(kxx2)dx(x2kx)dx，即，解得kx2x32k，解得k，即直線op的方程為yx，所以點p的坐標為.1一物體做變速直線運動，其vt曲線如圖所示，則該物體在 s6 s間的運動路程為_解析：由題圖可知，v(t)因此該物體在 s6 s間運動的路程為sv(t)dt2tdt2dtdtt22t|(m)答案： m2計算下列定積分：(1) (3x22x1)dx；(2)dx.解：(1) (3x22x1)dx(x3x2x) 24.(2)dxxdxdxdxx2ln x(e21)(ln eln 1)e2.3求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解：由得交點a(1,1)；由得交點b(3，1)故所求面積sdxdx.4某技術監(jiān)督局對一家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠進行產(chǎn)品質(zhì)量檢測時，得到了下面的資料：這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀，其運動規(guī)律屬于變速直線運動，且速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)滿足函數(shù)關系式v(t)某公司擬購買一臺顆粒輸送儀，要求1 min行駛的路程超過7 673 m，問這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀能否被列入擬挑選的對象之一？解：由變速直線運動的路程公式，可得st2dt(4t60)dt140dtt3(2t260t)140t7 133 (m)2時，yminf(a)a22.點評利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，要特別注意自變量的取值范圍，同時還要注意對稱軸與區(qū)間的相對位置關系如本題化為含參數(shù)的二次函數(shù)后，求解最值時要注意區(qū)分對稱軸與定義域的位置關系，然后再根據(jù)不同情況分類解決2換元法換元法是指通過引入一個或幾個新的變量，來替換原來的某些變量(或代數(shù)式)，以便使問題得以解決的一種數(shù)學方法在學習中，常常使用的換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式靈活選擇換元的方法，以便將復雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)最值問題如可用三角換元解決形如a2b21及部分根式函數(shù)形式的最值問題例2設a，br，a22b26，則ab的最小值是_解析因為a，br，a22b26，所以令acos ，bsin ，r.則abcos sin 3sin()，所以ab的最小值是3.答案3點評在用換元法時，要特別注意換元后新元的取值范圍如本題換元后中間變量r，這是由條件a，br得到的3不等式法利用不等式法求解函數(shù)最值，主要是指運用基本不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法常常使用的基本不等式有以下幾種：a2b22ab(a，b為實數(shù))，(a0，b0)，ab2(a，b為實數(shù))例3函數(shù)f(x)(0xt4,00)上的最小值為_解析因為f(x)ln x1，所以當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增當0tt2時，t無解；當0tt2，即0t時，f(x)minf；當tt2，即t時，f(x)在t，t2上單調(diào)遞增，f(x)minf(t)tln t.所以f(x)min答案f(x)min點評本題是函數(shù)在不定區(qū)間上的最值問題，因此區(qū)間的位置要全部考慮到，不要遺漏5導數(shù)法設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，則f(x)在a，b上的最大值和最小值應為f(x)在(a，b)內(nèi)的各極值與f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用這種方法求函數(shù)最值的方法就是導數(shù)法例5函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值，最小值分別是_，_.解析因為f(x)3x23，所以令f(x)0，得x1(舍正)又f(3)17，f(1)3，f(0)1，易得，f(x)的最大值為3，最小值為17.答案317點評(1)利用導數(shù)法求函數(shù)最值的三個步驟：一是求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值，二是求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)，三是比較上述極值與區(qū)間端點函數(shù)值的大小，即得函數(shù)的最值(2)函數(shù)的最大值點及最小值點必在以下各點中取得，導數(shù)為零的點，導數(shù)不存在的點及區(qū)間端點6數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值的一種常用的方法這種方法借助幾何意義，以形助數(shù)，不僅可以簡捷地解決問題，還可以避免諸多失誤，是我們開闊思路、正確解題、提高能力的一種重要途徑例6對a，br，記max|a，b|函數(shù)f(x)max|x1|，|x2|(xr)的最小值是_解析由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得x.所以f(x)其圖象如圖所示由圖形，易知當x時，函數(shù)有最小值，所以f(x)minf.答案點評用數(shù)形結(jié)合的方法求解函數(shù)最值問題，其關鍵是發(fā)現(xiàn)條件中所隱含的幾何意義，利用這個幾何意義，就可以畫出圖形，從而借助圖形直觀地解決問題如將本題化為分段函數(shù)的最值問題后，可以用分段求解函數(shù)最值的方法去解二、巧用數(shù)形結(jié)合妙解3類求參數(shù)問題數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，既要分析問題的代數(shù)含義，又要揭示其幾何意義，把“數(shù)”與“形”巧妙地結(jié)合起來，并利用“結(jié)合”尋找解題的思路，使問題得到圓滿解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來解決問題的一種重要思想方法通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”把復雜問題簡單化，抽象問題具體化，充分利用形的直觀性和數(shù)的嚴謹性來思考問題，拓展了思路，這就是數(shù)形結(jié)合的核心價值通過以下三個方面體會數(shù)形結(jié)合思想的運用1通過基本函數(shù)模型及變式的圖象求參數(shù)的取值范圍或值例1已知函數(shù)f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()a(1,10)b(5,6)c(10,12) d(20,24)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，再畫出直線yd(0d1)，如圖所示，直觀上知0a1,1b10,10c12，再由|lg a|lg b|，得lg alg b，從而得ab1，則10abc12.答案c點評通過圖形可以發(fā)現(xiàn)a，b，c所在的區(qū)間，再把絕對值符號去掉，就能發(fā)現(xiàn)ab1，這樣利用數(shù)形結(jié)合就可把問題化難為易了2.通過函數(shù)的零點與方程的解的相互關系求函數(shù)零點和方程的解及參數(shù)的范圍例2已知mr，函數(shù)f(x)x22(m21)x7，g(x)(2m2m2)xm.(1)設函數(shù)p(x)f(x)g(x)如果p(x)0在區(qū)間(1,5)內(nèi)有解但無重根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)設函數(shù)h(x)是否存在m，對于任意非零實數(shù)a，總存在唯一非零實數(shù)b(ba)，使得h(a)h(b)成立？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由解(1)因為