透鏡初級球差的橫向剪切干涉條紋研究張權、姚焜、朱玲、孫晴、軒植華(中國科學技術大學 天文與應用物理系 安徽 合肥230026)摘要：利用玻璃平行平板構成簡單的橫向剪切干涉儀可以觀察到單薄透鏡的剪切干涉條紋,由干涉條紋分布求出對應的幾何象差和離焦量.本文首先介紹在一定剪切量的情況下具有初級球差光束的干涉條紋分布的計算機模擬結果，然后介紹利用一個焦距為190毫米的單薄透鏡的實驗結果.實驗結果與計算機模擬結果符合.本文并從剪切干涉條紋的分布求出透鏡的軸向調整誤差和初級球差，對于剪切干涉儀的應用有一定意義.關鍵詞：橫向剪切干涉，波象差，計算機模擬，初級球差，軸向離焦中圖分類號：O43.1 文獻標識碼：A1 引 言波面的截面圖hP(x ,h)圖1 橫向剪切的兩個波面原始波面wOO剪切波面wDw(x ,h)x 剪切軸剪切量剪切干涉是利用待測波面自身干涉的一種干涉方法.它具有一般光學干涉測量方法的優點即非接觸性、靈敏度高和精度高，同時由于它無需參考光束，采用共光路系統，因此干涉條紋穩定，對環境要求低，儀器結構簡單，造價低，在光學測量領域獲得了廣泛的應用.橫向剪切干涉是其中重要的一種形式.由于剪切干涉在光路上的簡單化，不用參考光束，干涉波面的解比較復雜.在數學處理上較繁瑣.因此發展利用計算機處理剪切干涉圖的技術是當前光學測量技術發展的熱點.本實驗對具有初級象差的光束的橫向剪切干涉圖進行計算機模擬，并利用平行平板對準直透鏡的軸上點象差和光路調整狀況進行精確的檢測.2 原 理：如圖1所示,假設(x,h)為觀察剪切干涉的平面， w和w分別為原始波面和剪切波面，原始波面相對于平面波的波象差（即對應點之間的光程差）為W(x,h)，剪切波面相對于平面波的波象差W(x,h)。P為剪切平面（x，h）上的任意一點。當波面在x方向上有一位移s(即剪切量為s)時，在同一點P上剪切波面的波象差為W(x,h)=W(x-s,h)，所以原始波面與剪切波面在P點的波象差為： （1）由于兩波面有光程差DW所以會形成干涉條紋，設在P點的干涉條紋的級次為N，光的波長為l，則有 （2）y3.計算模擬公式和模擬結果：h主光線(x0,y0)(x,h)xxOA入射光瞳物平面圖2 計算原理圖 Fig3如圖2所示為光學系統的物平面和入射光瞳平面，其坐標分別為(x,y)和(x,h),AO為光軸。對于旋轉軸對稱的透鏡系統，只需要考慮物點在y軸上的情形（物點的坐標為（0，y0）。波面的光程w只是x、h和y0的函數12，即w(x，h，y0)=E1+E3+ (3)其中E1是近軸光線的光程E1=a1(x2+h2)+a2y0h (4)上式中，a1=Dz/2f2, a2=1/f , y0是物點的垂軸離焦距離，Dz為物點的軸向離焦距離。E3是賽得象差（初級波象差系數:b1場曲，b2畸變，b3球差，b4慧差，b5象散） E3=b1y02(x2+h2)+ b2y03h+ b3(x2+h2)2+ b4y0h(x2+h2)+ b5y02h2 (5)為了計算結果的表達方便起見將（1）式寫成對稱的形式，光瞳面（x,h）上原始波面與剪切波面的剪切干涉的結果為： （6）將公式（4）和（5）代入（6）式就可得具體的表達式，下面只討論透鏡具有初級球差和軸向離焦的情況。3.1.擴束鏡焦點A與被測準直透鏡焦點F不重合（即物點與F不重合），但只有軸向離焦（ Dz不為零,y0=0）無球差，剪切方向在x方向的情形，按(3)和（4）式 （7）由于剪切方向在x方向，所以 （8）所以干涉的亮條紋方程為 （9）即（m=0,1, 2,）（為平行于h軸，間隔為 的直條紋，剪切條紋的零級條紋在）。3.2. 擴束鏡焦點A與被測準直透鏡焦點F不重合，只有軸向離焦（ Dz不為零,y0=0），透鏡具有初級球差（b3不為零）,剪切方向在x方向的情形，按(3)和（4）式 (10)所以波象差方程為 （11）此時亮條紋方程為：（m=0,1, 2,） （12） 由1可知，初級球差與孔徑的關系式為： （13）其中，和為孔徑坐標，為透鏡的焦距 f，A為初級幾何球差比例系數.而對應的波象差為其積分1， （14）將（13）代入（14）積分結果為，此積分為（5）式中第三項，所以可以得到 （13）由于，所以由（13）可以求出與、A的關系式為： (14)圖3是計算機根據（12）繪出的剪切干涉圖，具體模擬計算的光路參數見圖3的說明.(a)(c)(b)圖3 只有軸向離焦和初級球差，剪切量為2.5mm，焦距為190mm的凸透鏡，發光點分別在焦點前6mm(a)、焦點前0.8mm (b)和焦點后2mm(c)時的剪切干涉圖，透鏡的通光口徑為34mm，透鏡的初級幾何球差比例系數A=-250/mm3. 4.實驗的裝置、方法、結論： 圖4 實驗裝置能產生橫向剪切干涉的裝置很多，最簡單的是利用平行平板.如圖4為我們實驗中使用的平行平板橫向剪切干涉儀的裝置圖.由于平行平板有一定厚度和對入射光束的傾角，因此通過被檢測透鏡（即準直鏡）后的光波被玻璃平板前后表面反射后形成的兩個波面發生橫向剪切干涉，剪切量為s， （13）其中d為平行平板的厚度，n為平行平板的折射率，為光線在平行平板內的折射角.S一般為1到3毫米左右.當使用光源為氦氖激光時，由于光源的良好的時間和空間相干性，就可以看到很清晰的干涉條紋.條紋的形狀反映波面的象差. 實驗中剪切量取2.5毫米,凸薄透鏡焦距為f190mm. 表1為在三個不同軸向離焦量條件下凸薄透鏡的Dz、A.表2為同樣條件下由實驗所拍攝的剪切條紋圖求出的Dz、A.(c)(b)(a) 圖5 與模擬的相對應實驗結果表1 三種不同軸向離焦量下凸薄透鏡的Dz、A軸向離焦量Dz (mm)-0.8-26初級幾何球差比例系數A(mm)-250-250-250表2 與上表對應的實驗結果軸向離焦量Dz-0.8mm-2mm6mm初級幾何球差比例系數A(mm)-223.201-241.431-235.509 通過實驗我們得出以下結論：1、平行平板剪切干涉法具有很高的靈敏度（剪切量越大靈敏度越高），能夠測量具有與平面波波象差很小的波面，在本實驗中波差系數a1和b3都是很小的（在10-510-8量級）.2、本文通過象差分析和計算機模擬了解了不同軸向離焦和球差情況下橫向剪切干涉圖的條紋分布特點，測量結果與計算機模擬結果符合良好， 對于波面的象差分析有一定指導意義.3、利用單幅剪切干涉條紋圖求解原始波面的方法有傅里葉變換法和最小二乘擬合法等.在干涉條紋數較少的情況下最小二乘擬合法的誤差較小5，由于本實驗研究的是用于準直光路的光束的剪切干涉條紋，條紋數較少，理論上又有較準確的公式進行描述，所以我們采用最小二乘擬合法。 參考文獻1 張以謨. 應用光學(上)M. 北京:機械工業出版社，1982. 2日久保田廣，波動光學M,劉瑞詳譯，北京:科學出版社，1983, 189239.3徐文東等，恢復橫向剪切干涉原始波面的新方法J，中國激光，1999:Vol.326,No.11:982-986.4史紅民等，剪切干涉技術新進展J，激光雜志，1999:Vol.20,No.4:6-85James S.Slepicka and Soyoung S.Cha,Stabilized Nonlinear Regression for Interferogram AnalysisJ,Applied Optics,Vol.34,No.23,5039-5044 Determination of Primary Spherical Aberrations of a Lens Using the Lateral Shearing InterferogramZHANG Quan,YAO Kun, ZHU Ling,SUN Qing,XUAN Zhi-huaThe Department of Astronomy and Applied Physics of University of Science and Technology of ChinaHefei, Anhui, 230026Abstract: Using a glass plate with two parallel surfaces to construct a simple lateral shearing interferometer for testing wave front aberrations of a thin lens , and then using these interferograms we can get the related geometric aberrations and the distance from focus . At first we study the patterns of computer simulation of the light beam with primary spherical aberration and longitudinal distance from focus in fixed lateral displacement. Then we introduce the results of results of the experiment using a thin lens of 190mm focal length . The results of computer simulation conform to the results of experiments. We can get the errors of collimation of the lens and the primary spherical aberration from the interferograms. It is sense fo