高考大題專項練3數列問題1.在等比數列an(nn*)中,a11,公比q0,設bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求證:數列bn是等差數列;(2)求數列bn的前n項和sn及數列an的通項an.2.(2014福建質檢)已知等比數列an的前n項和為sn,a4=2a3,s2=6.(1)求數列an的通項公式;(2)若數列bn滿足:bn=an+log2an,求數列bn的前n項和tn.3.如圖,從點p1(0,0)作x軸的垂線交曲線y=ex于點q1(0,1),曲線在q1點處的切線與x軸交于點p2,再從p2作x軸的垂線交曲線于點q2,依次重復上述過程得到一系列點:p1,q1;p2,q2;pn,qn.記pk點的坐標為(xk,0)(k=1,2,n).(1)試求xk與xk-1的關系(2kn);(2)求|p1q1|+|p2q2|+|pnqn|.4.(2014湖北七市模擬)已知數列an是公比為的等比數列,且1-a2是a1與1+a3的等比中項,前n項和為sn;數列bn是等差數列,b1=8,其前n項和tn滿足tn=nbn+1(為常數,且1).(1)求數列an的通項公式及的值;(2)比較+sn的大小.5.(2014福建福州質檢)已知數列log3(an-1)(nn*)為等差數列,且a1=4,a2=10.(1)求數列an的通項公式;(2)求證:+.6.已知各項均為正數的兩個數列an和bn滿足:an+1=,nn*.(1)設bn+1=1+,nn*,求證:數列是等差數列;(2)設bn+1=,nn*,且an是等比數列,求a1和b1的值.答案：1.(1)證明:bn=log2an,bn+1-bn=log2=log2q為常數.數列bn為等差數列,且公差d=log2q.(2)解:設數列bn的公差為d,b1+b3+b5=6,b3=2.a11,b1=log2a10.b1b3b5=0,b5=0.解得sn=4n+(-1)=.an=25-n(nn*).2.解:(1)設等比數列an的公比為q,由解得所以an=a1qn-1=2n.(2)bn=an+log2an=2n+log22n=2n+n,所以tn=(21+1)+(22+2)+(2n+n)=(21+22+2n)+(1+2+n)=2n+1+-2.3.解:(1)設pk-1(xk-1,0),由y=ex得qk-1(xk-1,)點處的切線方程為y-(x-xk-1).由y=0得xk=xk-1-1(2kn).(2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1),所以|pkqk|=e-(k-1),于是sn=|p1q1|+|p2q2|+|pnqn|=1+e-1+e-2+e-(n-1)=.4.解:(1)由題意得(1-a2)2=a1(a3+1),即=a1,解得a1=,an=.設bn的公差為d,又即解得(舍),=.(2)由(1)知sn=1-,sn=.又tn=4n2+4n,=,+=,由可知+sn.5.(1)解:設等差數列的公差為d,由a1=4,a2=10,得log3(4-1)=1,log3(10-1)=2,所以d=1,所以log3(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=3n+1.(2)證明:因為,所以+=.6.解:(1)證明:由題設知an+1=,所以,從而=1(nn*),所以數列是以1為公差的等差數列.(2)因為an0,bn0,所以(an+bn)2,從而10知q0.下證q=1.若q1,則a1=logq時,an+1=a1qn,與(*)矛盾;若0qa21,故當nlogq時,an+1=a1qn1,與(*)矛盾.綜上,q=1,故a