第2講 導數的應用(一)一、選擇題1與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程是()a2xy30 b2xy30c2xy10 d2xy10解析設切點坐標為(x0，x)，則切線斜率為2x0，由2x02得x01，故切線方程為y12(x1)，即2xy10.答案d2若函數h(x)2x在(1，)上是增函數，則實數k的取值范圍是 ()a(2，) b(2，)c(，2) d(，2)解析由條件得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k(2，)答案a3函數f(x)(4x)ex的單調遞減區間是 ()a(，4) b(，3)c(4，) d(3，)解析f(x)ex(4x)exex(3x)，令f(x)0，3x3.答案d4函數f(x)ax3bx在x處有極值，則ab的值為()a2 b2 c3 d3解析 f(x)3ax2b，由f3a2b0，可得ab3.故選d.答案 d 5對于r上可導的任意函數f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有()af(0)f(2)2f(1)解析不等式(x1)f(x)0等價于或可知f(x)在(，1)上遞減，(1，)上遞增，或者f(x)為常數函數，因此f(0)f(2)2f(1)答案c6已知函數f(x)的定義域為1,5，部分對應值如下表f(x)的導函數yf(x)的圖象如圖所示下列關于函數f(x)的命題：函數yf(x)是周期函數；函數f(x)在0,2上是減函數；如果當x1，t時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；當1a2時，函數yf(x)a有4個零點其中真命題的個數有 ()a4 b3 c2 d1解析依題意得，函數f(x)不可能是周期函數，因此不正確；當x(0,2)時，f(x)0，因此函數f(x)在0,2上是減函數，正確；當x1，t時，f(x)的最大值是2，依題意，結合函數f(x)的可能圖象形狀分析可知，此時t的最大值是5，因此不正確；注意到f(2)的值不明確，結合圖形分析可知，將函數f(x)的圖象向下平移a(1a0，當x(0,2)時，f(x)0，顯然當x2時f(x)取極小值答案 29若曲線f(x)ax5ln x存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是_解析f(x)5ax4，x(0，)，由題意知5ax40在(0，)上有解即a在(0，)上有解x(0，)，(，0)a(，0)答案(，0)10已知函數yx3bx2(2b3)x2b在r上不是單調減函數，則b的取值范圍是_解析yx22bx(2b3)，要使原函數在r上單調遞減，應有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使該函數在r上不是單調減函數的b的取值范圍是b3.答案(，1)(3，)三、解答題11設函數f(x)ax33x2，(ar)，且x2是yf(x)的極值點，求函數g(x)exf(x)的單調區間解f(x)3ax26x3x(ax2)因為x2是函數yf(x)的極值點所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1，經驗證，當a1時，x2是函數f(x)的極值點，所以g(x)ex(x33x2)，g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因為ex0，所以yg(x)的單調增區間是(，0)和(，)；單調減區間是(，)和(0，)12已知函數f(x)x3ax1(1)若f(x)在(，)上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)是否存在實數a，使f(x)在(1,1)上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在試說明理由解 (1)f(x)3x2a由0，即12a0，解得a0，因此當f(x)在(，)上單調遞增時，a的取值范圍是(，0(2)若f(x)在(1,1)上單調遞減，則對于任意x(1,1)不等式f(x)3x2a0恒成立即a3x2，又x(1,1)，則3x2e2.注：e是自然對數的底數(1)解易知函數f(x)的定義域為(0,1)(1，)，f(x).由函數f(x)在內有極值，可知方程f(x)0在內有解，令g(x)x2(a2)x1(x)(x)不妨設0e，又g(0)10，所