第二節集合 1 集合的基本概念 1 集合中元素的三個特性 2 元素與集合的關系 屬于或不屬于 3 集合的三種表示方法 描述法 2 集合間的基本關系 1 子集 若對 x a 都有 則a b或b a 2 真子集 若a b 但 則a b x b 確定性 互異性 無序性 列舉法 venn圖法 3 集合的基本運算 a b a b ua x x a 或x b x x a 且x b x x u 且x a 1 集合a y y x2 1 b x y y x2 1 是否是相同的集合 提示 集合a b不同 集合a y y x2 1 y y 1 是數集 表示函數y x2 1的值域 集合b是點集 表示拋物線y x2 1上所有點組成的集合 2 若全集u a b 則 ub a成立嗎 提示 當a b 時 ub a 當a b 時 ub a 答案 d 2 2012 廣東高考 設集合u 1 2 3 4 5 6 m 1 2 4 則 um a ub 1 3 5 c 3 5 6 d 2 4 6 解析 u 1 2 3 4 5 6 m 1 2 4 um 3 5 6 答案 c 3 若p x x 1 q x x 1 則 a p qb q pc rp qd q rp 解析 p x x 1 rp x x 1 因此 rp q 答案 c 4 若集合a x x 1 b x x a 且a b 則實數a的取值范圍為 a a 1b a 1c a 1d a 1 解析 a b a 1 答案 b 2013 揭陽模擬 設p q為兩個非空實數集合 定義集合p q a b a p b q 若p 0 2 5 q 1 2 6 則p q中元素的個數為 a 9b 8c 7d 6 思路點撥 先確定a值 再確定b值 注意元素的互異性 嘗試解答 當a 0 b 1 2 6時 a b 1 2 6 當a 2 b 1 2 6時 a b 3 4 8 當a 5 b 1 2 6時 a b 6 7 11 故集合p q 1 2 3 4 6 7 8 11 共有8個元素 答案 b 1 解答本題時 若不按分類討論計算 易漏掉元素 2 1 用描述法表示集合 首先要弄清集合中代表元素的含義 再看元素的限制條件 明確集合類型 是數集 點集還是其它的集合 2 對于含有字母的集合 在求出字母的值后 要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性 已知集合a x ax2 3x 2 0 若a 則實數a的取值范圍為 答案 1 1 2 3 1 解答本題 2 時應注意兩點 一是a b a b a 二是b a時 應分b 和b 兩種情況討論 2 集合a中元素的個數記為n 則它的子集的個數為2n 真子集的個數為2n 1 非空真子集的個數為2n 2 3 已知兩集合間的關系求參數時 關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系 進而轉化為參數滿足的關系 解決這類問題常常合理利用數軸 venn圖化抽象為直觀 2013 惠州調研 已知集合a 1 1 b x ax 1 0 若b a 則實數a所有可能取值的集合為 a 1 b 1 c 1 1 d 1 0 1 答案 d 1 2012 深圳調研 設全集u 1 3 5 6 8 a 1 6 b 5 6 8 則 ua b a 6 b 5 8 c 6 8 d 5 6 8 2 2012 浙江高考 設集合a x 1 x 4 集合b x x2 2x 3 0 則a rb a 1 4 b 3 4 c 1 3 d 1 2 3 4 思路點撥 1 先求 ua 再求 ua b 2 先化簡集合b 求出 rb 再借助數軸求a rb 嘗試解答 1 依題意得 ua 3 5 8 ua b 5 8 選b 2 解x2 2x 3 0得 1 x 3 b 1 3 則 rb 1 3 a rb 3 4 答案 1 b 2 b 1 在進行集合的運算時要盡可能地借助venn圖和數軸使抽象問題直觀化 一般地 集合元素離散時用venn圖表示 集合元素連續時用數軸表示 用數軸表示時要注意端點值的取舍 2 在解決有關a b a b等集合問題時 往往忽略空集的情況 一定先考慮 是否成立 以防漏解 3 要注意六個關系式a b a b a a b b ua ub a ub ua b u的等價性 2013 惠州質檢 若集合a x x 1 x r b y y 2x2 x r 則 ra b a x 1 x 1 b x x 0 c x 0 x 1 d 解析 由 x 1 得x 1或x 1 a x x 1或x 1 則 ra x 1 x 1 又b y y 0 ra b x 0 x 1 答案 c 正如數軸是研究實數的工具 venn圖是研究集合的工具 借助venn圖和數軸即數形結合能使抽象問題直觀化 其中運用數軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心 1 空集在解題時具有特殊地位 它是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 應時刻關注對空集的討論 防止漏解 2 在解決含參數的集合問題時 要檢驗集合中元素的互異性 否則很可能會因為不滿足 互異性 而導致結論錯誤 創新探究之一以集合為背景的新定義題 2012 課標全國卷 已知集合a 1 2 3 4 5 b x y x a y a x y a 則b中所含元素的個數為 a 3b 6c 8d 10 解析 因為a 1 2 3 4 5 所以集合a中的元素都為正數 若x y a 則必有x y 0 即x y 當y 1時 x可取2 3 4 5 共有4個數 當y 2時 x可取3 4 5 共有3個數 當y 3時 x可取4 5 共有2個數 當y 4時 x只能取5 共有1個數 當y 5時 x不能取任何值 綜上 滿足條件的實數對 x y 的個數為4 3 2 1 10 即集合b中的元素共有10個 答案 d 創新點撥 1 本題以元素與集合的關系為載體 用附加條件 x a y a x y a 定義以有序實數對 x y 為元素的集合b 通過對新定義的理解與應用來考查閱讀理解能力與知識遷移能力 2 考查創新意識 化歸轉化能力 以及分類討論思想 應對措施 1 準確理解集合b是解決本題的關鍵 集合b中的元素是有序實數對 x y 并且要求x a y a x y a 所以要判斷集合b中元素的個數 需要根據x y是否是集合a中的元素進行判斷 2 為化復雜為簡單 以y取何值為標準分類 分別求值 1 2012 湖北高考 已知集合a x x2 3x 2 0 x r b x 0 x 5 x n 則滿足條件a c b的集合c的個數為 a 1b 2c 3d 4 解析 由x2 3x 2 0得x 1或x 2 a 1 2 由題意知b 1 2 3 4 滿足條件的c可為 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 答案 d 2 2012 佛山質檢 集合m a1 a2 am n