新世紀版小學數學 五年級下冊教材分析 本冊教材的編寫特點 在數與代數的學習中 ， 重視對分數乘除法意義及百分數意義的理解 ， 注重應用分數運算及百分數解決實際問題 在空間與圖形的學習中 ， 注重通過操作活動認識長方體 、 正方體及其表面積和體積 ， 發展空間觀念 在統計的學習中 ， 注重結合現實素材引導學生根據實際情況 ， 選擇合適的統計圖和統計量描述數據 各單元內容介紹與問題釋疑 已學的相關內容 第一學段 分數的初步認識 五年級上冊 分數的再認識 分數加減法 解決簡單的實際問題 第一單元 分數乘法 本單元的主要 內容 分數乘整數 分數乘分數 解決簡單的實 際問題 后續的相關內容 本冊 分數除法及應用 分數的混合運算 解決簡單的實際問 題 第一單元的教學內容及知識點 分數乘法（一） :理解分數乘整數的意義，掌握分數乘整數的計算方法。 分數乘法（二） :進一步理解分數乘整數的意義，并能正確進行計算。 分數乘法（三） :理解分數乘分數的意義，掌握分數乘分數的計算方法。 教學內容 建議課時數 分數乘法（一）： 理解分數乘整數的意義，探索計算方法，理解算理 3 分數乘法 （ 二 ） ：進一步 理解分數乘整數的意義 ， 并解決簡單的實際問題 分數乘法 （ 三 ） ： 體會 “ 分數乘分數 ”的意義 ， 初步探索算法和算理 4 練習一 機動 1 第一單元教學內容的課時安排 問題： 整數乘分數與分數乘整數的意義是否相同？ 首先要明確：“被乘數”和“乘數”的書寫位置是一種人為規定，不要讓這種“人為規定”成為學生學習的障礙。 其次要清楚：學生在學習乘法時最重要的是體會乘法的意義 。 第三要知道：分數乘整數不但可以表示幾個相同分數的和，還可以表示一個數的幾分之幾是多少。 關于教材中的概念 許多人一直質疑新世紀小學數學教材對一些數學概念未能給出嚴謹的文字定義。例如乘法的初步認識，教材的編排如圖： 教材由兒童樂園的具體情境引入 ,在計算相同加數連加的情境中抽象出乘法算式之后，并沒有直接給出定義的嚴格敘述，而是使用描述性的方式：“ 4個 2相加，也可以用乘法這樣表示”。這樣的處理， 一是希望 學生結合具體情境來體會乘法運算的意義；另一方面，希望 教師在教學中避免死扣定義而屏蔽了對運算本身多種原型的理解。因為，乘法意義的解釋本身是意蘊豐富的，應該鼓勵學生在具體情境中充分領悟運算的意義，讓學生在后續的學習中充分豐富對乘法意義的理解。 乘法的意義 一般來說 ,小學階段引入乘法的方法就是重復的加法，實際上用重復的加法對乘法作解釋只是乘法意義的解釋之一。 那么，乘法有哪些意義呢？ 有人在 1992年提出，乘法模型有以下四種解釋： （ 1）乘法可以解釋為含相同個數的集合之合，即單位量 單位數全部個數。如，一輛車子有四個輪子，請問 6輛車有幾個輪子？ （ 2）乘法可以解釋為兩集合內所有元素的對應，即 A集合的個數 B集合的個數全部個數。如，妹妹有 2件上衣、 3條褲子，請問她有幾種不同的搭配方法？ （ 3）乘法可以解釋為方陣排列的個數的計算，即行的單位數 列的單位數全部個數。如， 請問圖中有幾個？ （ 4）乘法可以解釋為兩個集合內個數的比較，即基準量 乘法因子全部個數。如，小美有 4個紅豆餅，小玉是她的 6倍，請問小玉有幾個紅豆餅？ 在大辭海（數理化力學卷）中，對“乘法”的注釋 是：“乘法，數學基本運算之一。最簡單的自然數的 乘法，可以理解為把一個自然數擴大若干倍的運算， 如 3 7可以看作把 3擴大 7倍”。這里對乘法的解釋實 際上可以理解為第四種解釋，用來解釋分數的乘法也 是便于理解的，如 5，就可以解釋為 的 5倍， 或者把 5縮小到原來的 （實際上就是 5的 ）。 109109109 109 另外，按照 J.L.MARTIN編著的 教與學的新方法 （史靜寰審譯，北京師范大學出版社， 2004年出版）：“乘法的意義還可以解釋為這樣一種方法，這種方法包含兩個活動（每一個活動都產生一個集合）。用它來解釋我們的例子5 3：首先做一個數目為 5的集合，然后做三個這樣的集合。第二步運用了第一步的結果。換句話說就是做一個含有三個數目為 5的集合的集合（這種方法有時叫做集合的集合）。兒童最好成組活動。每一個孩子可以做第一個活動即做一個集合，然后將他們的集合放在一起就完成了第二個活動。同時也可以認為是五的三倍。” 這種方法適用于所有正數乘法的解釋。例如 ，很難想成是四分之三個二分之一相加，但是可以認為是先取四分之三再取它的二分之一。 4321關于乘法的以上解釋，問題并不是哪一種解釋是正確的，重要的是，對于一個數學概念，我們應該盡可能多地讓學生認識到不同的解釋，這對于發展學生的數學概念是非常有益的。特殊地對于運算，重要的是使學生理解運算的不同“原型”。 乘法運算的教學建議 1.創設豐富的數學情境尤為重要。即與整數乘法的意義一樣 ,分數乘法意義的教學也要結合具體的情境進行教學。 2.運用具體的學具，幫助學生理解分數乘法的意義也是十分必要的。 3.分數教學中一定要讓學生充分經歷分數的意義和發現的過程。 問題： 分數乘整數的實際含義是什么？ 一個數乘分數的實際含義是什么？ 分數乘整數 k（ k1），就是求 k個相同的這個分數的和，也就是求這個分數的 k倍是多少。 一個數乘分數 ，就是求把這個分數平均分成 n份以后，取其中的 m份是多少，也就是求這個數的 是多少。 nmnm案例：分數乘法（一） 已學的相關內容 認識長方體、正方體、圓柱、球 第二單元 長方體（一） 本單元的主要內容 長方體（正方體）的基本特征 長方體（正方體）的展開圖 長方體（正方體）的表面積 解決生活中的簡單 實際問題 后續的相關內容 本冊 長方體 （ 正方體 ）的體積 六年級 認識圓柱和圓錐 圓柱的表面積與體積 圓錐的體積 第二單元的教學內容及知識點 長方體的認識 ：進一步認識長方體和正方體，了解其各部分名稱，并能正確描述其特點。 展開與折疊 ：認識簡單的長方體和正方體的展開圖，加深對長方體和正方體的認識。 長方體的表面積 ：探索并理解長方體和正方體的表面積及其計算方法，并能正確計算。 露在外面的面 ：解決堆放物體露在外面的面的面積；發現對方的正方體的個數與摟在外面的面數之間變化規律。 教學內容 建議課時數 長方體的認識 （ 含正方體的認識 ） 2 展開與折疊 （ 長方體 、 正方體的展開圖 ） 長方體的表面積 （ 含正方體 ） 3 露在外面的面 練習二 2 第二單元教學內容的課時安排 問題： 什么是長方體 ?什么是正方體？ 底面是矩形的 直平行六面體 叫做長方體。是一種特殊的直平行六面體。在長方體中，相交于同一頂點的三條棱的長分別叫做長方體的長、寬、高。 底面是平行四邊形的 棱柱 叫做平行六面體。如果側面與底面垂直，這樣的平行六面體叫做直平行六面體，其他的叫做斜平行六面體。 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這樣的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側面。 長、寬、高相等的長方體叫做正方體。 問題： 獎狀是長方體嗎？ 一年級時學生學過“面在體上”，事實上面是數學上的抽象的概念，現實生活中沒有單獨存在的面，所以，從嚴格意義上講，不僅是獎狀，即便是非常薄的紙，也是長方體，因為，再薄也有厚度。但是在學生最初認識長方體時，我們要從比較容易觀察的、長寬高都比較明顯的長方體入手，不必刻意讓學生來理解這一點，而當學生說獎狀是長方體時，老師一定是要肯定的。 問題： 如何把握“展開與折疊”的教學要求？ 1.教師可以充分利用教材附頁中的材料，幫助學生操作、思考、判斷，逐步發展學生的空間觀念。 2.教師還可以讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒，每個學生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀，由于剪的方法不同，展開的形狀也可能是不同的。雖然 不要求 學生掌握多種剪開的方法，但教師要借助這些展開圖引導學生進行交流，發展學生的空間觀念。 3.教師在教學過程中，可以在實物操作的基礎上，引導學生“閉上眼睛想象實物展開或折疊的過程”，促進學生建立表象，幫助學生理解并發展空間觀念。 4.注意： 在教學中有的教師給出了十一種展開圖，并讓學生總結、記憶十一種圖形的特點，用以判斷什么樣的圖形能折疊后圍成正方體，什么樣的圖形不能圍成正方體。 這個要求過高 ，因為，在這里展開圖只是用于發展學生空間觀念的載體。在學生交流時，可以通過展示多種展開圖讓學生觀察，但 不宜讓學生作為知識點來記憶 。 問題： 有七個面的圖形能不能圍成長方體？圍成長方體時能不能有重合的面？ 這一部分內容是長方體的展開與折疊，是通過三維與二維的轉換來培養學生的空間觀念的好素材。但這里圍成長方體的圖形有它 特殊的要求 ：這個圖形應當是從長方體展開得到的，并且兩個面之間要有一條公共的棱相連，不能斷。這樣，就要求圍成長方體時不能有重合的面。 案例：長方體和正方體的認識 案例：以長方體的認識為例談怎樣使精心設計的數學活動更具實效？ 已學的相關內容 五年級上冊 分數 分數加減法 解決有關簡單的問 題 本冊 分數乘法 解決有關簡單的問 題 第三單元 分數除法 本單元的主要 內容 倒數的認識 分數除以整數 一個數除以分數 解決有關簡單的 問題 后續的相關內容 本冊 分數混合運算 解決有關的簡 單的實際問題 第三單元的教學內容及知識點 倒數 ：在計算、觀察、比較等活動中，發現倒數的特征，理解倒數的意義；掌握求一個數倒數的方法。 分數除法（一） ：理解分數除法的意義，掌握分數除以整數的計算方法，并能正確進行計算。 分數除法（二） ：進一步理解分數除法的意義和一個數除以分數的算理，掌握其計算方法，并能正確進行計算。 分數除法（三） ：能用方程解決簡單的有關分數的 實際問題（即，逆向思維的應用題 單位“ 1”未知）。 教學內容 建議課時數 倒數 2 分數除法 (一 ) 分數除法 (二 ) 4 分數除法 (三 ) 練習三 2 機動 1 第三單元教學內容的課時安排 問題： 的倒數能不能寫成 ？ 52 212倒數的定義是：“乘積是 1的兩個數互為倒數”。這里除了對這兩個數的積的大小做了限制之外，對這兩個數的表現形式，并沒有做任何規定。可見，一個數的倒數，可以是整數、也可以是分數或小數。當一個數的倒數是分數時，可以是真分數，也可以是假分數。如果是假分數，不寫成帶分數的形式也行，寫成帶分數的形式也行。 問題： 分數除法為什么可以用被除數乘除數的倒數？ 1.利用除法的意義進行推導。 2.利用除法的性質推導。 問題： 分數除以分數，能不能用分子除以分子，分母除以分母？ 兩個分數相除，一般方法是用被除數乘除數的倒數，但這不是唯一的方法，如果遇到被除數的分子、分母分別能被除數的分子、分母整除時（如 等），用分子除以分子，分母除以分母進行計算，也是可以的。否則還是用被除數乘除數的倒數的方法計算比較好。 證明過程 109 53案例：倒數的認識 已學的相關內容 第一學段 認識長方體 、正方體 、 圓柱 、球 本冊教材 長方體（正方體）的認識與表面積 第四單元 長方體（二） 本單元的主要內容 認識體積和容積 長方體（正方體）的體積 體積（容積）單位、實際意義及換算 探索不規則物體體積的測量方法 后續的相關內容 六年級 認識圓柱和圓錐 圓柱的表面積與體積 圓錐的體積 第四單元的教學內容及知識點 體積與容積 ：了解體積和容積的實際含義，理解其概念。 體積單位 ：認識體積和容積單位及其實際意義。 長方體的體積 ：探索并掌握長方體和正方體體積的計算方法，并能正確計算。 體積單位的換算 ：認識體積、容積單位之間的進率，會進行體積、容積單位之間的換算（單名數）。 有趣的測量 ：探索不規則物體體積的測量方法，會解決一些簡單的實際問題。 第四單元教學內容的課時安排 教學內容 建議課時數 體積與容積 3 體積單位 長方體的體積 3 體積單位的換算 練習四 2 問題： 為什么把體積和容積的內容放在一起學習？ 首先，容積是容器所能容納物體的體積，從本質上說，容積和體積是一樣的，只是應用的地方不一樣。我們在學習概念時，要把握概念的本質特征。 其次，學生根據生活經驗能夠意識到，我們周圍的物體是有大小的，同時也是占有一定空間的。例如，學生在生活中可能會判斷一個食品袋能否裝得下五個蘋果，在這個判斷的過程中自然就有樸素的對蘋果體積和食品袋容積的體會。所以，學生借助生活經驗會很容易地把體積和容積聯系在一起。 因此，兩個內容一起學習有助于學生體會容積和體積的本質，希望教師在二者的共同點上下功夫，不要讓學生在二者的區別上耗費精力。 問題： 怎樣理解、把握體積與容積？ 體積和容積的概念有時會混淆，部分原因是因為它們有相似之處。一個容器的容積是指一個容器所包圍的空間的體積。而體積則是指物體所占空間的大小，它可以從兩方面來理解： （ 1）內部體積，指一個