求極限的方法1引言數學分析這門課程研究的對象是函數, 而研究函數的方法就是極限, 數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限, 從方法論的角度來講, 用極限的方法來研究函數, 這是數學分析區別于初等數學的最顯著標志, 所以說極限是數學分析中的重要概念, 也是數學分析中最基礎最重要的內容。數學分析中的基本概念的表述，都可以用極限來描述。如函數yf(x)在處導數的定義，定積分的定義，偏導數的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數學分析的基本公具。極限是貫穿數學分析的一條主線。學好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數是否存在極限。2：若函數否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。2方法及應用2.1依據函數極限的定義求極限定義 (函數極限的“”定義)設函數在點的某個空心領域內有定義，為定數，若對任給的，存在正數，使得當時，有，則稱函數當趨于時，以為極限，記作=或。例：設，證明.證：由于當時，故對于給定的，只要取，則當時有例2:求極限.解：函數在時有意義,將函數寫成的多項式,得到=，對任給的,取，凡是0時，都有：.所以，欲求的極限是1.2.2利用函數極限的迫斂性（夾逼準則）求極限夾逼準則：設=，且在某內有,則=。例: 求解：當時，有 ，而，故由迫斂性得，當時，有，故由迫斂性又可得，綜上，求得.2.3利用四則運算法則求極限四則運算法則：若 (1) (2)(3)若 B0 則： （4） （c為常數）上述性質對于。例：求極限（1） (2) (3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因為 所以 2.4利用兩個重要極限公式求極限兩個極限公式： 但我們經常使用的是它們的變形：在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可以利用公式。例：求（1） （2）解：（1）應用重要極限，分子分母同時除以并變形 .（2）上式.2.5利用無窮小量的性質求極限 無窮小量的性質：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。 例：求 解： 因為 ， 所以 02.6利用函數的連續性求極限這種方法適用于求復合函數的極限。如果 u=g(x) 在點連續 g()=,而y=f(u)在點連續，那么復合函數y=f(g(x)在點連續。即也就是說，極限號可以與符號f互換順序。例：求 解：令 ylnu, u 因為 lnu 在點 處連續， 所以 12.7利用導數的定義求極限 導數的定義：函數f(x)在附近有定義，則 如果存在，則此極限值就稱函數 f(x)在點 的導數記為 .即在這種方法的運用過程中。首先要選好f(x)。然后把所求極限。表示成f(x)在定點的導數。 例：求 解：取f(x)= .則 2.8利用中值定理求極限（1） 拉格朗日中值定理：函數 f(x) 滿足 () 在 連續 .()在(a,b)可導；則在(a,b)內至少存在一點，使 。例：求 解： （2）積分中值定理：設函數f(x) 在閉區間 上連續;g(x) 在上不變號且可積，則在上至少有一點使得 。例：求 解： 2.9利用泰勒展開式求極限 泰勒展開式：若 f(x)在x=0點有直到n+1 階連續導數,那么 (其中在0與1之間) 例： 解：泰勒展開式 于是- 所以2.10利用定積分求和式求函數利用定積分求和式的極限時首先選好恰當的可積函數f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區間 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 例：求 解：由于 可取函數 f(x)區間為上述和式恰好是 在 上n等分的積分和。 所以 2.11利用單側極限求極限形如：(1) 求含的函數x趨向無窮的極限，或求含的函數x趨于0的極限;(2) 求含取整函數的函數極限;3 分段函數在分段點處的極限;4 含偶次方根的函數以及或的函數，趨向無窮的極限. 這種方法還能使用于求分段函數在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數在分界點處的極限存在，否則極限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右極限 解：1 1 2.12利用洛必達法則求極限：定理：若此定理是對型而言，對于函數極限的其它類型，均有類似的法則。注：運用洛必達法則求極限應注意以下幾點：1、 要注意條件，也就是說，在沒有化為時不可求導。2、 應用洛必達法則，要分別的求分子、分母的導數，而不是求整個分式的導數。3、 要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用洛必達法則，否則會引起錯誤。4、當 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。 例：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述極限是待定型1(2) 它為型 由對數恒等式可得 = 2.13利用換元法求極限： 當一個函數的解析式比較復雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。 例：3 求 解：令 則 12.14依據等量代換法求極限 利用常見的等量代換(當x時)： 可以簡化某些極限問題的計算.例1：.注意：在等量代換計算極限時，一般都要強調限定對“乘積因式”的等量代換，對于非乘積因式，有反例表明這樣的代換會