江蘇省儀征市月塘中學九年級數學6.4 二次函數的運用導學案 新人教版 【學習目標】體會二次函數是一類最優化問題的數學模型了解數學的應用價值，掌握實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大值、最小值【學習重點】本節重點是應用二次函數解決實際問題中的最值應用二次函數解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數量關系，從而得到函數關系，再求最值實際問題的最值，不僅可以幫助我們解決一些實際問題，也是中考中經常出現的一種題型【學習難點】本節難點在于能正確理解題意，找準數量關系這就需要同學們在平時解答此類問題時，在平時生活中注意觀察和積累，使自己具備豐富的生活和數學知識才會正確分析，正確解題【學習過程】預習導航1、問題：某商店經營t恤衫,已知成批購進時單價是2.5元.根據市場調查,銷售量與銷售單價滿足如下關系:在某一時間內,單價是13.5元時,銷售量是500件,而單價每降低1元,就可以多售出200件. 請你幫助分析:銷售單價是多少時,可以獲利最多?問題1、總利潤= ，單件利潤= 。2、在這個問題中有那些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？3、根據前面的分析我們若設每個漲價x元，總利潤為y元，此時y與x之間的函數關系式是 ，化為一般式 。這里y是x的 函數。現在求最大利潤，實質就是求此二次函數的最值，你會求嗎？試試看。預習反饋1、某種糧大戶去年種植優質水稻360畝，今年計劃增加承租x（100x150）畝，預計，原種植的360畝水稻今年每畝可收益440元，新增地今年每畝的收益為（440-2x）元，試問，該種糧大戶今年要增加承租多少畝水稻，才能使總收益最大？最大收益是多少？2某類產品按質量共分為10個檔次，生產最低檔次產品每件利潤為8元，如果每提高一個檔次每件利潤增加2元用同樣的工時，最低檔次產品每天可生產60件，每提高一個檔次將少生產3件，求生產何種檔次的產品利潤最大？預習疑惑 合作探究例1、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.利用函數表達式描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.利用函數圖象描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.?增種多少棵橙子,可以使橙子的總產量在60400個以上?例2、某商場經營一批進價為2元一件的小商品，在市場營銷中發現此商品的日銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下關系：x35911y181462（1）在所給的直角坐標系甲中：根據表中提供的數據描出實數對（x，y）的對應點；猜測并確定日銷售量y件與日銷售單價x元之間的函數表達式，并畫出圖象（2）設經營此商品的日銷售利潤（不考慮其他因素）為p元，根據日銷售規律：試求出日銷售利潤p元與日銷售單價x元之間的函數表達式，并求出日銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？試問日銷售利潤p是否存在最小值？若有，試求出；若無，請說明理由在給定的直角坐標系乙中，畫出日銷售利潤p元與日銷售單價x元之間的函數圖象的簡圖，觀察圖象，寫出x與p的取值范圍小組展示1、某商店經營t恤衫,已知成批購進時單價是2.5元.根據市場調查,銷售量與銷售單價滿足如下關系:在某一時間內,單價是13.5元時,銷售量是500件,而單價每降低1元,就可以多售出200件. 請你幫助分析:銷售單價是多少時,可以獲利最多?2、某公司生產的a種產品，它的成本是2元，售價是3元，年銷售量為10萬件為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告根據經驗，每年投入的廣告費是x（10萬元）時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數，它們的關系如下表：x（10萬元）012y11518（1）求y與x的函數表達式；（2）如果把利潤看作是銷售總額減去成本和廣告費，試寫出年利潤s（10萬元）與廣告費x（10萬元）函數表達式；（3）如果投入的廣告費為10萬元30萬元，問廣告費在什么范圍內，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大？交流反思學習方法歸納 （ 1、）根據實際 問題中的數量關系，提煉為二次函數的數學問題； （ 2、）根據二次函數關系，求出最大值或最小值；（ 3、）考查所得到的值是否符合實際問題的意義，明晰結論。課后作業1關于二次函數y=ax2bxc的圖象有下列命題：當c=0時，函數的圖象經過原點；當c0且函數圖象開口向下時，方程ax2bxc=0必有兩個不等實根；當a0，函數的圖象最高點的縱坐標是；當b=0時，函數的圖象關于y軸對稱其中正確命題的個數有（ ）a1個b2個c3個d4個2、某商人如果將進貨價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現采用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲價1元其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大利潤3、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降低多少元時，商場平均每天盈利最多？4某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，生產廠家要求每箱售價在40元70元之間市場調查發現，若每箱以50元銷售，平均每天可銷售90箱；價格每降低1元，平均每天多銷售3箱；價格每升高1元，平均每天少銷售3箱（1）寫出平均每天銷售量y（箱）與每箱售價x（元）之間的函數表達式（注明范圍）；（2）求出商場平均每天銷售這種年奶的利潤w（元）與每箱牛奶的售價x（元）之間的二次函數表達式；（每箱利潤=售價進價）（3）求出（2）中二次函數圖象的頂點坐標，并求出當x=40，70時w的值，在直角坐標系中畫出函數圖象的草圖；（4）由函數圖象可以看出，當牛奶售價為多少時，平均每天的利潤最大？最大利潤是多少？5某醫藥研究所進行某一治療病毒新藥的開發，經過大量的服用試驗后知，成年人按規定的劑量服用后，每毫升血液中含藥量y微克（1微克=103毫克）隨時間x小時的變化規律與某一個二次函數y=ax2bxc（a0）相吻合并測得服用時（即時間為0時）每毫升血液中含藥量為0微克；服用后2小時每毫升血液中含藥量為6微克；服用后3小時，每毫升血液中含藥量為75微克（1）試求出含藥量y（微克）與服藥時間x（小時）的函數表達式，并畫出0x8內的函數圖象的示意圖（2）求服藥后幾小時，才能使每毫升血液中含藥量最大？并求出血液中的最大含藥量（3）結合圖象說明一次服藥后的有效時間是多少小時？（有效時間為血液中含藥量不為0的總時間）6有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養最多只能存活兩天如果放養在塘內，可以延長存活時間但每天也有一定數量的蟹死去，假設放養期內蟹的個體重量基本保持不變現有一經銷商，按市場價收購了這種活蟹1000kg放養在塘內，此時市場價為30元/kg，據測算，此后1kg活蟹的市場價每天可上升1元但是，放養一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10kg蟹死去，假定死蟹均于當天全部售出，售價都是20元/kg（1）設x天后1kg活蟹的市場價為p元，寫出p關于x的函數表達式；（2）如果放養x天后將活蟹一次性出售，并記1000kg蟹的銷售總額為q元，寫出q關于x的函數表達式；（3）該經銷商將這批蟹放養多少天后出售，可獲得最大利潤（利潤=銷售總額收購成本費用）？最大利潤是多少？6.4 二次函數的應用（2）【學習目標】掌握長方形和窗戶透光最大面積問題，體會數學的模型思想和數學應用價值學會分析和表示不同背景下實際問題中的變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識解決實際問題【學習重點】本節的重點是應用二次函數解決圖形有關的最值問題，這是本書惟一的一種類型，也是二次函數綜合題目中常見的一種類型在二次函數的應用中占有重要的地位，是經常考查的題型，根據圖形中的線段之間的關系，與二次函數結合，可解決此類問題【學習難點】由圖中找到二次函數表達式是本節的難點，它常用的有三角形相似，對應線段成比例，面積公式等，應用這些等式往往可以找到二次函數的表達式【學習過程】預習導航一、自學自研課本25頁問題1分析：根據制作要求，半圓形窗框的直徑應與 的相等，由于窗框的總長度已確定，所以矩形窗框的高也隨 而確定，因此，要解決該窗透光面積最大的問題，應建立窗戶的透光面積與 之間的函數關系，然后根據 求出 二、做一做如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形abcd，其中ab和ad分別在兩直角邊上.(1)設矩形的一邊ab=xcm,那么ad邊的長度如何表示？(2)設矩形的面積為ym2,當x取何值時,y的最大值是多少?預習反饋1、寫出正方體的表面積y與棱長x之間的函數關系式。2、一個圓柱的高等于它的底面半徑r，寫出圓柱的表面積s與半徑r之間的函數關系式。3、已知一個矩形的周長為12 m，設一邊長為x m，面積為y ，寫出y與x之間的函數關系式。預習疑惑 合作探究例1、一邊靠學校院墻，其他三邊用12 m長的籬笆圍成一個矩形花圃，設矩形abcd的邊ab=x m，面積為s。（1）寫出s與x之間的函數關系式； （2）當x取何值時，面積s最大，最大值是多少？例2、如圖，在rtabc中，ac=3cm，bc=4cm，四邊形cfde為矩形，其中cf、ce在兩直角邊上，設矩形的一邊cf=xcm當x取何值時，矩形ecfd的面積最大？最大是多少？ 如圖，在rtabc中，作一個長方形degf，其中fg邊在斜邊上，ac=3cm，bc=4cm，那么長方形oegf的面積最大是多少？如圖，已知abc，矩形gdef的de邊在bc邊上g、f分別在ab、ac邊上，bc=5cm，sabc為30cm2，ah為abc在bc邊上的高，求abc的內接長方形的最大面積 小組展示1、若用一段長12m的鋁合金型材做一個如圖所示的矩形窗框，那么當矩形的長、寬分別為多少時，才能使該窗戶的透光面積最大？（2）若用一段長12m的鋁合金型材做一個上部是半圓、下部是矩形的窗框，那么當矩形的長、寬分別為多少時，才能使該窗戶的透光面積最大？2、，在直徑為ab的半圓內，畫一個三角形區域，使三角形的一邊為ab，頂點c在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8。現要建造一個內接于abc的矩形defn，其中de在ab上，如圖設計的方案是使ac=8，bc=6。（1）求abc中ab邊上的高h。（2）設dn=x，當x取何值時，水池defn面積y最大？（3）在實際施工時發現ab邊上距b點1.85米處有一棵大樹，問這棵大樹是否位于最大水池的邊上？如果在，為保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹。交流反思找到函數關系式的方法。1、利用幾何圖形的有關性質，探索量與量之間的關系，確定函數關系；2、注意自變量的取值范圍；3、檢查實際意義的準確性。課后作業1、如圖，在abc中b=90，ab=12cm，bc=24cm，動點p從a開始沿ab邊以2cm/s的速度向b運動，動點q從b開始沿bc邊以4cm/s的速度向c運動，如果p、q分別從a、b同時出發。（1）寫出pbq的面積s與運動時間t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；（2）當t為何值時，pbq的面積s最大，最大值是多少？ 2、在o的內接三角形abc中，ab+ac=12，ad垂直于bc，垂足為d，且ad=3，設o的半徑為y，ab為x。（1）求y與x的函數關系式；（2）當ab長等于多少時，o的面積最大？最大面積是多少？ 6.4 二次函數的應用（3）【學習目標】了解數學的應用價值，掌握實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大值、最小值【學習重點】是應用二次函數解決實際問題中的最值應用二次函數解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數量關系，從而得到函數關系，再求最值實際問題的最值，不僅可以幫助我們解決一些實際問題，也是中考中經常出現的一種題型【學習難點】本節難點在于能正確理解題意，找準數量關系建立直角坐標系。【學習過程】預習導航1、如圖所示的拋物線的解析式可設為 ，若abx軸，且ab=4，oc=1，則點a的坐標為 ，點b的坐標為 ；代入解析式可得出此拋物線的解析式為 。2、某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示。現測得水面寬ab=4m，涵洞頂點o到水面的距離為1m，于是你可推斷點a的坐標是 ，點b的坐標為 ；根據圖中的直角坐標系內，涵洞所在的拋物線的函數解析式可設為 。預習反饋oyx2米1米2.5米0.5米1、如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為 米2、名男生推鉛球，鉛球行進高度（單位：m）與水平距離（單位：m）之間的關系是則他將鉛球推出的距離是 m 預習疑惑合作探究1、如圖所示,桃河公園要建造圓形噴水池.在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子oa,o恰在水面中心,oa=1.25m.由柱子頂端a處的噴頭向外噴水,水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下,為使水流形狀較為漂亮,要求設計成水流在離oa距離為1m處達到距水面最大高度2.25m.(1)如果不計其它因素,那么水池的半徑至少要多少m,才能使噴出的水流不致落到池外？(2)若水流噴出的拋物線形狀與(1)相同,水池的半徑為3.5m,要使水流不落到池外,此時水流的最大高度應達到多少m(精確到0.1m)？ 2、一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。問此球能否投中？在出手角度和力度都不變的情況下,小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈?小組展示1.某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬ab=4m，頂部c離地面高度為44m現有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面28m，裝貨寬度為24m請判斷這輛汽車能否順利通過大門2、甲、乙兩人進行羽毛球比賽，甲發出一顆十分關鍵的球，出手點為，羽毛球飛行的水平距離（米）與其距地面高度（米）之間的關系式為如圖，已知球網距原點5米，乙（用線段表示）扣球的最大高度為米，設乙的起跳點的橫坐標為，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，則的h/米s/米poacdb取值范圍是 3、某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經過原點o的一條拋物線（圖中標出的數據為已知條件）。在跳某個規定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面32/3米， 入水處距池邊的距離為4米，同 時，運動員在距水面高度為5米 以前，必須完成規定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤。（