完全數(shù)（人教版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)） 哈爾濱市阿城區(qū)解放小學(xué)校 趙啟良【摘要】完全數(shù)是數(shù)學(xué)史上一個(gè)饒有趣味的著名問(wèn)題，這一內(nèi)容主要是對(duì)第一單元“因數(shù)與倍數(shù)”知識(shí)的補(bǔ)充。通過(guò)教學(xué)，進(jìn)一步鞏固因數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)猜想的意識(shí)及類(lèi)比、邏輯推理等數(shù)學(xué)思想方法，從而感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力?！窘滩姆治觥客耆珨?shù)是義務(wù)教育教科書(shū)六年制數(shù)學(xué)第十冊(cè)第8頁(yè)的內(nèi)容，本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是因數(shù)知識(shí)的拓展材料，教材之所以如此安排，意在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步了解因數(shù)的相關(guān)知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的美麗之處。1. 教學(xué)目標(biāo)（1）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、討論、感知生活中的完全數(shù)。 （2）幫助學(xué)生初步掌握找完全數(shù)的方法，培養(yǎng)數(shù)感及邏輯推理等能力。 （3）培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，引導(dǎo)學(xué)生具有合作探究的學(xué)習(xí)意識(shí)。2. 學(xué)情分析學(xué)生通過(guò)對(duì)因數(shù)的學(xué)習(xí)，掌握了找因數(shù)的方法，但是查找較大數(shù)據(jù)的因數(shù)時(shí)容易遺漏，另外對(duì)于因數(shù)的學(xué)習(xí)和完全數(shù)的了解只停留在表面，無(wú)深入的理解和認(rèn)識(shí)。3.教學(xué)重點(diǎn)理解完全數(shù)的概念，掌握找完全數(shù)的方法。4.教學(xué)難點(diǎn)掌握找完全數(shù)的方法。5.教學(xué)用具白板、課件、學(xué)習(xí)單【教學(xué)過(guò)程】 一、談話(huà)導(dǎo)入（課件出示“完美”一詞）同學(xué)們，這個(gè)詞認(rèn)識(shí)嗎？大聲齊讀一下！誰(shuí)知道它是什么意思？是啊！正如大家所言：優(yōu)秀的，沒(méi)有瑕疵的就是完美。其實(shí)，生活中不乏完美，只要我們善于發(fā)現(xiàn)，就一定能找到。這節(jié)課老師就帶領(lǐng)大家在數(shù)學(xué)的王國(guó)里去尋找一下完美！二、新授1.（出示課件：（）+（）+（）=（）X（）X（）師：請(qǐng)看下面的問(wèn)題，請(qǐng)你找出一組自然數(shù)，填入下面的框圖中，使等式成立，要求在同一形狀的框圖中填入相同的數(shù)。師：同學(xué)們，按照這樣的要求，實(shí)際上需要找?guī)讉€(gè)自然數(shù)呢？（3個(gè)）師：說(shuō)的很好！那大家思考一下。生：學(xué)生匯報(bào)師：我們驗(yàn)證一下，左邊1+2+3=6，1x2x3=6 左邊=右邊，完全正確！那你能說(shuō)一說(shuō)你是怎樣嘗試尋找的呢？預(yù)設(shè)：學(xué)生：因?yàn)榈仁阶筮吺羌臃?，右邊是乘法，又是自然?shù)之間的運(yùn)算，所有數(shù)一定要盡量小，因此我就試了試1、2、3，果然是這樣。評(píng)價(jià)：看來(lái)，你對(duì)數(shù)字的感覺(jué)和對(duì)乘法運(yùn)算的理解非常好，尤其是還經(jīng)過(guò)了縝密的邏輯推理。師：好，我們回過(guò)頭來(lái)理解一下這個(gè)數(shù)字6,6既等于1+2+3，又等于1x2x3，真奇妙！那么1、2、3這三個(gè)數(shù)字對(duì)于6來(lái)講可以叫做6的什么？（加數(shù)或因數(shù)）師：6的因數(shù)只有1、2、3嗎？（還有6本身）評(píng)價(jià)：你的思維很靈敏！師：那我們是不是可以理解為：6等于除了它本身以外所有因數(shù)的和。（可以）師：好！我們?cè)倮^續(xù)尋找。在20以?xún)?nèi)，（出示課件：1、2、320）有沒(méi)有這樣的數(shù)，這樣的數(shù)是指什么樣的數(shù)？（這個(gè)數(shù)等于除了它本身以外所有因數(shù)的和）師：大家開(kāi)始找一找吧?。◣熝惨暫笞尨蠹視和＃┖?，大家暫停一下，剛才老師看到有的同學(xué)在嘗試的時(shí)候是從1開(kāi)始的，大家覺(jué)得比6小的自然數(shù)還需要研究嗎？（不需要）為什么？（因?yàn)?是在這個(gè)規(guī)則下最小的數(shù)）師：（教師把15畫(huà)斜線(xiàn)刪除）那從7開(kāi)始到20這些數(shù)都要一個(gè)個(gè)嘗試嗎？生：不用，因?yàn)閿?shù)字7是質(zhì)數(shù)，除了它本身以外的因數(shù)只有1 ，按照運(yùn)算規(guī)則不可能構(gòu)成加法算式。評(píng)價(jià)：大家非常聰明，言之有據(jù)！師：這樣的話(huà)我們就可以篩選一下，把質(zhì)數(shù)去掉，留下合數(shù)，對(duì)吧？（教師利用電子白板“屏幕書(shū)寫(xiě)功能”把7、11、13、17、19用斜線(xiàn)劃去）師：好！為了節(jié)省時(shí)間，提高效率，我們每個(gè)學(xué)習(xí)小組嘗試其中的一個(gè)自然數(shù)，好吧？第一組選哪個(gè)？第二組選哪個(gè)大家嘗試吧?。▽W(xué)生嘗試交流）師：好，剛才我們每個(gè)小組進(jìn)行了嘗試，請(qǐng)問(wèn)：哪個(gè)小組找到像6這樣的數(shù)啦？（沒(méi)有）師：看來(lái)，20以?xún)?nèi)的自然數(shù)沒(méi)有像6這樣的數(shù)，大家不要?dú)怵H，我們擴(kuò)大一下范圍繼續(xù)尋找？在30以?xún)?nèi)吧！師：（出示課件：21、2230）需要全研究嗎？（教師利用電子白板“屏幕書(shū)寫(xiě)功能”把23、29畫(huà)斜線(xiàn)刪除）這回喜歡哪個(gè)數(shù)就研究哪個(gè)吧！師：找到了嗎？（28）師：說(shuō)說(shuō)看！（28的因數(shù)除了本身外分別是1.2.4.7.14，這些數(shù)的和正好等于28）評(píng)價(jià)：大家回答得非常好，條理清晰，語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)！師：剛才我們?cè)谔剿?30這些自然數(shù)的過(guò)程中，其實(shí)你們做了一件非常偉大的事情，那就是發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上最美妙的一類(lèi)數(shù)，就是完全數(shù)，也叫完美數(shù)。那誰(shuí)能給“完全數(shù)”下個(gè)定義？（學(xué)生說(shuō)）師：（出示課件：如果一個(gè)數(shù)等于除了它本身以外所有因數(shù)的和，那這個(gè)數(shù)就是完全數(shù)。）比如：6的因數(shù)有1、2、3、6，去掉本身，6=1+2+3，所以6是完全數(shù)，也是最小的完全數(shù)。由此，遠(yuǎn)古的西方人認(rèn)為，數(shù)字6是宇宙中最完美的數(shù)。甚至將數(shù)字6賦予了具有一定神秘色彩的宗教意，即：“上帝用6天創(chuàng)造了世界”。古希臘時(shí)代，只發(fā)現(xiàn)了4個(gè)完全數(shù)，分別是：（出示課件：6、28、496、8128），直到2013年，人們才找出了48個(gè)完全數(shù)?？磥?lái)，完美的事物總是稀有的！師：那好！我們不妨根據(jù)完全數(shù)的定義驗(yàn)證一下496這個(gè)數(shù)字?。▽W(xué)生驗(yàn)證）師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)一下496的因數(shù)除了它本身以外還有哪些？預(yù)設(shè)：學(xué)生找的因數(shù)有遺漏。師：我們平時(shí)學(xué)習(xí)的找因數(shù)的方法只適用于那些較小的數(shù)據(jù)，但是找較大數(shù)據(jù)的因數(shù)的時(shí)候很容易遺漏，那如何知道一個(gè)數(shù)到底有多少個(gè)因數(shù)呢？下面老師給大家介紹一種方法：（課件：先分解質(zhì)因數(shù)，分解后的不同因數(shù)的個(gè)數(shù)+1，再相乘，得數(shù)就是這個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)。）比如496，我們先給這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，注意：關(guān)鍵就在這里，這里有幾個(gè)不同的自然數(shù)，（2和31）幾個(gè)2？幾個(gè)31？2有4個(gè)，所以4+1；31有1個(gè)，所以1+1，這樣就是5x2=10，所以496有10個(gè)因數(shù)，也就是1、496、2、248、4、124、8、62、16、31。（板書(shū)：分解質(zhì)因數(shù)的過(guò)程）師：現(xiàn)在我們觀(guān)察一下6，28，496，8128這四個(gè)完全數(shù)，觀(guān)察一下有什么特征，能不能大膽猜想一下第五個(gè)完全數(shù)有什么特征？預(yù)設(shè)：學(xué)生猜測(cè)五位數(shù)或者末尾是6.師：為什么？第五個(gè)完全數(shù)的末尾的確是6，但不是五位數(shù)，是33550336，是八位數(shù)?？磥?lái)猜想很美妙，雖然有時(shí)猜想不一定正確，但猜想?yún)s是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。我們還可以繼續(xù)猜一猜，比如從前5個(gè)完全數(shù)的奇偶性的角度來(lái)看，完全數(shù)可能還具有什么特征？生：完全數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)。師：的確這樣，我們現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)的48個(gè)完全數(shù)都是偶數(shù)，沒(méi)有奇數(shù)。但是不是只有48個(gè)完全數(shù)？如果還有，是不是也都是偶數(shù)，目前還沒(méi)有得到準(zhǔn)確的結(jié)論，這恰恰是數(shù)學(xué)史上關(guān)于完全數(shù)問(wèn)題的一個(gè)個(gè)大膽的猜想！三、總結(jié)升華（出示錄