競賽中數論選講(揚州)啟東中學 曹瑞彬例1設nN+，f(n)=n(n2-1)(n2-5n+26)，求證：120|f(n)。 例2設p為奇質數，證明 例3試證：A=不是整數。例4對于正整數n與k，定義：F(n，k)=求證：F(n，1)|F(n，k)。例5求同時滿足下條件的一組整數a、b， (1)ab(a+b)不能被7整除；(2) (a+b)7-a7-b7能被77整除。例6證明：對于任一正整數n，存在一個正整數滿足下列性質： (1)它有n位數；(2)它的每位數字都不是零；(3)它能被其各位數字之和整除。 例7給定大于1的自然a、b、n，An-1和An是a進制數，Bn-1和Bn是b進制數，An-1、An、Bn-1、Bn定義為： An=(xnxn-1x)a，An-1=(xn-1xn-2x0)a，Bn=(xnxn-1x)b，Bn-1=(xn-1xn-2x0)b，其中xn0，xn-10。證明：當ab時，有。 例8給定正整數n，已知砝碼重量(克)都是正整數的k塊砝碼和一臺天平可以稱出質量為1，2，3，n克的所有物品。（1） 求k的最小值f(n)；（2） 當且僅當n取什么值時，上述f(n)塊砝碼的組成方式是唯一確定的？并證明你的結論。例9定義函數：f：N+N+如下：f(1)=1，f(3)=3，且對nN，有f(2n)=f(n)，f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)，f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)，問有多少個nN+，且n2009，使f(n)=n。例10設整數a、b、c滿足a+b+c=0，記d=a2011+b2011+c2011。證明：|d|不是素數。 例11設a、b、c、d為正整數，證明：a4b+d-a4c+d被240整除。 例12 已知數列an，其中a1=1，a2=2，an+2=試證：對一切nN*，an0（1988年全國高中競賽試題）例13 設E=1，2，3，200，G=a1，a2，a100E且G具有下列兩條性質： 對任何1i1，證明：111不是完全平方數。例16已知a0=0，a1=1，an+1=8an-an-1，n=1，2，求證：在數列an中沒有形如35(、為正整數)的項。例17 數列xn為1,3，5，滿足遞推關系：xn+2=xn+1+2xn，nN*。數列yn為7,17，55，滿足遞推關系：yn+2=2yn+1+3yn，nN*。證明：這兩個數列沒有相同的項。例18證明：對任意整數，存在一個次多項式具有如下性質：（1）均為正整數；（2）對任意正整數，及任意個互不相同的正整數，均有 例19. 記m為不超過實數m 的最大整數設x 、y 均為正實數，且對所有的正整數n ，都有xny= n 1成立證明：xy =1，且y是大于1的無理數例20.設k，l是給定的兩個正整數，證明：存在無窮多個正整數mk，使得C與l互素21.設f(x)是周期函數，T和1是f(x)的周期且0T1證明：( I ) 若T為有理數，則存在素數p，使是f(x)的周期；(II)若T為無理數，則存在各項均為無理數的數列an滿足1anan10(n1，2，)，且每個an(n1，2，)都是f(x)的周期 例22. 求出所有小于10的正整數M，使得5整除2009M+M2009。例23證明：數列1,31