線性代數常見計算題型及常用思路僅供參考！一、 計算題題型1解線性方程組（必須掌握）（1） 最常用方法：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設為），然后對自由未知量賦予任意值，即設，這兒為任意常數。把賦予自由未知量的值帶入方程組，解除方程組的解（是關于的一些表達式）（2） 方法（1）的變形：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設為）。設是的一組基（常取自然基）。然后令，分別解得方程組的解：（這是一個基礎解系）。則可知方程組的解為，這兒為任意常數。（一般解）（3） Cramer法則。注意：Cramer法則只對系數矩陣可逆的情形適用。題型2將用線性表示（或求坐標）常用思路：待定系數法。設使得。然后根據題設條件得到關于的一個方程組。解方程組。方法二：利用課本定理4.10（如果已知在某一組基下的矩陣）題型3判斷的線性相關性常用思路：待定系數法。設使得。然后根據題設條件得到關于的一個方程組。解方程組。如果方程組只有零解，則線性相關。反之，線性無關。題型4求的極大無關組及秩常用思路：待定系數法。設使得。然后根據題設條件得到關于的一個方程組。用高斯消元法化簡方程組，得到自用未知量。不是自用未知量的所對應的放到一起，就構成了原向量組的一個極大無關組。題型4求基與維數 常用方法：找到一組有限生成元，轉化為題型4。題型5. 將擴充為一組基常用思路：首先確定出的一個極大無關組，設為。然后設，構建線性方程組 （假設是列向量） 然后解除上面方程組的一個基礎解系，設為 （想想為什么一定有個）。則 就是一組基（想想為什么線性無關）題型6Schmidt正交化過程題型7. 兩組基的過渡矩陣（轉化為題型2）題型8. 線性映射（變換）的矩陣 方法一：利用定義，轉化為題型2。 方法二：利用課本定理7.4（如果已知在一組基下的矩陣及過渡矩 陣）題型9. 求矩陣的秩（可考慮放棄） 方法一：基于初等變換不改變矩陣得知，利用初等變換把原矩陣 化為一個容易看出秩的矩陣（一般為階梯形）。 方法二：利用分塊矩陣。主要基于以下幾個公式： 方法三：利用秩的一些性質，主要是： 方法四：利用的行/列秩，轉化為題型4或利用向量組 的秩的一些性質 方法五：利用的行列式秩 方法六：利用線性方程組解的結構，主要基于：題型10. 求可逆矩陣的逆矩陣 方法一：基于可逆的唯一解為，利用線 性方程組求解。 方法二：基于可逆矩陣可寫成初等矩陣的乘積，利用初等變換求 解，主要是兩個公式： 前者只能用行變換，后者只能用列變換。 方法三：利用分塊矩陣求解。主要基于兩個公式：（假設已知可逆） 注意：主對角線上的子塊必為可逆方陣。 方法四：利用伴隨矩陣（一定要細心！）題型11. 求行列式（小心符號！） 方法一：利用初等變換或課本5.1節的簡單性質化為三角陣或其他容易求解的行列式。 方法二：利用公式（注意必為同型方陣） 方法三：利用按行/列展開公式，一般得到遞推公式。 方法四：前面三者結合。（最為常用） 幾個必須知道的結論： （1）三角形行列式=對角線元素乘積 （2） （3）范德蒙行列式題型12. 求特征值與特征向量及矩陣對角化（必須掌握） 方法：利用特征多項式求特征值，利用求線性方程組的基礎解系 求特征向量。最后注意：在寫出以及原矩陣的相似標準形時， 要注意特征向量與特征值是相互對應的。題型13. 實對稱矩陣的對角化 方法：和題型12一致，但是要加入Schmidt正交化過程及單位化。 要注意的是：千萬不要把所有的特征向量放在一起Schmidt正交 化，一定要分別對每個特征值所對應的特征向量分別正交化，也 就是說：如果有m個不同特征值，要進行m次Schmidt正交化過 程！題型14. 求二次型/矩陣相合標準形與相合規范形（必須掌握） 方法一：配方法。 方法二：初等變化法。（參考課本例題，此兩種方法和中學所用的 一致） 方法三：利用題型12或13，基于正交矩陣的逆矩陣和轉置一樣。線性代數常見證明題型及常用思路僅供參考！二、證明題題型1關于線性相關性的證明中常用的結論（1）設，然后根據題設條件，通過解方程組或其他手段：如果能證明必全為零，則線性無關；如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關。（2）線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。（3）如果，則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。（4）如果我們有兩個線性無關組，且是同一個線性空間的兩個子空間，要證線性無關。這種情況下，有些時候我們設。根據題設條件往往能得到，進而由的線性無關得到系數全為零。題型2. 關于歐氏空間常用結論（1）內積的定義（2）單位正交基的定義（3）設是單位正交基，。則5題型3. 關于矩陣的秩的證明中常用的結論（1）初等變換不改變矩陣的秩（2）乘可逆矩陣不改變矩陣的秩（3）階梯形的秩（4）幾個公式（最好知道如何證明）：常用來證明關于秩的不等式（5）利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩（常用來證明關于秩的不等式）例：證明：。證：上面第二個等號是用左乘第一個分塊矩陣的第一行，然后加到第二行所得；第三個等號是用又乘第二個分塊矩陣的第一列，然后加到第二列所得。（6）利用齊次線性方程組解的結構（），此方法也可以用來證明關于向量組的秩方面的的問題。（7）利用向量組的秩與維數 主要是兩個結論：（i）矩陣的秩=列秩=行秩 （ii）的定義域 的維數（8）利用行列式秩（9）利用相抵標準形題型4. 關于可逆矩陣常用結論（1）結論：可逆有唯一解。（2）結論：可逆可逆。（3）結論：可逆當且僅當可以寫為初等矩陣的乘積。（4）結論：可逆當且僅當0不是它的特征值。題型5. 關于矩陣對角化的常用結論（1）結論： 相似于。（2）結論：任一個復數域上的方陣都相似于一個若當形矩陣。（3）特征值與特征向量的定義（4）結論：是的特征值。（5）結論：屬于不同特征值的特征向量線性無關。（6）結論：特征多項式的常數項就是它的行列式，它的第n-1次項的系數就是對角線上元素之和。（7）結論：。（8）結論：課本P242定理7.8。（9）結論：課本P242推論。（10）結論：課本P243定理7.10。（11）結論：實對稱矩陣一定可以通過正交矩陣對角化。題型6. 關于二次型的常用結論：（1）定義：二次型的矩陣。（2）定義：相合關系。（3）實對稱矩陣的相似標準形