幾何光學習題課1基本知識 在經典物理的范疇內，光是電磁播，其傳播規律由麥克斯韋方程組來描述，但由于光的波長很短，在研究的問題中涉及到的尺度遠大于光波波長時，光的波動性可以忽略，用光線來取代波線，由此建立起來的光傳播理論就是所謂的幾何光學。幾何光學在方法上是幾何的，在物理上不涉及光的本質。1. 折射率 幾何光學的三個定律 全反射折射率的定義：，是光在真空中的速度，是光在該種媒質中的傳播速度；相對折射率的定義：。光的直線傳播定律：在均勻媒質中光沿直線傳播。光的反射和折射定律：（1）反射線和折射線都在入射面內，并分居在法線的兩側；（2）反射角等于入射角；（3）折射角與入射角的正弦比與入射角無關，是一個與媒質和光的波長有關的常數（相對折射率）。（斯涅耳定律）全反射：當光線從光密媒質（）射向光疏媒質（）時，當入射角等于或大于某一角度時（臨界角），折射光線消失，光線全部反射的現象。2.棱鏡與色散偏向角：，：入射角，：出射角；最小偏向角產生的充要條件：或作用：用來測透明介質的折射率：。色散產生的原因：介質的折射率是光束波長的函數， 棱鏡可以用做光譜儀，進行光譜分離。3.光程 費馬原理光程：，光程可以理解為在相同的時間內光線在真空中傳播的距離。注意，光程是一個非常重要的一個概念，在后面的課程中研究光的干涉、衍射、位相延遲時要經常用到。費馬原理：QP兩點間光線的實際路徑是光程為平穩的路徑。數學表達式為：注意：費馬原理的實質是揭示光線在媒質中沿什么路徑傳播。4.光的可逆性原理當光線的方向反轉時，光線將沿著同一路徑傳播。5.共軸球面組的傍軸成像（1）、物（像）點、物（像）的焦點、物象的虛實，物（像）正立倒立的概念； （2）、符號法則：對于折射成像：a、入射光線從左到右；b若物點在球面鏡頂點之左，則物距大于零，若物點在球面鏡頂點之右，則物距小于零；c、若像點在球面鏡頂點之右，則像距大于零，若像點在球面鏡頂點之左，則像距小于零；d、球心在球面鏡頂點之左，（凹面鏡），半徑小于零，球心在球面鏡頂點之右，（凸面鏡），半徑大于零；e、從光軸轉到光線的方向為逆時鐘方向，交角為正，順時鐘方向為負；f、從法線轉到光線的方向為逆時鐘方向，交角為正，順時鐘方向為負；g、對于反射成像，若像點在球面鏡頂點之右，則像距小于零，若像點在球面鏡頂點之左，則像距大于零。（3）、反射球面鏡物像距公式：；或：， 其中：，橫向放大率： （4）、反射球面鏡物像距公式：；或：，其中：橫向放大率：（5）、注意上述各物理量的符號以及正負與物象的虛實，正立倒立的關系。 放大率為負值，成倒立的像；放大率為正值，成倒立的像 物（像）距大于零: 實物（像）；物（像）距小于零：虛物（像）。 放大率絕對值大于1，像放大；放大率絕對值小于1，像縮小。（6）、球面反射鏡的作圖規律（適用于平面鏡）：(a)平行于主光軸的近軸入射光線，經球面反射后，其反射光線通過主焦點；(b)過主焦點的入射光線，經球面反射后，其反射光線和主光軸平行；(c)通過或指向球面曲率中心的入射光線，在投射到球面后其反射光線沿原方向返回；(d)過反射鏡頂點的入射光線，其反射光線位于以主光軸為法線的另一側，反射角等于入射角。 6.球面折射鏡的作圖規律：與球面反射鏡的作圖規律相似，只是物像的焦距不一樣。7.薄透鏡透鏡是由兩個折射球面鏡組成的光具組，兩個球面之間是透明的媒質。兩個折射球面的成像公式：， ，其中為組成透鏡兩個球面頂點之間的距離，對于薄透鏡，。薄透鏡的物像距公式：，其中：，、分別為物方空間、像方空間、透鏡媒質的折射率。當的情況下， （磨鏡者公式），物像距公式變為：。薄透鏡的物像距公式中各物理量的符號和作圖方法與球面鏡的規則一樣。習題分析與解答1、 （P25:16題）極限法測液體折射率的裝置如圖所示，ABC是直角棱鏡，其折射率為已知，將待測液體涂一薄層于其上表面AB，覆蓋一塊毛玻璃。用擴展光源在掠入射的方向照明。從棱鏡的AC面出射的光線的折射角有一下限（用望遠鏡觀察，則在視場中出現有明顯分界線的半明半暗區）試證明待測液體的折射率可按下式算出： 。用這種方法測液體的折射率，測量范圍受什么限制。分析與解答：在AB面入射角較小的光線，在AC面出射時，折射角較大，以折射角下限出射的光線1在AB面的入射角為，對于E點，對于D點，又所以 （這里毛玻璃的作用是增加散射）4、（P55:1題）根據反射定律推導球面反射鏡的物像距公式和焦距公式。（以凹面球面反射鏡為例）分析與解答：先作出對應的光路圖，并注意各量的正負號的選取。如圖 ,在傍軸條件下， 又由反射定律知所以，即：令，則：令，則：即：5、（P55:3題）凹面鏡的半徑為40cm，物體放在何處成兩倍的實像？放在何處成兩倍的虛像？分析與解答：首先要搞清楚這里講的凹面鏡成像是反射還是折射成像？一般來說，題中沒有指明的話，是指反射鏡成像，對于凹面鏡，。成兩倍的實像，所以由凹面反射鏡成像公式： 可得：（像是倒立的）。（如果實像是正立的，由于，則要求，那意味著是虛物成像，不合題意。）成兩倍的虛像，可以求得：（像是正立的）。6（P55: 4題）要把球反射鏡前10cm 處的燈絲成像于3m處的墻上，鏡形應該是凸的還是凹的？半徑應為多大？這時象放大了多少？分析與解答：要成像于墻面上，像必須是實像，球反射鏡前的實物要成實像，所以球面反射鏡必須是凹的。由因為、，所以，由凹面反射鏡成像公式： 可得：放大率：（像是到立的實像）7. （P55: 6題）按已約定的正負符號法則（）（）（）（）（）等，標出下列各圖中的物距、像距、曲率半徑、光線傾角、的絕對值。比較各圖中折射率、的大小，指明各圖中的物、像的虛實。 (1) (2) (3) (4)分析與解答：(1) 、實物、實像。(2) 、虛物、實像。(3) 、實物、虛像。(4) 、虛物、虛像。8、（P56: 8題）若空氣中一均勻球形透明體能將平行光束匯聚于其背面的頂點上，此透明體的折射率應等于到少？分析與解答：如圖所示，這是一個折射問題，設空氣的折射率為（其值取為1.00），均勻球形透明體的折射率為，平行光束照過來，相當于物距，匯聚于均勻球形透明體背面的頂點上，相當于像距（是實像），則由折射球面物像距公式： 可得： 。9、（P56: 9題）如圖，一平行平面玻璃的折射率為，厚度為，點光源發出的傍軸光束（接近于正入射的光束）經上表面成像于;穿過上表面后在下表面反射，在從上表面折射的光束成像于。證明與之間的距離為。分析與解答：（1） 平面鏡可以看著是半徑為無窮大的球面鏡。（2） 這是三次成像問題：第一次成像有兩個，一是經上表面(A面)折射，成像為（虛象，在上表面上方），二是經上表面反射成像于（虛象，在上表面下方）；第二次是折射光線經下表面（B面）反射（以為虛物），成像為（虛象，在下表面下方）；第三次是下表面反射的光線經上表面折射（以為虛物）成像于（虛物，在下表面下方）。 （3）現在要證明的是與之間的距離為。 如圖所示，設離A面的距離為，第一次經A面折射成像的像距為，則： （）， ，（在A面上方）。第一次經A面反射成像的像距為，（在A面下方）。第二次經B面反射成像距B面的距離為，（這里采用了近似）距A面的距離為 。第三次經A面折射成像于， ，與之間的距離為 。10、（P56: 10題）如圖，一會集光束本來交于P點，插入一折射率為1.50的平面平行玻璃板后，像移至P點，求玻璃板的厚度t。分析與解答： 本題是P點經過兩次平面（半徑為無窮大的球面）折射成像于P點（虛物成虛象）。要用到的公式為： （） 所以： ，。考慮到：，所以： 。 ，所以：，代入有關數據可得：。（從上述可知t的結果與P點到玻璃板的距離無關，題中15cm的數據是多余的。）11、（P69: 1題）某透鏡用折射率的玻璃制成，它在空氣中的焦距為10.0cm，它在水中的焦距是多少？（水的折射率為4/3。）分析與解答：本題直接應用公式即可算出。， 將題中給出的參數代入上式即可求出：。12、（P70: 2題）一薄透鏡折射率為1.50，光焦度為5.00D，將其浸入某液體，光焦度變為-1.00D。求此液體的折射率。分析與解答：設透鏡折射率為，液體的折射率為，空氣的折射率為。光焦度： 。所以：將已知條件代入上式即可求得：。13、（P71: 8題）屏幕放在距物100cm遠，二者之間放一凸透鏡。當前后移動透鏡時，我們發現透鏡有兩個位置可以使物成像在屏幕上。測得這兩個位置之間的距離為20.0cm，求（1）這兩個位置到幕的距離和透鏡的焦距；（2）兩個像的橫向放大率。（3）畫出一種情形的成像光路圖。分析與解答：令屏幕與物之間的距離為，則：由凸透鏡成像公式可得： ，又兩次成像的物距為： ， ，；橫向放大率：， 作圖： 14. （P71: 11題）一光學系統由一焦距為5.0cm的會聚透鏡L1和一焦距為10.0cm 的發散透鏡L2組成，L2在L1之右5.0cm。在L1之左10.0cm處置一小物，求經此光學系統后所成的像的位置和橫向放大率。用作圖法驗證計算結果。分析與解答：這是兩次成像問題，設對于，其物像距分別為、，設對于，其物像距分別為、，和之間的距離為，則：，有透鏡的成像公式和已知條件可得：， 解得：，橫向放大率：， 總的橫向放