3.1 導數的概念及其運算一、填空題1若函數f(x)excos x，則此函數圖象在點(1，f(1)處的切線的傾斜角為_(填銳角、直角或鈍角)解析f(x)excos xexsin x，因為函數圖象在點(1，f(1)處的切線斜率kf(1)e(cos 1sin 1)0，所以切線的傾斜角是鈍角答案鈍角2函數yx2(x0)的圖象在點(an，a)處的切線與x軸交點的橫坐標為an1，nn*，若a116，則a3a5_，數列an的通項公式為_解析kf(an)2an，切線方程為ya2an(xan)，令y0，得a2an(an1an)，即.所以an是首項為16，公比為的等比數列，所以an16n125n，a3a55.答案525n3曲線yx32x在點(1，1)處的切線方程是_解析y3x22，k321，所以切線方程為y1x1，即xy20.答案xy204.若滿足f(1)=2,則f(-1)等于_解析 求導后導函數為奇函數,所以選擇b. 答案-25點p是曲線yx2ln x上任意一點，則點p到直線yx2的距離的最小值是_解析設p(t，t2ln t)，由y2x，得k2t1(t0)，解得t1.所以過點p(1,1)的切線方程為yx，它與yx2的距離d即為所求答案6已知直線axby20與曲線yx3在點p(1,1)處的切線互相垂直，則為_解析y(x3)3x2，k3，由題意，31，所以.答案7對正整數n，設曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列的前n項和為_解析由yxnxn1，得ynxn1(n1)xn，kn2n1(n1)2n(n2)2n1，切線方程為y2n(n2)2n1(x2)，所以2n,2222n2n12.答案2n128若直線ykx3與曲線y2lnx相切，則實數k_.解析 設直線與曲線相切于點p(x0，y0)，由題意得：解得y01，x0，k2.答案 29已知函數f(x)xex，則f(x)_；函數f(x)的圖象在點(0，f(0)處的切線方程為_解析f(x)exxex(x1)ex，f(0)1，f(0)0，故函數f(x)的圖象在點(0，f(0)處的切線方程為yx.答案(x1)exxy010已知函數yf(x)及其導函數yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點p處的切線方程是_解析kf(2)1，切線方程為yx2.答案xy2011等比數列中，a12，a84，函數f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，則f(0)_.解析函數f(x) 的展開式含x項的系數為a1a2a8(a1a8)484212，而f(0)a1a2a82124 096.答案4 09612已知二次函數f(x)ax2bxc(a0)的導函數為f(x)，且f(0)0，對于任意實數x有f(x)0，則的最小值為_解析f(x)2axb，f(0)b0，又所以ac，所以c0，所以2.答案213已知直線ymx(mr)與函數f(x)的圖象恰有三個不同的公共點，則實數m的取值范圍是_解析如圖，可求得直線yx與yx21(x0)的圖象相切時恰有兩個不同的公共點，當m時，直線ymx與yf(x)的圖象恰有三個不同的公共點答案(，)二、解答題14曲線yx21上過點p的切線與曲線y2x21相切，求點p的坐標解析 方法一：設p(x0，y0)，由題意知曲線yx21在p點的切線斜率為k2x0，切線方程為y2x0x1x，而此直線與曲線y2x21相切，切線與曲線只有一個交點，即方程2x22x0x2x0的判別式4x24(2x)0，解得x0，y0.p點的坐標為或.方法二：設p(x1，y1)，q(x2，y2)分別為切線與曲線yx21和y2x21的切點則2x14x2，消去x1，得x2，則x1，則p點的坐標為或.15已知函數yf(x).(1)求函數yf(x)的圖象在x處的切線方程；(2)求函數yf(x)的最大值解析(1)因為f(x)，所以kf2e2.又fe，所以yf(x)在x處的切線方程為ye2e2，即2e2xy3e0.(2)令f(x)0，得xe.因為當x(0，e)時，f(x)0，當x(e，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，e)上為增函數，在(e，)上為減函數，所以f(x)maxf(e).16已知：在函數的圖象上，f(x)mx3x以n(1，n)為切點的切線的傾斜角為.(1)求m，n的值；(2)是否存在最小的正整數k，使得不等式f(x)k2 013對于x1,3恒成立？如果存在，請求出最小的正整數k，如果不存在，請說明理由解析(1)依題意，得f(1)tan，即3m11，m.因為f(1)n，所以n.(2)令f(x)2x210，得x.當1x時，f(x)2x210；當x時，f(x)2x210；當x3時，f(x)2x210.又f(1)，f，f，f(3)15，因此，當x1,3時，f(x)15.要使得不等式f(x)k2 013對于x1,3恒成立，則k152 0132 028.所以，存在最小的正整數k2 028，使得不等式f(x)k2 013對于x1,3恒成立17.對于三次函數定義:設f(x)是函數y=f(x)的導函數y=f(x)的導數,若f(x)=0有實數解則稱點為函數y=f(x)的”拐點”.現已知請解答下列問題: (1)求函數f(x)的”拐點”a的坐標; (2)求證f(x)的圖象關于”拐點”a對稱. 解析 (1)f(x)=6x-6. 令f(x)=6x-6=0,得x=1, 2. 拐點a坐標為(1,-2). (2)證明:設是y=f(x)圖象上任意一點,則 因為關于a(1,-2)的對稱點為p把p代入y=f(x)得 左邊 右邊=2=. 左邊=右邊. p在y=f(x)圖象上. y=f(x)的圖象關于點a對稱.18已知函數f(x)x32x23x(xr)的圖象為曲線c，試問：是否存在一條直線與曲線c同時切于兩點？若存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由解析設存在過切點a(x1，y1)的切線與曲線c同時切于兩點，另一切點為b(x2，y2)