第三章 復變函數的積分(II)3-3 柯西公式【教材P36-42】(一) 單連通區域中的柯西公式柯西公式： 設復變函數在閉單連通區域（）中解析(是區域的邊界線)， 則在區域內任一點 的值可由沿邊界線的積分確定（積分路徑沿區域邊界線的正方向進行）: ， ，柯西公式說明： 解析函數在其解析區域內任一點的函數值可由函數在該區域邊界上的值來確定。這是解析函數的重要性質之一。證明： 對于任意固定的，由前面的例子知: 兩邊乘以，得: , 因此只要證明: ，即得: ，這就證得柯西積分公式。 作為的函數在內除點外均解析。以為圓心，很小的為半徑，作圓周。由復連通區域的柯西定理，得: ，上式表明右邊的積分是與的半徑無關的，所以:而 當時，（），由于是連續的，則: ，。從而 。，。 例1：利用柯西公式證明: ，為以為圓心，為半徑的圓周（積分的環繞方向為沿逆時鐘方向）。證明：設, 則例2：設代表圓周，計算積分。（為圓周內的任意點， ）解： 由柯西積分公式： ， 得： 例3： 計算 (沿圓周正向)解： 由柯西公式, 得: 例4: 計算 (沿圓周正向)解： 由柯西積分公式 , 得： 例5: 設，證明積分a. 當是圓周時，等于；b. 當是圓周時，等于；c. 當是圓周時，等于。證明：的奇點為及。a. 當是圓周時，及均在圓外，在圓內解析。由柯西定理: 。b. 當是圓周時，僅在圓內。由柯西積分公式得: 。c. 當是圓周時，僅在圓內。由柯西積分公式得：。(二) 復連通區域中的柯西公式 設函數在閉復連通區域中解析，的邊界由外邊界線和內邊界線，組成。 則函數在閉復連通區域內任意一點的函數值可以用它在邊界上的值表示出來： ， 說明：在上述積分公式中積分路徑包括復連通區域的全部邊界，全部積分均沿所有邊界線的正方向進行。 （對外邊界線，其正方向為沿逆時鐘方向； 對內邊界線，其正方向為沿順時鐘方向，用等表示.） (三) 無界區域中的柯西公式設 f(z) 在某一閉合曲線C的外部解析，并且當時f(z)一致地趨于零（即與幅角無關，f(z)隨模的增大而趨于零），則對于閉合曲線C的外部的任意一點, 有：說明：（1）在閉合曲線C的外部解析；（2）當時一致地趨于零；（3）是閉合曲線C的外部的任意一點；（4）積分應沿閉曲線C的順時鐘方向進行（相對于閉曲線C外部的區域而言，依然為沿區域邊界線的正方向進行積分）.3-4 復變解析函數的高階導數（推廣的柯西公式）由柯西公式: ，而，從而被積函數是處處連續的。因此可在積分號下對求導，得一階導數為（相對于來講）：，( )為表達清楚起見，積分變量以代替，以代替表示內的任一點，則上式可表為： ， ，求次導數，得：，（），） 這就是推廣的柯西積分公式，它表明在區域內解析的函數可以求導任意多次，其任意階導數均可以寫成沿區域邊界線的積分的形式。說明： （1）解析函數在其解析的區域內可以求導任意多次（即任意階導數都存在），這是解析函數的又一重要特點。（2）對復連通區域，高階導數公式依然成立（積分沿內、外邊界線的正方向進行）。（3）高階導數公式的作用，不在于通過積分來求導，而在于通過求導來求積分。（求導運算比積分運算要簡單的多）。例1： 設代表圓周：. 計算積分。解：由推廣的柯西積分公式: ,得： ，令, ， , 得例2：計算積分，其中為包圍（為任意復數）的任意簡單閉曲線。解：根據推廣的柯西積分公式: ， 令, , 得:例3: 計算 其中 為正向圓周: 解: 由公式： , 令, , 得: 例4: 由積分之值，證明，為單位圓周。解: 在單位圓周所圍區域內解析。由柯西定理得：。 （1）另一方面，在上， （2）因為為的奇函數，所以： 于是由（1）、（2）可得： 。 （3）又 的偶函數， 于是由（2）和（3）得：第三章 習 題1、不用計算，證明下列積分之值均為零，其中均為圓心在原點，半徑為的單位圓周： （1）； （2）。2、計算：（1）； （2）。3、 求積分（為單位圓周）， 從而證明。