湖北省仙桃市沔州中學2013屆高三第三次考試數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：（共10小題，每題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）（2012陜西）集合m=x|lgx0，n=x|x24，則mn=（）a（1，2）b1，2）c（1，2d1，2考點：對數函數的單調性與特殊點；交集及其運算專題：計算題分析：先求出集合m、n，再利用兩個集合的交集的定義求出 mn解答：解：m=x|lgx0=x|x1，n=x|x24=x|2x2，mn=x|1x2，故選c點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，兩個集合的交集的定義和求法，屬于基礎題2（5分）（2012湖南）命題“若=，則tan=1”的逆否命題是（）a若，則tan1b若=，則tan1c若tan1，則d若tan1，則=考點：四種命題專題：應用題分析：首先否定原命題的題設做逆否命題的結論，再否定原命題的結論做逆否命題的題設，寫出新命題就得到原命題的逆否命題解答：解：命題：“若=，則tan=1”的逆否命題為：若tan1，則故選c點評：考查四種命題的相互轉化，命題的逆否命題是對題設與結論分別進行否定且交換特殊與結論的位置，本題是一個基礎題3（5分）（2012陜西）下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（）ay=x+1by=x2cdy=x|x|考點：函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明專題：探究型分析：對于a，非奇非偶；對于b，是偶函數；對于c，是奇函數，但不是增函數；對于d，令f（x）=x|x|=，可判斷函數既是奇函數又是增函數，故可得結論解答：解：對于a，非奇非偶，是r上的增函數，不符合題意；對于b，是偶函數，不符合題意；對于c，是奇函數，但不是增函數；對于d，令f（x）=x|x|，f（x）=x|x|=f（x）；f（x）=x|x|=，函數是增函數故選d點評：本題考查函數的性質，考查函數的奇偶性與單調性的判斷，屬于基礎題4（5分）（2012重慶）設x，yr，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，則|+|=（）abcd10考點：數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；向量的模；平面向量共線（平行）的坐標表示專題：計算題分析：由兩個向量垂直的性質可得2x4=0，由兩個向量共線的性質可得42y=0，由此求出 x=2，y=2，以及的坐標，從而求得|的值解答：解：向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，則有2x4=0，42y=0，解得 x=2，y=2，故=（3，1 ）故有|=，故選b點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題5（5分）若，則的值是（）abcd考點：兩角和與差的正切函數專題：計算題分析：注意到sin與cos之間的關系，sin2+cos2=1，便得出方程組，解這個關于sin與cos的2元2次方程組，求得sin與cos，再得tan，最后利用和角公式求得的值解答：解：sin2+cos2=1，便得出方程組解這個關于sin與cos的2元2次方程組，所以tan=1故有答案：b點評：本題考查三角變換，解題的關鍵是聯想公式的特點與結構，進行代換，從而轉化為特殊角的三角函數，求出三角函數的值6（5分）（2013東至縣一模）函數f（x）=asin（x+）（其中）的圖象如圖所示，為了得到g（x）=sin2x的圖象，則只需將f（x）的圖象（）a向右平移個長度單位b向右平移個長度單位c向左平移個長度單位d向左平移個長度單位考點：由y=asin（x+）的部分圖象確定其解析式專題：計算題；數形結合分析：由已知中函數f（x）=asin（x+）的圖象，我們易分析出函數的周期、最值，進而求出函數f（x）=asin（x+）的解析式，設出平移量a后，根據平移法則，我們可以構造一個關于平移量a的方程，解方程即可得到結論解答：解：由已知中函數f（x）=asin（x+）（其中）的圖象，過（，0）點，（）點，易得：a=1，t=4（）=，即=2即f（x）=sin（2x+），將（）點代入得：+=+2k，kz又由=f（x）=sin（2x+），設將函數f（x）的圖象向左平移a個單位得到函數g（x）=sin2x的圖象，則2（x+a）+=2x解得a=故將函數f（x）的圖象向右平移個長度單位得到函數g（x）=sin2x的圖象，故選a點評：本題考查的知識點是由函數f（x）=asin（x+）的圖象確定其中解析式，函數f（x）=asin（x+）的圖象變換，其中根據已知中函數f（x）=asin（x+）的圖象，求出函數f（x）=asin（x+）的解析式，是解答本題的關鍵7（5分）（2012黑龍江）已知an 為等比數列，a4+a7=2，a5a6=8，則a1+a10=（）a7b5c5d7考點：等比數列的性質；等比數列的通項公式專題：計算題分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=8可求a4，a7，進而可求公比q，代入等比數列的通項可求a1，a10，即可解答：解：a4+a7=2，由等比數列的性質可得，a5a6=a4a7=8a4=4，a7=2或a4=2，a7=4當a4=4，a7=2時，a1=8，a10=1，a1+a10=7當a4=2，a7=4時，q3=2，則a10=8，a1=1a1+a10=7綜上可得，a1+a10=7故選d點評：本題主要考查了等比數列的性質及通項公式的應用，考查了基本運算的能力8（5分）已知函數y=f（x）的周期為2，當x0，2時，f（x）=（x1）2，如果g（x）=f（x）log5|x1|，則函數y=g（x）的所有零點的個數是（）a2b4c6d8考點：函數的周期性；根的存在性及根的個數判斷專題：計算題；壓軸題；函數的性質及應用分析：先根據函數的周期性畫出函數y=f（x）的圖象，以及y=log5|x1|的圖象，結合圖象可得當x6時，y=log5|x1|1，此時與函數y=f（x）無交點，再根據y=log5|x1|的圖象關于直線x=1對稱，結合圖象即可判定函數g（x）=f（x）log5|x1|的零點個數解答：解：由題意可得g（x）=f（x）log5|x1|，根據周期性畫出函數f（x）=（x1）2的圖象以及y=log5|x1|的圖象，根據y=log5|x1|在（1，+）上單調遞增函數，當x=6 時，log5|x1|=1，當x6時，y=log5|x1|1，此時與函數y=f（x）無交點再根據y=log5|x1|的圖象和 f（x）的圖象都關于直線x=1對稱，結合圖象可知有8個交點，則函數g（x）=f（x）log5|x1|的零點個數為 8，故選d點評：本題考查函數的零點，求解本題，關鍵是研究出函數f（x）性質，作出其圖象，將函數g（x）=f（x）|log5x|的零點個數的問題轉化為兩個函數交點個數問題是本題中的一個亮點，此一轉化使得本題的求解變得較容易，屬于中檔題9（5分）已知等差數列an的前n項和為sn，a5=5，s5=15，則數列的前100項和為（）abcd考點：數列的求和；等差數列的前n項和專題：計算題分析：由等差數列的通項公式及求和公式，結合已知可求a1，d，進而可求an，代入可得=，裂項可求和解答：解：設等差數列的公差為d由題意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差數列的通項公式可得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n=1=故選a點評：本題主要考查了等差數列的通項公式及求和公式的應用，及數列求和的裂項求和方法的應用，屬于基礎試題10（5分）（2012上海）設an=sin，sn=a1+a2+an，在s1，s2，s100中，正數的個數是（）a25b50c75d100考點：數列的求和；三角函數的周期性及其求法專題：計算題；壓軸題分析：由于f（n）=sin的周期t=50，由正弦函數性質可知，a1，a2，a240，a26，a27，a490，f（n）=單調遞減，a25=0，a26a50都為負數，但是|a25|a1，|a26|a2，|a49|a24，從而可判斷解答：解：由于f（n）=sin的周期t=50由正弦函數性質可知，a1，a2，a240，a25=0，a26，a27，a490，a50=0且sin，sin但是f（n）=單調遞減a26a50都為負數，但是|a25|a1，|a26|a2，|a49|a24s1，s2，s25中都為正，而s26，s27，s50都為正同理s1，s2，s75都為正，s1，s2，s75，s100都為正，故選d點評：本題主要考查了三角函數的周期的應用，數列求和的應用，解題的關鍵是正弦函數性質的靈活應用二、填空題（共25分）（選做題：15、16題為選做題，若兩題都答，則按第15題給分）11（5分）（2012江蘇）函數f（x）=的定義域為（0，考點：對數函數的定義域專題：計算題分析：根據開偶次方被開方數要大于等于0，真數要大于0，得到不等式組，根據對數的單調性解出不等式的解集，得到結果解答：解：函數f（x）=要滿足120，且x0，x0，x0，x0，0，故答案為：（0，點評：本題考查對數的定義域和一般函數的定義域問題，在解題時一般遇到，開偶次方時，被開方數要不小于0，；真數要大于0；分母不等于0；0次方的底數不等于0，這種題目的運算量不大，是基礎題12（5分）在abc中，已知a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，s為abc的面積若向量=（4，a2+b2c2），=（）滿足，則c=考點：余弦定理；平行向量與共線向量專題：計算題分析：通過向量的平行的坐標運算，求出s的表達式，利用余弦定理以及三角形面積，求出c的正切值，得到c的值即可解答：解：由，得4s=（a2+b2c2），則s=（a2+b2c2）由余弦定理得cosc=，所以s=又由三角形的面積公式得s=，所以，所以tanc=又c（0，），所以c=故答案為：點評：本題考查向量的平行，三角形的面積公式以及余弦定理的應用，考查計算能力13（5分）（2012遼寧）已知等比數列an為遞增數列，且，則數列an的通項公式an=2n考點：數列遞推式專題：計算題分析：通過，求出等比數列的首項與公比的關系，通過2（an+an+2）=5an+1求出公比，推出數列的通項公式即可解答：解：，a1=q，2（an+an+2）=5an+1，2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比數列an為遞增數列，舍去）故答案為：2n點評：本題主要考查等比數列的通項公式，轉化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題14（5分）已知集合u=1，2，3，4，5，6，對于集合au，定義s（a）為a中所有元素之和，則全體s（a）的總和s=672考點：集合的包含關系判斷及應用專題：計算題分析：根據已知可以計算出含1，2，3，4，5，6的滿足條件的a均有+=25=32個，即s（a）的實際是把1+2+3+4+5+6的和重復累加32次，進而可得答案解答：解：u=1，2，3，4，5，6，au，則含1的滿足條件的a共有+=25=32個同理含2，3，4，5，6的滿足條件的a也有32個故s（a）=32（1+2+3+4+5+6）=3221=672故答案為：672點評：本題考查的知識點是集合的子集，其中正確理解s（a）的意義是解答的關鍵15（5分）（2010江蘇）已知函數，則滿足不等式f（1x2）f（2x）的x的范圍是（1，1）考點：分段函數的解析式求法及其圖象的作法；其他不等式的解法專題：壓軸題分析：由題意f（x）在0，+）上是增函數，而x0時，f（x）=1，故滿足不等式f（1x2）f（2x）的x需滿足，解出x即可解答：解：由題意，可得故答案為：點評：本題考查分段函數的單調性，利用單調性解不等式，考查利用所學知識分析問題解決問題的能力16（2012江蘇）設a為銳角，若cos（a+）=，則sin（2a+）的值為考點：三角函數中的恒等變換應用；兩角和與差的余弦函數；兩角和與差的正弦函數；二倍角的正弦專題：計算題；壓軸題分析：根據a為銳角，cos（a+）=為正數，可得a+也是銳角，利用平方關系可得sin（a+）=接下來配角，得到cosa=，sina=，再用二倍角公式可得sin2a=，cos2a=，最后用兩角和的正弦公式得到sin（2a+）=sin2acos+cosasin=解答：解：a為銳角，cos（a+）=，a+也是銳角，且sin（a+）=cosa=cos（a+）=cos+sin=sina=sin（a+）=cossin=由此可得sin2a=2sinacosa=，cos2a=cos2asin2a=又sin=sin（）=，cos=cos（）=sin（2a+）=sin2acos+cosasin=+=故答案為：點評：本題要我們在已知銳角a+的余弦值的情況下，求2a+的正弦值，著重考查了兩角和與差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函數中的恒等變換應用，屬于中檔題三、解答題（共75分）17（12分）已知函數f（x）=2sinxcosx2cos2x（xr）（）求函數f（x）的最小正周期；（）當時，求函數f（x）的取值范圍考點：三角函數的周期性及其求法；正弦函數的定義域和值域專題：計算題分析：（）利用二倍角公式、兩角差的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，然后求函數f（x）的最小正周期；（）當時，推出，結合正弦函數的最值，求函數f（x）的取值范圍解答：解：（）因為f（x）=sin2xcos2x1=所以（7分）（）當時，所以當，當，f（x）min=2所以f（x）的取值范圍是（13分）點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，二倍角公式、兩角差的正弦函數公式等知識，考查計算能力18（12分）如圖平面四邊形abcd中，ab=ad=a，bc=cd=bd 設bad=（i）將四邊形abcd的面積s表示為的函數（ii）求四邊形abcd面積s的最大值及此時值考點：解三角形專題：應用題；三角函數的圖像與性質；解三角形分析：（i）在bad中，由余弦定理求bd，從而可求四邊形abcd的面積；（ii）將四邊形的面積化簡，確定角的范圍，利用三角函數的圖象，即可求得四邊形abcd面積s的最大值解答：解：（i）在bad中，由余弦定理可得=四邊形abcd的面積s=+2a2（1cos）=+a2（）=+a2sin（）（0）（ii）0，sin（）1當且僅當，即時，sin（）取得最大值1四邊形abcd面積s的最大值為+a2，此時點評：本題考查三角函數知識，考查余弦定理的運用，考查三角函數的性質，屬于中檔題19（12分）（2012海淀區二模）已知等差數列an的前n項和為sn，公差d0，s5=4a3+6a，且a1，a3，a9成等比數列（1）求數列an的通項公式；（2）求數列的前n項和公式考點：等差數列與等比數列的綜合；等差數列的通項公式；等比數列的通項公式專題：綜合題；等差數列與等比數列分析：（1）利用s5=4a3+6a，且a1，a3，a9成等比數列，建立方程，可求數列的首項與公差，即可得到數列an的通項公式；（2）利用裂項法，即可求數列的前n項和公式解答：解：（1）因為s5=4a3+6，所以5a1+10d=4（a1+2d）+6（3分）因為a1，a3，a9成等比數列，所以a1（a1+8d）=（a1+2d）2（5分）由及d0可得：a1=2，d=2（6分）所以an=2n（7分）（2）由an=2n，可知sn=n2+n（9分）所以=，（11分）所以數列的前n項和為1+=，（13分）點評：本題考查等差數列的通項公式、等比數列的性質，考查裂項法求數列的和，屬于中檔題20（12分）（2012廣東）設數列an的前n項和為sn，滿足，且a1，a2+5，a3成等差數列（1）求a1的值；（2）求數列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數n，有考點：數列與不等式的綜合；等差數列的性質；數列遞推式專題：計算題；證明題；綜合題分析：（1）在2sn=an+12n+1+1中，令分別令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1，a2+5，a3成等差數列，從而可求得a1；（2）由2sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，an+1=3an+2n，由可知an+2n為首項是3，3為公比的等比數列，從而可求an；（3）（法一），由an=3n2n=（32）（3n1+3n22+3n322+2n1）3n1可得，累加后利用等比數列的求和公式可證得結論；（法二）由an+1=3n+12n+123n2n+1=2an可得，于是當n2時，累乘得：，從而可證得+解答：解：（1）在2sn=an+12n+1+1中，令n=1得：2s1=a222+1，令n=2得：2s2=a323+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13又2（a2+5）=a1+a3解得a1=1（2）由2sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也滿足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n對nn*成立an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，an=3n2n；（3）（法一）an=3n2n=（32）（3n1+3n22+3n322+2n1）3n1，+1+=；（法二）an+1=3n+12n+123n2n+1=2an，當n2時，累乘得：，+1+點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查數列遞推式，著重考查等比數列的求和，著重考查放縮法的應用，綜合性強，運算量大，屬于難題21（13分）時下，網校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價格x（單位：元/套）滿足的關系式，其中2x6，m為常數已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套（1）求m的值；（2）假設網校的員工工資，辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數），試確定銷售價格x的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大（保留1位小數）考點：導數在最大值、最小值問題中的應用；根據實際問題選擇函數類型；利用導數求閉區間上函數的最值專題：應用題；導數的綜合應用分析：（1）利用銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套，代入關系式，即可求得m的值；（2）確定每日銷售套題所獲得的利潤，利用導數的方法求最值，從而可得銷售價格x的值解答：解：（1）因為銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套，所以x=4時，y=21，代入關系式，得，解得m=10（2）由（1）可知，套題每日的銷售量，所以每日銷售套題所獲得的利潤，從而f（x）=12x2112x+240=4（3x10）（x6）（2x6）令f（x）=0，得，且在上，f（x）0，函數f（x）單調遞