天兵下北荒，胡馬欲南飲。橫戈從百戰，直為銜恩甚。握雪海上餐，拂沙隴頭寢。何當破月氏，然后方高枕2006年福建省高考數學卷理科21題評點福州三中 黃炳鋒一、 對試題的看法今年高考理科數學21題由兩個相對獨立的小題構成，第一小題在給定二次函數條件下，求長度為1的動區間的最大值，第二小題求兩個函數圖象有3個交點的參數的取值范圍。主要考查函數的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法和運算能力，考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力。我們知道二次函數、二次方程與二次不等式在高中數學中的地位，第一小題并不回避對二次函數在閉區間上的最值的考查，這類最值問題不外乎軸定區間定、軸動區間定和軸定區間動三種，以往我們都重視前兩類，認為第三類難度太大，教學中不夠重視，本次高考卻出乎意料地考查第三類，想想卻在情理之中。因為區間的移動影響了最大值點的位置，所以試題要求以分段函數的形式將區間在不同位置下的二次函數的最值表示出來，既有圖形的動態又有分段函數的思想，試題可謂一舉兩得。第二小題主要考查用導數研究函數性質，從新課程卷開始，導數作為考試內容的考查力度逐年增大，本題的原型來自【2005年全國卷】文科21題：設為實數,函數（1）求的極值；（2）當在什么范圍內取值時,曲線軸僅有一個交點.試題繼續沿用第一小題的二次函數模型替代了三次函數，將與軸有一個交點改為了與一個含參數的自然對數函數圖象有三個交點，這個改動雖然看起來不太起眼，卻把試題改活了。改成了意味深遠、韻味無窮的精彩的數學試題。本題不僅要看到試題的背景原型，還要看到試題的方向，首先是試題的直觀理解，函數與的圖象有且僅有三個交點，求實數的取值范圍，我的第一感覺是怎么會有三個交點呢？待到畫出可能的圖形后，又想實數的取值條件該如何轉化得到？現在將兩個函數作差，得到，將問題轉化為函數的圖象與軸恰有三個交點，這就涉及零點判斷，一般用區間根的方法，可怎樣才能保證恰有三個零點呢，用到函數的單調性，這正是新課程用大篇幅解決的方程的根與函數的零點問題。從這個角度講，本題不僅精彩，而且還嘗試與新課改接軌，這是一道立意新穎、表述嚴謹的試題，試題關注數學的核心內容與基本能力，關注數學思想、數學方法，堪稱好題。二、 主要錯誤分析本題得分不高，主要原因是第二小題對學生的能力要求高，因此第二小題空白卷比較多，所以典型錯誤主要集中在第一小題：（1）懂得需要對分類，但對不同的類別取錯反了最大值點；（2）變量僅部分代入，這是對函數概念理解不足造成的，這種錯誤在老師看來是挺可笑的，可閱卷過程中比比皆是，比如，；（3）計算錯誤，比如展開，不是忘了變號，就是忘了乘8；正因如此，本題評卷過程每每出現第一小題不得分，第二小題得滿分的現象，讓我們驚詫。三、 今后教學啟示在改卷中，有些體會，供大家在教學時參考：（1）充分理解考試大綱，肯定對高考有幫助。（2）在抓好數學“三基”的同時強化解題規范訓練；（3）在各階段復習中都要重視數學思想方法的滲透；（4）重視基礎知識，突出重點教材的考查，從目前高考來看，導數應用的考查已經不是秘密，考點涉及到了導數的所有內容，如導數的定義，導數的幾何意義、物理意義，用導數研究函數的單調性，求函數的最（極）值等，在與導數有關的概念、求曲線的切線、函數的單調性和最（極）值，與不等式和實際問題有關的五大熱點問題，各地都有精彩的命題，尤其要提醒注意的是，導數的知識不斷向大學要求靠攏，多次出現了導數的運算性質，乘積或商的導數求法等。比如【2005年全國卷】理科22題：已知，函數（1）當為何值時，取得最小值？證明你的結論