1.4.1正弦、余弦函數的圖象教學目標：知識目標：（1）利用單位圓中的三角函數線作出的圖象，明確圖象的形狀；（2）根據關系，作出的圖象；（3）用“五點法”作出正弦函數、余弦函數的簡圖，并利用圖象解決一些有關問題；能力目標：（1）理解并掌握用單位圓作正弦函數、余弦函數的圖象的方法；（2）理解并掌握用“五點法”作正弦函數、余弦函數的圖象的方法； 德育目標：通過作正弦函數和余弦函數圖象，培養學生認真負責，一絲不茍的學習和工作精神；教學重點：用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象； 教學難點：作余弦函數的圖象。 教學過程：一、復習引入：1 弧度定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。2.正、余弦函數定義：設是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點p（x,y）p與原點的距離r()則比值叫做的正弦 記作： 比值叫做的余弦 記作： 3.正弦線、余弦線：設任意角的終邊與單位圓相交于點p(x，y)，過p作x軸的垂線，垂足為m，則有，向線段mp叫做角的正弦線，有向線段om叫做角的余弦線二、講解新課： 1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數、余弦函數的圖象（幾何法）：為了作三角函數的圖象，三角函數的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數值都為實數在一般情況下，兩個坐標軸上所取的單位長度應該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，從而影響初學者對曲線形狀的正確認識（1）函數y=sinx的圖象第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點，以為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點a起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2這一段分成n(這里n=12)等份.（預備：取自變量x值弧度制下角與實數的對應）.第二步：在單位圓中畫出對應于角，,，2的正弦線正弦線（等價于“列表” ）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數圖象上的點（等價于“描點” ）. 第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到正弦函數y=sinx，x0，2的圖象根據終邊相同的同名三角函數值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續地平行移動，每次移動的距離為2，就得到y=sinx，xr的圖象. 把角x的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數y=sinx的圖象. （2）余弦函數y=cosx的圖象 探究1：你能根據誘導公式，以正弦函數圖象為基礎，通過適當的圖形變換得到余弦函數的圖象？根據誘導公式,可以把正弦函數y=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數y=cosx的圖象. （課件第三頁“平移曲線” ）正弦函數y=sinx的圖象和余弦函數y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線思考：在作正弦函數的圖象時，應抓住哪些關鍵點？2用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖（描點法）：正弦函數y=sinx，x0，2的圖象中，五個關鍵點是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函數y=cosx x0,2p的五個點關鍵是哪幾個？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)只要這五個點描出后，圖象的形狀就基本確定了因此在精確度不太高時，常采用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖，要求熟練掌握優點是方便，缺點是精確度不高，熟練后尚可以3、講解范例：例1 作下列函數的簡圖(1)y=1+sinx，x0，2， （2）y=-cosx 探究2 如何利用y=sinx，0，的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到（1）y1sinx ,0，的圖象；（2）y=sin(x- /3)的圖象？小結：函數值加減，圖像上下移動；自變量加減，圖像左右移動。 探究如何利用y=cos x，0，的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到y-cosx ，0，的圖象？ 小結：這兩個圖像關于x軸對稱。探究 如何利用y=cos x，0，的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到y2-cosx ，0，的圖象？小結：先作 y=cos x圖象關于x軸對稱的圖形，得到 y-cosx的圖象，再將y-cosx的圖象向上平移2個單位，得到 y2-cosx 的圖象。探究 不用作圖，你能判斷函數y=sin( x - 3/2 )和y=cosx的圖象有何關系嗎？請在同一坐標系中畫出它們的簡圖，以驗證你的猜想。小結：sin( x - 3/2 )= sin( x - 3/2 ) +2 =sin(x+/2)=cosx這兩個函數相等，圖象重合。例2分別利用函數的圖象和三角函數線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合： 三、鞏固與練習四、小 結：本節課學習了以下內容：1正弦、余弦曲線 幾何畫法和五點法 2注意與誘導公式，三角函數線的知識的聯系五、課后作業： 1.4.2正弦、余弦函數的性質教學目標：1、知識與技能掌握正弦函數和余弦函數的性質2、過程與能力目標 通過引導學生觀察正、余弦函數的圖像，從而發現正、余弦函數的性質，加深對性質的理解并會求簡單函數的定義域、值域、最小正周期和單調區間3、情感與態度目標 滲透數形結合思想，培養學生辯證唯物主義觀點教學重點：正、余弦函數的周期性；正、余弦函數的奇、偶性和單調性。教學難點：正、余弦函數周期性的理解與應用；正、余弦函數奇、偶性和單調性的理解與應用。正弦、余弦函數的性質(一)教學過程：一、復習引入：1問題：（1）今天是星期一，則過了七天是星期幾？過了十四天呢？ （2）物理中的單擺振動、圓周運動，質點運動的規律如何呢？2觀察正（余）弦函數的圖象總結規律：自變量函數值 正弦函數性質如下：（觀察圖象） 1 正弦函數的圖象是有規律不斷重復出現的；2 規律是：每隔2p重復出現一次（或者說每隔2kp,kz重復出現）3 這個規律由誘導公式sin(2kp+x)=sinx可以說明結論：象這樣一種函數叫做周期函數。文字語言：正弦函數值按照一定的規律不斷重復地取得；符號語言：當增加（）時，總有也即：（1）當自變量增加時，正弦函數的值又重復出現； （2）對于定義域內的任意，恒成立。余弦函數也具有同樣的性質，這種性質我們就稱之為周期性。二、講解新課： 1周期函數定義：對于函數f (x)，如果存在一個非零常數t，使得當x取定義域內的每一個值時，都有：f (x+t)=f (x)那么函數f (x)就叫做周期函數，非零常數t叫做這個函數的周期。問題：（1）對于函數，有，能否說是它的周期？（2）正弦函數，是不是周期函數，如果是，周期是多少？（，且）（3）若函數的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？ （是，其原因為：）2、說明：1周期函數x定義域m，則必有x+tm, 且若t0則定義域無上界；t0則定義域無下界； 2“每一個值”只要有一個反例，則f (x)就不為周期函數（如f (x0+t)f (x0)） 3t往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期t中最小的正數叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數沒有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期為2p （一般稱為周期） 從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；判斷：是不是所有的周期函數都有最小正周期？ （沒有最小正周期）3、例題講解 例1 求下列三角函數的周期： （3），解：（1），自變量只要并且至少要增加到，函數，的值才能重復出現， 所以，函數，的周期是（2），自變量只要并且至少要增加到，函數，的值才能重復出現，所以，函數，的周期是（3），自變量只要并且至少要增加到，函數，的值才能重復出現，所以，函數，的周期是練習1。求下列三角函數的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)解：1 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f (z)f (x+2)p+ =f (x+) 周期t=2p2令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即：f (x+p)=f (x) t=p 3令z=+ 則：f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) t=4p 思考：從上例的解答過程中歸納一下這些函數的周期與解析式中的哪些量有關？說明：（1）一般結論：函數及函數，（其中 為常數，且，）的周期；（2）若，如：； ； ，則這三個函數的周期又是什么？一般結論：函數及函數，的周期思考： 求下列函數的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期t1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 t2=yxo1-1p2p3p-pt為t1 ,t2的最小公倍數2p t=2p 2 t=p 作圖 三、鞏固與練習p36面四、小 結：本節課學習了以下內容：周期函數的定義，周期，最小正周期五、課后作業：正弦、余弦函數的性質(二)教學過程：一、 復習引入：偶函數、奇函數的定義，反映在圖象上，說明函數的圖象有怎樣的對稱性呢？二、講解新課： 1. 奇偶性 請同學們觀察正、余弦函數的圖形，說出函數圖象有怎樣的對稱性？其特點是什么？(1)余弦函數的圖形當自變量取一對相反數時，函數y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()； 由于cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情況反映在圖象上就是：如果點（x,y）是函數y=cosx的圖象上的任一點,那么,與它關于y軸的對稱點(-x,y)也在函數y=cosx的圖象上，這時，我們說函數y=cosx是偶函數。 (2)正弦函數的圖形觀察函數y=sinx的圖象，當自變量取一對相反數時，它們對應的函數值有什么關系？這個事實反映在圖象上，說明函數的圖象有怎樣的對稱性呢？函數的圖象關于原點對稱。也就是說，如果點（x,y）是函數y=sinx的圖象上任一點，那么與它關于原點對稱的點（-x,-y）也在函數y=sinx的圖象上，這時，我們說函數y=sinx是奇函數。2.單調性從ysinx，x的圖象上可看出：當x，時，曲線逐漸上升，sinx的值由1增大到1.當x，時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到1.結合上述周期性可知：正弦函數在每一個閉區間2k，2k(kz)上都是增函數，其值從1增大到1；在每一個閉區間2k，2k(kz)上都是減函數，其值從1減小到1.余弦函數在每一個閉區間(2k1)，2k(kz)上都是增函數，其值從1增加到1；在每一個閉區間2k，(2k1)(kz)上都是減函數，其值從1減小到1.3.有關對稱軸觀察正、余弦函數的圖形，可知y=sinx的對稱軸為x= kz y=cosx的對稱軸為x= kz練習1。（1）寫出函數的對稱軸； （2）的一條對稱軸是（ c ）(a) x軸， (b) y軸， (c) 直線， (d) 直線思考：p46面11題。4.例題講解例1 判斷下列函數的奇偶性 (1) (2)例2 函數f(x)sinx圖象的對稱軸是 ；對稱中心是 .例3p38面例3例4 不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0； 例5 求函數 的單調遞增區間；思考：你能求的單調遞增區間嗎？練習2：p40面的練習三、小 結：本節課學習了以下內容：正弦、余弦函數的性質1 單調性2 奇偶性3 周期性四、課后作業： 1.4.3正切函數的性質與圖象教學目標：1、知識與技能：（1）用單位圓中的正切線作正切函數的圖象；（2）用正切函數圖象解決函數有關的性質；2、過程與方法：（1）理解并掌握作正切函數圖象的方法；（2）理解用函數圖象解決有關性質問題的方法，培養學生分析問題，解決問題的能力，培養學生數形結合的思想方法。（3）培養學生類比，歸納的數學思想方法3、情態與價值：培養認真學習的精神。 教學重點：用單位圓中的正切線作正切函數圖象； 教學難點：正切函數的性質。 教學過程：一、復習引入：問題：1、正弦曲線是怎樣畫的？ 2、練習：畫出下列各角的正切線： 下面我們來作正切函數的圖象二、講解新課： 1正切函數的定義域是什么？ 2正切函數是不是周期函數？ ，是的一個周期。 是不是正切函數的最小正周期？下面作出正切函數圖象來判斷。3作，的圖象說明：（1）正切函數的最小正周期不能比小，正切函數的最小正周期是；（2）根據正切函數的周期性，把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數，且的圖象，稱“正切曲線”。y0x（3）正切曲線是由被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的。4正切函數的性質 引導學生觀察，共同獲得：（1）定義域：；（2）值域：r 觀察：當從小于，時， 當從大于，時，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函數是奇函數；（5）單調性：在開區間內，函數單調遞增。5.講解范例：例1比較與的大小解：，內單調遞增， 例2：求下列函數的周期：（1） 答：。 （2） 答：。說明：函數的周期例3：求函數的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調性， 解：1、由得，所求定義域為2、值域為r，周期， 3、在區間上是增函數。思考1：你能判斷它的奇偶性嗎？ （是非奇非偶函數），練習1：求函數的定義域、周期性、奇偶性、單調性。略解：定義域：值域：r 奇偶性：非奇非偶函數單調性：在上是增函數 練習2：教材p45面2、3、4、5、6