南京市2015屆高三年級第三次模擬考試數 學 注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、班級、學校寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙參考公式樣本數據x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi錐體的體積公式：vsh，其中s為錐體的底面積，h為錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題紙相應位置上1已知復數z1，其中i為虛數單位，則z的模為 2經統計，在銀行一個營業窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數及相應概率如下：排隊人數012345概率0.10.160.30.30.10.04則該營業窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是 3若變量x，y滿足約束條件則z2xy的最大值是 ns40開始k1kk1s0y輸出k結束ss2k（第4題圖）4右圖是一個算法流程圖，則輸出k的值是 5如圖是甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環）的莖葉圖，則 甲 乙 8 9 7 8 9 3 1 0 6 9789（第5題圖）成績較為穩定（方差較?。┑倪\動員是 6記不等式x2x60的解集為集合a，函數ylg(xa)的定義域為集合b若“xa”是“xb”的充分條件，則實數a的取值范圍為 7在平面直角坐標系xoy中，過雙曲線c：x21的右焦點f作x軸的垂線l，則l與雙曲線c的兩條漸近線所圍成的三角形的面積是 8已知正六棱錐pabcdef的底面邊長為2，側棱長為4，則此六棱錐的體積為 9在abc中， abc120，ba2，bc3，d，e是線段ac的三等分點，則的值為 10記等差數列an的前n項和為sn若sk18，sk0，sk110，則正整數k 11若將函數f(x)sin(wx)(w0)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數為偶函數 ，則實數w的最小值是 12已知x，y為正實數，則的最大值為 13在平面直角坐標系xoy中，圓c的方程為(x1)2(y1)29，直線l：ykx3與圓c相交于a，b兩點，m為弦ab上一動點，以m為圓心，2為半徑的圓與圓c總有公共點，則實數k的取值范圍為 14已知a，t為正實數，函數f(x)x22xa，且對任意的x0，t，都有f(x)a，a若對每一個正實數a，記t的最大值為g(a)，則函數g(a)的值域為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在abc中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c已知acoscccosa2bcosa（1）求角a的值；（2）求sinbsinc的取值范圍16（本小題滿分14分）在四棱錐pabcd中，bcad，papd，ad2bc，abpb， e為pa的中點 （第16題圖）pabcde （1）求證：be平面pcd； （2）求證：平面pab平面pcd17（本小題滿分14分）如圖，摩天輪的半徑oa為50m，它的最低點a距地面的高度忽略不計地面上有一長度為240m的景觀帶mn，它與摩天輪在同一豎直平面內，且am60m點p從最低點a處按逆時針方向轉動到最高點b處，記aopq，q (0，)（1）當q 時，求點p距地面的高度pq；（2）試確定q 的值，使得mpn取得最大值（第17題圖）amnbopqq18（本小題滿分16分）在平面直角坐標系xoy中，設中心在坐標原點的橢圓c的左、右焦點分別為f1、f2，右準線l：xm1與x軸的交點為b，bf2m （1）已知點(，1)在橢圓c上，求實數m的值；（2）已知定點a(2，0)若橢圓c上存在點t，使得，求橢圓c的離心率的取值范圍；當m1時，記m為橢圓c上的動點，直線am，bm分別與橢圓c交于另一點p，q，xyaobmpq（第18題圖）f2f1l若 ，m，求證：m為定值19(本小題滿分16分)已知函數f(x)x2xt，t0，g(x)lnx（1）令h(x)f(x)g(x)，求證：h(x)是增函數；（2）直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切對于確定的正實數t，討論直線l的條數，并說明理由20（本小題滿分16分）已知數列an的各項均為正數，其前n項的和為sn，且對任意的m，nn*，都有(smns1)24a2ma2n （1）求的值；（2）求證：an為等比數列；（3）已知數列cn，dn滿足|cn|dn|an，p(p3)是給定的正整數，數列cn，dn的前p項的和分別為tp，rp，且tprp，求證：對任意正整數k(1kp)，ckdk南京市2015屆高三年級第三次模擬考試 數學附加題 2015.05注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務必將自己的姓名、班級、學校寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙21【選做題】在a、b、c、d四小題中只要選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷紙指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟a選修41：幾何證明選講如圖，ab，ac是o的切線，ade是o的割線，求證：be cdbd ceadbceo（第21a題圖）b選修42：矩陣與變換已知矩陣a，直線l：xy40在矩陣a對應的變換作用下變為直線l：xy2a0（1）求實數a的值；（2）求a2c選修44：坐標系與參數方程在極坐標系中，設圓c：r4 cosq 與直線l：q (rr)交于a，b兩點，求以ab為直徑的圓的極坐標方程d選修45：不等式選講已知實數x，y滿足xy，求證：2x 2y3【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷紙指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）pabcd如圖，四棱錐pabcd中，pa平面abcd，adbc，abad，bc，ab1，bdpa2（1）求異面直線bd與pc所成角的余弦值；（2）求二面角apdc的余弦值23（本小題滿分10分）已知集合a是集合pn1，2，3，n (n3，nn*)的子集，且a中恰有3個元素，同時這3個元素的和是3的倍數記符合上述條件的集合a的個數為f(n)（1）求f(3)，f(4)；（2）求f(n)（用含n的式子表示）南京市2015屆高三第三次模擬考試 數學參考答案及評分標準 2015.05說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數4只給整數分數，填空題不給中間分數一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1 20.74 34 46 5甲6(，3 74 812 9 109 11 12 13，) 14(0，1)2二、解答題：本大題共6小題，共90分15解：（1）因為acoscccosa2bcosa，所以sinacoscsinccosa2sinbcosa，即sin(ac)2sinbcosa因為abc，所以sin(ac)sinb從而sinb2sinbcosa 4分因為sinb0，所以cosa因為0a，所以a 7分（2）sinbsincsinbsin(b)sinbsincosbcossinbsinbcosbsin(b) 11分因為0b，所以b所以sinbsinc的取值范圍為(， 14分16證明：（1）取pd的中點f，連接ef，cfpabcdef（第16題圖）因為e為pa的中點，所以efad，efad因為bcad，bcad，所以efbc，efbc所以四邊形bcfe為平行四邊形所以becf 4分因為be平面pcd，cf平面pcd，所以be平面pcd 6分（2）因為abpb，e為pa的中點，所以pabe因為becf，所以pacf 9分因為papd，pd平面pcd，cf平面pcd，pdcff，所以pa平面pcd 12分因為pa平面pab，所以平面pab平面pcd 14分17解：（1）由題意，得pq5050cosq 從而，當q 時，pq5050cos75即點p距地面的高度為75m 4分（2）（方法一）由題意，得aq50sinq ，從而mq6050sinq ，nq30050sinq 又pq5050cosq ，所以tannpq ，tanmpq 6分從而tanmpntan(npqmpq) 9分令g(q ) ，q (0，)，則g(q) ，q (0，)由g(q)0，得sinq cosq 10，解得q 11分當q (0，)時，g(q )0，g(q )為增函數；當q (，p)時，g(q )0，g(q )為減函數，所以，當q 時，g(q )有極大值，也為最大值因為0mpqnpq，所以0mpn，從而當g(q )tanmpn取得最大值時，mpn取得最大值即當q 時，mpn取得最大值 14分（方法二）以點a為坐標原點，am為x軸建立平面直角坐標系，則圓o的方程為 x2(y50)2502，即x2y2100y0，點m(60，0)，n(300，0)設點p的坐標為 (x0，y0)，所以q (x0，0)，且x02y02100y00從而tannpq ，tanmpq 6分從而tanmpntan(npqmpq) 由題意知，x050sinq ，y05050cosq ，所以tanmpn 9分（下同方法一）18解：（1）設橢圓c的方程為 1(ab0)由題意，得 解得 所以橢圓方程為1 因為橢圓c過點(，1)，所以1，解得m2或m (舍去）所以m2 4分（2）設點t(x，y)由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22 6分由 得y2m2m因此0m2mm，解得1m2所以橢圓c的離心率e， 10分（方法一）設m(x0，y0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)則(x02，y0)，(x12，y1)由l， 得 從而 12分因為y021，所以(ly1)21即l2(y12)2l(l1)x12(l1)210因為 y121，代入得2l (l1)x13l24l10由題意知，l1，故x1，所以x0 同理可得x0 14分因此，所以lm6 16分（方法二）設m(x0，y0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)直線am的方程為y(x2)將y(x2)代入y21，得(x02)2y)x24yx4y(x02)2 0(*)因為y021，所以（*）可化為(2x03)x24yx3x4x00因為x0x1，所以x1同理x2 14分因為l，m，所以lm6即m為定值6 16分19解：（1）由h(x)f(x)g(x)x2xtlnx，得h (x)2x1，x0因為2x22，所以h (x)0， 從而函數h(x)是增函數 3分（2）記直線l分別切f(x)，g(x)的圖象于點(x1，x12x1t)，(x2，lnx2)，由f(x)2x1，得l的方程為y(x12x1t)(2x11)(xx1)，即y(2x11)xx12t由g(x)，得l的方程為ylnx2(xx2)，即y xlnx21所以(*) 消去x1得lnx2(t1)0 (*) 7分令f(x)lnx(t1)，則f(x)，x0由f(x)0，解得x1當0x1時，f(x)0，當x1時，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增，從而f(x)minf(1)t 9分當t0時，方程(*)只有唯一正數解，從而方程組(*)有唯一一組解，即存在唯一一條滿足題意的直線； 11分當t0時，f(1)0，由于f(et1)ln(et1)(t1)0，故方程(*)在(1，)上存在唯一解； 13分令k(x)lnx1(x1)，由于k (x)0，故k (x)在(0，1上單調遞減，故當0x1時，k (x)k (1)0，即lnx1，從而lnx (t1)()2t所以f()()2t0，又01，故方程(*)在(0，1)上存在唯一解所以當t0時，方程(*)有兩個不同的正數解，方程組(*)有兩組解即存在兩條滿足題意的直線綜上，當t0時，與兩個函數圖象同時相切的直線的條數為1；當t0時，與兩個函數圖象同時相切的直線的條數為2 16分20解：（1）由(smns1)24a2na2m，得(s2s1)24a，即(a22a1)24a因為a10，a20，所以a22a1a2，即2 3分證明：（2）（方法一）令m1，n2，得(s3s1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得s4s12a4，即2a1a2a3a4所以a44a28a1又因為2，所以a34a1 6分由(smns1)24a2na2m，得(sn1s1)24a2na2，(sn2s1)24a2na4兩式相除，得，所以2即sn2s12(sn1s1)，從而sn3s12(sn2s1)所以an32an2，故當n3時，an是公比為2的等比數列又因為a32a24a1，從而ana12 n1，nn*顯然，ana12 n1滿足題設，因此an是首項為a1，公比為2的等比數列 10分（方法二）在(smns1)24a2na2m中，令mn，得s2ns12a2n 令mn1，得s2n1s12 ， 在中，用n1代n得，s2n2s12a2n2 ，得a2n122a2n2()， ，得a2n22a2n222()， 由得a2n1 8分代入，得a2n12a2n；代入得a2n22a2n1，所以2又2，從而ana12 n1，nn*顯然，ana12 n1滿足題設，因此an是首項為a1，公比為2的等比數列 10分（3）由（2）知，ana12 n1因為|cp|dp|a12p1，所以cpdp或cpdp若cpdp，不妨設cp0，dp0，則tpa12p1(a12p2a12p3a1)a12p1a1(2p11)a10rpa12p1(a12p2a12p3a1)a12p1a1(2p11)a10這與tprp矛盾，所以cpdp從而tp1rp1由上證明，同理可得cp1dp1如此下去，可得cp2dp2，cp3dp3，c1d1即對任意正整數k(1kp)，ckdk 16分南京市2015屆高三第三次模擬考試 數學附加題參考答案及評分標準 2015.0521【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分 a選修41：幾何證明選講證明：因為ab是o的切線，所以abdaeb又因為badeab，所以badeab所以 5分同理，. 因為ab，ac是o的切線，所以abac因此，即be cdbd ce 10分b選修42：矩陣與變換解：（1）設直線l上一點m0(x0，y0)在矩陣a對應的變換作用下變為l 上點m(x，y)，則， 所以 3分代入l 方程得(ax0y0)(x0ay0)2a0，即(a1)x0(a1)y02a0因為(x0，y0)滿足x0y040，所以4，解得a2 6分（2）由a，得a2 10分c選修44：坐標系與參數方程解： 以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系，則由題意，得圓c的直角坐標方程 x2y24x0，直線l的直角坐標方程 yx 4分由 解得或 所以a(0，0)，b(2，2)從而以ab為直徑的圓的直角坐標方程為(x1)2(y1)22，即x2y22x2y 7分將其化為極坐標方程為：r22r(cosqsinq)0，即r2(cosqsinq) 10分d選修45：不等式選講證明：因為xy，所以xy0，從而左邊(xy)(xy)2y32y2y3右邊 即原不等式成立 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分22解：（1）因為pa平面abc