直線的的方程、兩條直線的位置關系 56-56高三數學第一輪總復習講義 講義31 直線的的方程、兩條直線的位置關系一、基本知識體系：1、 直線的傾斜角、斜率、方向向量： 求直線斜率的方法：（1）、定義法：k= tana (a)；斜率公式：k= (x1x2）；當x1=x2時，斜率不存在。直線的方向向量：直線L的方向向量為=（a,b),則該直線的斜率為k= 2、 直線方程的五種形式：名稱方程的形式 常數的幾何意義 適用范圍點斜式y-y1=k(x-x1)(x1,y1)為直線上的一個定點，且k存在不垂直于x軸的直線斜截式y= kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸的直線兩點式 = (x1x2,y1y2(x1,y1)、 (x2,y2)為直線上的兩個定點，不垂直于x軸和y軸的直線截距式+ =1 (a,b0)a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過原點的直線一般式Ax+By+C=0 (A2+B20)斜率為，在x軸上的截距為，在y軸上的截距為任何位置的直線3、 判斷兩條直線的位置關系的條件：斜載式：y=k1x+b1 y=k2x+b2一般式：A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0相交k1k2A1B2-A2B10垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1b2A1B2-A2B1=0且 A1C2-A2C10重合k1=k2且b1=b2A1B2-A2B1= A1C2-A2C1= B1C2-B2C10=04、 直線L1到直線L2的角的公式：tanq = (k1k2-1)直線L1與直線L2的夾角公式：tanq = | | (k1k2-1)5、點到直線的距離：點P（x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為d= 6、兩條平行的直線之間的距離：兩條平行線Ax+By+C1=0 和Ax+By+C2=0之間的距離d=7、直線系方程：、過定點P（x0,y0)的直線系方程：y-y0=k(x-x0)；、平行的直線系方程：y=kx+b；、過兩直線A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為：A1x+B1y+C1+l（A2x+B2y+C2）=08、對稱問題：點關于點對稱、點關于線對稱、線關于線對稱、線關于點對稱：二、典例剖析：【例題1】、設函數（x）=asinx-bcosx圖象的一條對稱軸方程為x=,則直線ax-by+c=0的傾斜角為（B ）A B C D 【例題2】已知集合A=（x,y)|x=cosq且y=sinq,q0,B=(x,y)|y=kx+k+1,若AB有兩個元素，則k的取值范圍是_解：畫圖可知，直線與半圓有兩個交點，則,0)【例題3】已知直線過點P（-1，2）,且與以點A（-2，-3）、B（3，0）為端點線段相交，則直線L的斜率的取值范圍是_ (k5,或k)三、鞏固練習：【題1】已知兩條直線和互相垂直，則等于（A）2（B）1（C）0（D）解：兩條直線和互相垂直，則， a=1，選D.【題2】已知過點和的直線與直線平行，則的值為 ( ) A B C D 解： (m+2)(-2)-1(4-m)=0,m=-8, 選(B)【題3】 “”是“直線相互垂直”的（ B ）A充分必要條件 B充分而不必要條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件【詳解】當時兩直線斜率乘積為，從而可得兩直線垂直；當時兩直線一條斜率為0，一條斜率不存在,但兩直線仍然垂直；因此是題目中給出的兩條直線垂直的充分但不必要條件.注意：對于兩條直線垂直的充要條件都存在時；中有一個不存在另一個為零；對于這種情況多數考生容易忽略.【題4】 若三點 A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0 ,b）(ab0)共線，則, 的值等于1/2【題5】已知兩條直線若，則_.解：已知兩條直線若，則2.【題6】已知圓440的圓心是點P，則點P到直線10的距離是 解：由已知得圓心為：，由點到直線距離公式得：；【題7】過點（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k 【題8】直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是A B C D 解：由圓的圓心到直線大于，且，選A。【題9】 若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是：A B C D 解：圓整理為，圓心坐標為(2，2)，半徑為3，要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應小于等于， ， ， ， ，直線的傾斜角的取值范圍是，選B.【題10】7圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是A36 B. 18 C. D. 解：圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.【題11】設直線過點(0，a)，其斜率為1， 且與圓x2+y2=2相切，則a 的值為( ) A B2 B2 D4解；直線過點(0，a)，其斜率為1， 且與圓x2+y2=2相切，設直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑， ， a 的值2，選B【題12】如圖，l1、l2、l3是同一平面內的三條平行直線，l1與l2間的距離是1， l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在l1、l2、l3上，yxOMDABC11212BE則ABC的邊長是(D):（A）（B）（C）（D）【題13】如圖，三定點A(2，1)，B(0，1)，C(2，1); 三動點D，E，M滿足=t， = t ， =t ， t0，1 () 求動直線DE斜率的變化范圍; ()求動點M的軌跡方程解： 如圖， ()設D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)由=t， = t ， 知(xD2，yD1)=t(2，2) 同理 kDE = = = 12t t0，1 ， kDE1，1() =t (x+2t2，y+2t1)=t(2t+2t2，2t1+2t1)=t(2，4t2)=(2t，4t22t) ， y= ， 即x2=4y t0，1， x=2(12t)2，2即所求軌跡方程為: x2=4y， x2，2【題14】已知圓M：（xcosq）2（ysinq）21，直線l：ykx，下面四個命題：（A） 對任意實數k與q，直線l和圓M相切； （B）對任意實數k與q，直線l和圓M有公共點；（C） 對任意實數q，必存在實數k，使得直線l與和圓M相切；（D）對任意實數k，必存在實數q，使得直線l與和圓M相切；其中真命題的代號是_（寫出所有真命題的代號）解：圓心坐標為（cosq，sinq）d;故選（B）（D）O(A)BCDxy圖5【題15】在平面直角坐標系中，已知矩形的長為，寬為，、邊分別在軸、軸的正半軸上，點與坐標原點重合（如圖所示）將矩形折疊，使點落在線段上（）若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；（）求折痕的長的最大值解：（）( i ) 當時,此時A點與D點重合, 折痕所在的直線方程，( ii ) 當時，設A點落在線段上的點， ，則直線的斜率， ，；又折痕所在的直線與的交點坐標（線段的中點）；為，折痕所在的直線方程，即，由( i ) ( ii )得折痕所在的直線方程為：（）折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為由（）知，設折痕長度為d，所在直線的傾斜角為，( i ) 當時，此時A點與D點重合, 折痕的長為2 ；( ii )當時，設，時，l與線段AB相交，此時，時，l與線段BC相交，此時，時，l與線段AD相交，此時，時，l與線段DC相交，此時，將k所在的分為個子區間：當時，折痕所在的直線l與線段DC、AB相交， 折痕的長，當時，折痕所在的直線l與線段AD、AB相交， 令，即，即，即 ，解得；令， 解得 ，故當時，是減函數，當時，是增函數，當時，當時， ，當時，折痕所在的直線l與線段AD、BC相交，折痕的長， ，即，綜上所述得，當時，折痕的長有最大值，為高三數學第一輪總復習講義 講義32 簡單的線性規劃一、 基本知識體系：1、 二元一次不等式（組）Ax+By+C0所表示的平面區域：2、 簡單的線性規劃問題的處理方法：二、 典例剖析：【題1】、在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區域的面積是( )(A) (B)4 (C) (D)2解析：由題知可行域為， ，故選擇B。【題2】、已知平面區域D由以為頂點的三角形內部以及邊界組成。若在區域D上有無窮多個點可使目標函數zxmy取得最小值，則 (C )A2 B1 C1 D4解：依題意，令z0，可得直線xmy0的斜率為，結合可行域可知當直線xmy0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點都可使目標函數zxmy取得最小值，而直線AC的斜率為1，所以m1，選C【題3】、在約束條件下，當時，目標函數的最大值的變化范圍是A. B. C. D. 解：由交點為，當時可行域是四邊形OABC，此時，；當時可行域是OA此時，；故選D.【題4】、設集合，（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為9，則的值是 解：（1）（2）；【題5】、某廠生產甲產品每千克需用原料和原料分別為，生產乙產品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產甲產品和乙產品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產甲、乙兩種產品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數學模型中，約束條件為 （A） （B） （C） （D） 解： 某廠生產甲產品每千克需用原料和原料分別為，生產乙產品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產甲產品和乙產品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產甲、乙兩種產品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數學模型中，約束條件為，選C.【題6】、設，式中變量滿足下列條件則z的最大值為_。（答案：23）【題7】、已知實數滿足，則的最大值是_.解：在坐標系中畫出可行域，得三個交點為A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，則的最大值是0.【題8】、已知變量滿足約束條件若目標函數（其中）僅在點處取得最大值，則的取值范圍為 。解：已知變量滿足約束條件 在坐標系中畫出可行域，如圖為四邊形ABCD，其中A(3，1)，目標函數（其中）中的z表示斜率為a的直線系中的截距的大小，若僅在點處取得最大值，則斜率應小于，即，所以的取值范圍為(1，+)。【題9】、已知點 P（x，y）的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO |的最小值 等于,最大值等于_（答案：、 ） 【題10】、 已知 則的最小值是_.（答案：5）【題11】、某實驗室需購某種化工原料106千克，現在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋24千克，價格為120元. 在滿足需要的條件下，最少要花費 500 元.【題12】、15 設、滿足約束條件，則使得目標函數的值最大的點是 . 答案 【題13】、制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目. 根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100和50，可能的最大虧損率分別為30和10. 投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元. 問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？解：設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目.由題意知 目標函數z=x+0.5y.上述不等式組表示的平面區域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.作直線，并作平行于直線的一組直線與可行域相交，其中有一條直線經過可行域上的M點，且與直線的距離最大，這里M點是直線和的交點.解方程組 得x=4，y=6；此時（萬元）. 當x=4，y=6時z取得最大值.答：投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.三、鞏固練習：【題1】、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為 （答案：-3/2）【題2】、若集合，則中元素的個數為（C）【題3】、如果點在平面區域上，點在曲線上，那么的最小值為（ A ）ABCD【題4】、已知變量滿足約束條件則的取值范圍是（ A ）AB CD【題5】、某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規劃投資后，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤為（B）（A）36萬元（B）31.2萬元（C）30.4萬元（D）24萬元【題6】、設是不等式組表示的平面區域，則中的點到直線距離的最大值是 【題7】、已知實數滿足則的取值范圍是_（答案：）【題8】、設為實數，若，則的取值范圍是 （解：）【題9】、在平面直角坐標系中，已知平面區域，則平面區域的面積為（B）高三數學第一輪總復習講義 講義38 曲線與方程一、 基本知識體系：1、 曲線的方程和方程的曲線：在直角坐標系中，如果某曲線C（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程(x,y)=0 的實數解建立了如下的關系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解；以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。2、 求曲線的方程的一般步驟：建系，設點轉化條件，列出方程化方程(x,y)=0為最簡形式證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。3、 兩條曲線的交點：兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數解，求曲線的交點的問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數解的問題。4、 求軌跡方程的常用方法： 直接法：直接寫出題目中的等量關系，從而化出所求的軌跡方程；這是最常用的一種求法。 定義法：運用解析幾何中一些常用的定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等），可從曲線定義出發直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發建立關系式，從而求出軌跡方程。 相關點法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q（x,y)的運動而有規律地運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求出，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，這種利用相關動點和所求動點的關系求出軌跡方程的方法叫做相關點法，也叫做代入法。 參數法：有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關系，則可借助中間變量（參數），使x,y之間建立起聯系，然后從所求式子中消去參數，得出動點的軌跡方程。 交軌法：求兩動曲線的交點的軌跡方程時，可由方程直接消去參數，例如求兩動直線的交點時常用此方法。也可以引入參數來建立這些曲線的聯系，然后消去參數得到軌跡方程，故交軌法也屬于參數法。二、 典例剖析：【題1】、如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程.解析：以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即， 因為兩圓的半徑都為1,所以有：，設P（x,y） 則（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 綜上所述，所求軌跡方程為：（或）【題2】、已知兩點M（2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內的動點，滿足0，則動點P（x，y）的軌跡方程為( )（A）（B）（C）（D）解：設，；則由，則，化簡整理得 所以選B【題3】、如圖，直線l1：與直線l2：之間的陰影區域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2. （）分別用不等式組表示W1和W2； （）若區域W中的動點P（x，y）到l1，l2的距離之積等于d2，求點P的軌跡C的方程；（）設不過原點O的直線l與（）中的曲線C相交于M1，M2兩點，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點. 求證OM1M2的重心與OM3M4的重心重合. 解：（I）（II）直線直線,由題意得：即由知所以即所以動點P的軌跡方程為（III）、當直線與軸垂直時,由對稱性顯然可知：的中點坐標都為,所以的重心坐標都為,即它們的重心重合.、當直線與軸不垂直時,設直線的方程為由,得由直線與曲線C有兩個不同交點,可知,且設的坐標分別為則設的坐標分別為由從而所以所以于是的重心與的重心也重合.【題4】、已知點 M（2，0），N（2，0），動點 P滿足條件|PM |PN |=，記動點 P的軌 跡為 W；（）求 W 的方程；（）若 A，B 是W上的不同兩點，O 是坐標原點，求的最小值.解：（）由|PM|PN|=知動點 P 的軌跡是以 為焦點的雙曲線的右支，實半軸長又半焦距 c=2，故虛半軸長；所以 W 的方程為,；（）設 A，B 的坐標分別為, ；、當 ABx軸時,從而從而、當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為,與W的方程聯立,消去y得故 所以 .又因為,所以,從而綜上,當AB軸時, 取得最小值2.三、鞏固練習：【題1】、直角坐標平面中，若定點與動點滿足，則點P的軌跡方程是_解答：設點P的坐標是(x,y)，則由知【題2】、以下幾個關于圓錐曲線的命題中設A、B為兩個定點，k為非零常數，則動點P的軌跡為雙曲線；設定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線有相同的焦點.其中真命題的序號為 【解答】雙曲線的第一定義是:平面上的動點P到兩定點是A,B之間的距離的差的絕對值為常數2a,且,那么P點的軌跡為雙曲線,故錯，由,得P為弦AB的中點,故錯，設的兩根為則可知兩根互與為倒數,且均為正,故對，的焦點坐標(),而的焦點坐標(),故正確. 【題3】設過點P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，若，則點P的軌跡方程是（D）A. B. C. D.【題4】如圖, 直線L1和L2相交于點M，L1L2, 點N L1. 以A, B為端點的曲線段C上的任一點到L2的距離與到點N的距離相等. 若DAMN為銳角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立適當的坐標系,求曲線段C的方程.（供選擇用）【題5】、平面的斜線 AB 交于點 B，過定點 A 的動直線與 AB 垂直，且交于點 C，則動 點 C 的軌跡是 （ A ）（A） 一條直線 （B）一個圓 （C）一個橢圓 （D）雙曲線的一支【題】、在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（）點M的軌跡方程；（）的最小值。解：橢圓方程可寫為: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = ；設P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且當x21= ,即x=1時,上式取等號.故|的最小值為3.高三數學第一輪總復習講義 講義33 圓的的方程、直線與圓的位置關系一、 基本知識體系：1、 圓的定義、標準方程、（x-a)2+(y-b)2= r2；參數方程： 2、 圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0配方則有圓心（，），半徑為；反映了其代數特征：x2+y2系數相同且均為1，不含xy項3、 點與圓的位置關系：4、 直線與圓的位置關系：過圓x2+y2= r2上的一點P（x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過圓（x-a)2+(y-b)2= r2；上的一點P（x0,y0)的切線方程為：（x-a)（x0-a)+(y-b)(y0-b)= r2；弦長公式：|AB|=注意：直線與圓的問題中，有關相交弦長劃相切的計算中，一般不用弦長公式，多采用幾何法，即|AB|=25、 圓與圓的位置關系：二、 典例剖析：【題1】、如果直線L將圓:x2+y2-2x-4y=0平分且不通過第四象限,則直線L的斜率的取值范圍是( A )A 0,2 B 0,1 C 0, D 0, )【題2】、若直線x+y=k與曲線y=恰有一個公共點,則k的取值范圍是_-1k3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.【題6】、設直線過點(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,則a 的值為( ) A. B.2 B.2 D.4解：設直線過點(0，a)，其斜率為1， 且與圓x2+y2=2相切，設直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑， ， a 的值2，選B 【題7】、過點（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k 【題8】、圓是以為半徑的球的小圓，若圓的面積和球的表面積的比為，則圓心到球心的距離與球半徑的比1 : 3。解：設圓的半徑為r，則，由得r : R: 3又，可得1 : 3【題9】、過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率解：(數形結合)由圖形可知點A在圓的內部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以【題10】、若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個圓的方程為。解：若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則圓心在直線y=x上，且圓心的橫坐標為1，所以縱坐標為，這個圓的方程為。【題11】、已知直線與圓相切，則的值為 18或8 。解：圓的方程可化為，所以圓心坐標為（1，0），半徑為1，由已知可得，所以的值為18或8。【題12】、若直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是 .解： (0，)高三數學第一輪總復習講義 講義34 橢 圓一、基本知識體系：1、 橢圓的定義：第一定義：|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2)注意焦點三角形的應用； 第二定義： =e (橢圓的焦半徑公式：|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0)2、 橢圓的的方程：焦點在x軸上的方程：（ab0）；焦點在y軸上的方程： （ab0）； 當焦點位置不能確定時，也可直接設橢圓方程為：mx2+ny2=1(m0,n0) 、參數方程：3、 橢圓的幾何性質：標準方程（ab0） （ab0）簡圖中心O（0，0）O（0，0）頂點（a,0) (0,b)(0,a) （b,0)焦點(c,0)(0,c)離心率e= (0e1)e= (0e1,解得e=,選(D)【題3】、點P（-3,1）在橢圓的左準線上.過點P且方向為=(2,-5)的光線，經直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為:( A )（A） （B） (C) （D）解析：如圖,過點P（-3，1）的方向向量=(2,-5);所以， 即;聯立：， 由光線反射的對稱性知：所以，即;令y=0,得F1（-1，0）;綜上所述得： c=1，;所以橢圓的離心率故選A。 【題4】、如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點P為l上的動點，求F1PF2最大值解：()設橢圓的方程為(a0,b0),半焦距為c,則|MA1|=,|A1F1|=a-c由題意,得a=2,b=,c=1.故橢圓的方程為 ()設P(-4,y0),y00,只需求tanF1PF2的最大值即可.設直線PF1的斜率k1=,直線PF2的斜率k2=,0F1PF2PF1Mb0），則有，據此求出e，選B【題4】已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 ；解：已知為所求；【題5】、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_;【題6】、橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程.解：()因為點P在橢圓C上，所以，a=3；在RtPF1F2中故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4,所以橢圓C的方程為1；()設A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）；已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標為（2，1）；從而可設直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因為A，B關于點M對稱； 所以 解得， 所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0.顯然，所求直線方程符合題意。【題7】在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓與直線相切于坐標原點，橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為（1）求圓的方程；（2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由解:(1) 設圓C 的圓心為 (m，n) 則 解得 所求的圓的方程為； (2) 由已知可得 ； ； 橢圓的方程為 ；右焦點為 F( 4，0) ； 假設存在Q（x,y)，則有且（x-4)2+y2=16，解之可得y=3x，從而有點（, )存在。【題9】設橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，若點滿足，則答案為：2【題10】設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，原點到直線的距離為（）證明；（）求使得下述命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則解:（）：由題設及，不妨設點，其中，由于點在橢圓上，有， ，解得，從而得到，過點作，垂足為，易知，故；由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圓上的任意點處的切線方程為當時，圓上的任意點都在橢圓內，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組的解當時，由式得代入式，得，即，于是，若，則所以，由，得在區間內此方程的解為當時，必有，同理求得在區間內的解為另一方面，當時，可推出，從而綜上所述，使得所述命題成立【題11】設F1、F2分別是曲線的左、右焦點.（）若P是第一象限內該曲線上的一點，求點P的作標；（）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于同的兩點A、B，且AOB為銳角（其中O為作標原點），求直線的斜率的取值范圍.（）易知，設則，又，聯立，解得，（）顯然不滿足題設條件可設的方程為，設，聯立由；，得又為銳角，又綜可知，的取值范圍是 【題8】（2007年全國）已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于B，D兩點，過的直線交橢圓于A，C兩點，且，垂足為P（）設P點的坐標為，證明：；（）求四邊形ABCD的面積的最小值解：（）橢圓的半焦距，由；知點在以線段為直徑的圓上，由于r=1b=,則此圓必在此橢圓之內,從而有；（）（）當的斜率存在且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得設，則， 由于弦BD為焦點弦，則有；因為與相交于點，且的斜率為所以，四邊形的面積當時，上式取等號（）當的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為湖南省省級示范性高中洞口三中高三數學第一輪總復習講義講義35 雙曲線一、基本知識體系：7、 雙曲線的定義：第一定義：|PF1|-|PF2|=2a (2a1)2、雙曲線的方程：焦點在x軸上的方程：（a0，b0）；焦點在y軸上的方程： （a0，b0）； 當焦點位置不能確定時，也可直接設橢圓方程為：mx2-ny2=1(mn0，b0） （a0，b0）簡圖中心O（0，0）O（0，0）頂點（a,0) (0,a) 焦點(c,0)(0,c)離心率e= (e1)e= (e1)范圍xa或x-aya或y-a準線方程x=y=漸近線y=xy=x焦半徑P(x0,y0)在右支上時：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a; P(x0,y0)在左支上時：|PF1|= -ex0-a,|PF2|= -ex0+a;P(x0,y0)在上支上時：|PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a; P(x0,y0)在下支上時：|PF1|= -ey0-a,|PF2|= -ey0+a;9、 幾個概念：焦準距：; 通徑：; 等軸雙曲線x2-y2=l (lR,l0)：漸近線是y=x,離心率為：；焦點三角形的面積：b2cot (其中F1PF2=q)；弦長公式：|AB|=；注意；橢圓中：c2=a2-b2,而在雙曲線中:c2=a2+b2,10、 直線與雙曲線的位置關系：討論雙曲線與直線的位置關系時通常有兩種處理方法：代數法：通常設出直線與雙曲線的方程，將二者聯立，消去x或y，得到關于y或x的一元二次方程，再利用根與系數的關系及根的判別式等知識來解決，：、數形結合法。注意直線與雙曲線有兩個交點時，兩交點可能在雙曲線的一支上，也可能在兩支上。11、 雙曲線中的定點、定值及參數的取值范圍問題：定點、定值問題：通常有兩種處理方法：第一種方法是從特殊入手，先求出定點（或定值），再證明這個點（值）與變量無關；第二種方法是直接推理、計算；并在計算的過程中消去變量，從而得到定點（定值）。關于最值問題：常見解法有兩種：代數法與幾何法。若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形的性質來解決，這就是幾何法；若題目中的條件和結論難以體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值，求函數的最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、函數的單調性法等。參數的取值范圍問題：此類問題的討論常用的方法有兩種：第一種是不等式（組）求解法根據題意結合圖形列出所討論的參數適合的不等式（組），通過解不等式（組）再得出參數的變化范圍；第二種是函數的值域求解法：把所討論的參數表示為某個變量的函數，通過討論函數的值域求得參數的變化范圍。二、典例剖析：【題1】雙曲線的漸近線方程是( C )（A） （B） （C） （D）【題2】已知雙曲線的焦點為、，點在雙曲線上且軸，則到直線的距離為 ( C ) （A） （ B） （C） （D）【題3】已知雙曲線的焦點為，點在雙曲線上且，則點到軸的距離為（ C ）A B C D 解：由,得MF1MF2,不妨設M(x,y)上在雙曲線右支上，且在x軸上方,則有(ex-a)2+(ex+a)2=4c2，即(ex)2+a2=2c2,a=1,b=,c=,e=,得x2=,y2=,由此可知M點到x軸的距離是,選(C)【題4】已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）ABC D解：設E是正三角形MF1F2的邊MF1與雙曲線的交點,則點E的坐標為(),代入雙曲線方程,并將c=ae代入,整理得e4-8e2+4=0,由e!,解得e=,選(D) 【題5】若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是_。【題6】設雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率. 解：雙曲線的右焦點為(c, 0)，右準線與兩條漸近線交于P()、()兩點， FPFQ， ， a=b, 即雙曲線的離心率e=.【題7】雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則（ A ）A B C D【題8】若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則m=（ C）(A) (B) (C) (D)【題9】已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于( C ) A. B. C. 2 D.4【題10】過雙曲線的左頂點作斜率為1的直線, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 且, 則雙曲線的離心率是( A )A B C D【題11】