習(xí)題1.1A（P15）提示（僅供參考）1用定義（語言）證明：（1）證明：，故對，欲使，只需，即。故對，取（注意：不能寫成，以下幾個(gè)類似），當(dāng)時(shí)有故（2）證明：，故對，欲使，只需，即。故對，取，當(dāng)時(shí)有故（3）證明：，故對，欲使，只需，即。故對，取當(dāng)時(shí)有故（4）證明：，故對，欲使，只需，即。故對，取當(dāng)時(shí)有故（5）證明：，故對，欲使，只需，即。故對，取當(dāng)時(shí)有故（注意：若用夾逼法：）（6）證明：，注意到，故，欲使，只需，即。故對，取當(dāng)時(shí)有故（注意：若用夾逼法：）2證明：的充分必要條件是對，只有的有限多項(xiàng)不在中。證明：（必要性）若，則， 時(shí)有，故至多有項(xiàng)在不再中。（充分性）對，只有的有限多項(xiàng)不在中，不妨設(shè)不在中項(xiàng)為，取（即取不在中項(xiàng)腳標(biāo)的最大者，故當(dāng)時(shí)有，即。4.證明若，則。反之不一定，舉例說明。但若，則有證明：由 ，有對，時(shí)有，故對，取 時(shí)有，故。反之不一定，例數(shù)列。由，有對，時(shí)有。故對，取 時(shí)有，故5：證明 設(shè)，證明5：證明 設(shè)，證明證明 若，由 ，有對，時(shí)有故對，取 ，當(dāng)時(shí)有故若，則由極限的保號(hào)性得。由 ，有對，時(shí)有故對，取 ，當(dāng)時(shí)有故6證明：若，有界，則證明：有界，故可設(shè)由，有對，時(shí)有故對，取 當(dāng)時(shí)有，故。7若是否一定有或。解：否。例，8（1）設(shè)，均收斂，問是否必然收斂。解：否，例。（2）設(shè)，滿足，則。證明：由，則有對，時(shí)有，則有對，時(shí)有故對，?。ㄗ⒁獠荒苋?，當(dāng)時(shí)有，故。（3）設(shè)，收斂，這時(shí)能否保證一定收斂？解：能。不妨設(shè)，由有，故即，故由8（2）一定收斂.9證明：若單調(diào)數(shù)列有收斂子列，則證明：不妨設(shè)是單調(diào)增的。設(shè)子列（也是單調(diào)增的）收斂于，從而對，時(shí)有對，取，當(dāng)時(shí)有，故10.求極限（1）解(2) 解(3) 解：（公式(4) 解： ， 故（5）解 由 ，有 （6）解 由，有（7）解 11求下列極限（夾逼法）(1) 解 ，又，故（2）見學(xué)習(xí)輔導(dǎo)“例12（2）”（3）解 ，又（4）解，又，故12 設(shè)令都是非負(fù)實(shí)數(shù)，證解：不妨設(shè)，則。，故13 求（必須先證明存在性再設(shè)），其中（1）見學(xué)習(xí)輔導(dǎo)“例22”(2) ,解：有界性：，設(shè)，則單調(diào)性：顯然，設(shè)，則求極限：設(shè)，由取極限得，解出（3）見學(xué)習(xí)輔導(dǎo)“例25”（4），解 有界性：單調(diào)性： ，若，則，否則求極限：設(shè)，由得，故。15 試判斷數(shù)列的斂散性：（1），其中；解 欲使，只需故對，取，當(dāng)時(shí)，對都有即是基本列，故收斂。（2）證明: 故是單調(diào)增的。又故也是有界的，故存在，設(shè)為。，故由習(xí)題1.1（A）8(2)知道收斂。（3）證明:，對，取，則有故不是基本列，則發(fā)散。（4）解 取，對，存在，且滿足故從而這說明不是基本列，故發(fā)散。16 設(shè)，且，則證明：對，由知使得當(dāng)時(shí)，故對，取，當(dāng)時(shí)，故17求極限（1）（2）(3) (4) 習(xí)題1.1（B）1 O.Stolz公式（1）設(shè)，且嚴(yán)格減。若，則證明：（A）若，對，則存在使得當(dāng)時(shí)，即從而當(dāng)時(shí)把上式不等式相加的 其對成立又，故當(dāng)時(shí)由得當(dāng)時(shí)有故對，取，當(dāng)時(shí)有即從而。（B）若，則。由，故對，存在，當(dāng)時(shí)有，即，從而存在，當(dāng)時(shí)有，即嚴(yán)格遞減的，故由可得，即（C）若，令,利用（B）可證明。（2）嚴(yán)格增，且，若，則證明：（A）若，則，令，即，故對，則存在使得當(dāng)時(shí)由得得（使用迭代）即兩邊除以，再同時(shí)減去得故當(dāng)時(shí)又，則存在使得當(dāng)時(shí)對，取使得當(dāng)時(shí)故（B）若，則。由，故對，存在，當(dāng)時(shí)有，即故嚴(yán)格增的，再由得，從而時(shí)，從而由（A）得，故（C）若，令,利用（B）可證明。2設(shè)證明（1）證明 利用O.Stolz公式（2）只需令，則故?；蚶枚x直接證明。（2）討論時(shí)(1)中的結(jié)論。證明：利用O.Stolz公式可得，或均成立。但，不成立，例，故時(shí)O.Stolz公式也不成立。（3），其中證明：，由保號(hào)性可得故（當(dāng)，時(shí)）故，故（4），其中證明：見附錄參考答案及提示。3 設(shè)，證明證明：設(shè)，故利用習(xí)題1.1（B）2(4)可得又，故，注意到，可得4.設(shè)收斂，證明證明：（微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)P6例11（4）設(shè)，則有5.若，證明證明 令， 則，利用故利用習(xí)題1.1（B）2(1)可得又，故，從而同理利用習(xí)題1.1（B）2(1)可得又，故。易知，故。6.若證明證明 見（微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)P6例11（2）即令，對前項(xiàng)應(yīng)用題1.1（B）2(1).7.證明證明：見（微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)P17例19（2）令，再利用習(xí)題1.1（B）2(4)可證明。8.求下列極限：（1）解：注意到，故，即又，故（2）解 顯然，又在是單增的，故，故進(jìn)一步有顯然數(shù)列是單減有界的。故存在設(shè)為，易知，注意到，故有，從而得同理可得，故。（3）解 ，故又，故9.設(shè)，求證證明 顯然且是單調(diào)增的，若有界，則存在，故可設(shè)，且，但由可得，這不可能，故無界，從而。 由可得，故令，則有對運(yùn)用習(xí)題1.1（B）2(1)可得故，故。10.求，其中（1）；解 參照微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)“P23例28”(2),且參見微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)P22例2611 若數(shù)列滿足：存在常數(shù)，使得對一切，有證明（1） 數(shù)列收斂。（2） 數(shù)列收斂證明（1）因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)增加的，且有上界，故數(shù)列收斂。（2）設(shè)，則 因?yàn)槭諗浚允荂auchy數(shù)列，即對，存在當(dāng)時(shí)。故數(shù)列有對，取，當(dāng)時(shí)，即也是Cauchy數(shù)列，所以收斂。12.證明下列不等式（1）（1）由是單調(diào)增加且，所以；由于