2019年高二數學下學期期中試題 理注意事項：1、本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。2、本堂考試120分鐘，滿分150分。3、答題前，考生務必先將自己的姓名、學號填寫在答題卡上，并使用2B鉛筆填涂。4、考試結束后，將答題卡交回。第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題12個小題，每題5分，共60分,請將答案涂在答題卡上)1、復數的虛部為（ ）A B C D2、已知集合，則（ ）A B C D3、若平面向量，若，則（ ）A B C1或 D1或4、若，則（ ）A2 B C D5、已知正方體的棱長為，是底面的中心，則異面直線與所成的角為（ ）A B C. D6、函數的部分圖象大致是（ ）7、已知命題；命題，則下列命題為真命題的是（ ） A B C D 8、甲、乙兩人約定在上午到之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人20分鐘，過時即可離去。若他們在限時內的任何時刻到達約定地的概率都是相等的，則兩人能會面的概率為（ ）A B C. D9、閱讀如圖所示的程序框圖，若輸出的數據為21，則判斷框中應填入的條件為（ ）ABC D10、將函數的圖像沿軸向左平移個單位后，得到一個函數的圖像，則“是偶函數”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件11、設，是雙曲線的兩個焦點，是上一點，若，且的最小內角為，則的離心率為（ ）ABCD12、已知函數的導函數為，且滿足，若函數恒成立，則實數的取值范圍為（ ）A B C. D二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案寫在答題卡上）13、某鄉鎮中學有初級職稱教師100人，中級職稱教師70人，高級職稱教師30人，要從其中抽取20人進行體檢，如果采用分層抽樣的方法，則高級職稱教師應該抽取的人數為 14、計算： 15、已知實數x，y滿足，則的取值范圍是_16、在正整數數列中，由1開始依次按如下規則，將某些整數染成紅色，先染1；再染3個偶數2，4，6；再染6后面最鄰近的5個連續奇數7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個連續偶數16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個連續奇數29，31，45；按此規則一直染下去，得到一紅色子數列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，則在這個紅色子數列中，由1開始的第1000個數是_三、解答題：（本大題共6小題，共70分，請將答案寫在答題卡上，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17、（本題10分）在平面直角坐標系中，直線的方程為，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，圓的極坐標方程為。(1)求圓的平面直角坐標方程，并寫出圓心和半徑；(2)若直線與圓交于兩點,求的值。18、（本題12分）已知函數。 （1）求f(x)在點(1,f(1)處的切線；（2）求函數f(x)的單調區間和極值。19、（本題12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且作了一定的數據處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖)xywi=110(xi-x)2i=110(wi-w)2i=110(xi-x)(yi-y)i=110(wi-w)(yi-y)1.4720.60.782.350.81-19.316.2表中wi=1xi2,w=110i=110wi（1） 根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dx2 哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型?(不必說明理由)（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；（3）若單位時間內煤氣輸出量t與旋轉的弧度數x成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),(un,vn)，其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=i=1n(vi-v)(ui-u)i=1n(ui-u)2,=v-u20、（本題12分）如圖所示，已知三棱錐中，底面是等邊三角形，且分別是的中點。(1)求證:平面；(2)若，求銳二面角的余弦值。21、（本題12分）已知橢圓：的離心率為，且以兩焦點為直徑的圓的面積為。（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線：與橢圓相交于，兩點，點的坐標為，問直線與的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，試說明理由22、（本題12分）已知函數fx=alnx+x2，其中aR.（1）討論fx的單調性；（2）當a=1時，證明:fxx2+x-1；（3）試比較與 (nN*且n2)的大小，并證明你的結論。成都外國語學校xx下期期中考試高二理科數學答案1-12：DBCA AADC BBCD 13、3 14、 15、 16、196817、解:(1)，圓心為(0,3),半徑為3. 5分（2）10分18、解: （1）f(x)=2x3-12x，則f(x)=6x2-12，則f1=-10，f1=-6，故切線為6x+y+4=0 5分（2）f(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)，列表如下：x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值所以函數f(x)的增區間是(-,-2)和(2,+)，減區間為(-2,2) 10分極大值是f(-2)=82，極小值是f(2)=-82.12分19、解：（1）y=c+dx2更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型（2）由公式可得：d=i=110(wi-w)(yi-y)i=110(wi-w)2=16.20.81=20， c=y-dw=20.6-200.78=5，所以所求回歸方程為y=5+20x2（3）設t=kx，則煤氣用量S=yt=kx(5+20x2)=5kx+20kx25kx20kx=20k，當且僅當5kx=20kx時取“=”，即x=2時，煤氣用量最小20、解:(1)連接,因為,底面是等邊三角形，又因為是的中點，所以.又因為,所以平面.(2)因為由(1), 可知,而,所以。以為原點,以的方向為軸正方向建立空間直角坐標系,如圖所示，則,由題意,得平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為.因為,所以,即令,得.所以,所以.由題意知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為21、解：（1）由已知可得解得，故所求的橢圓方程為（2）由得，則，解得或設，則，則，所以，所以為定值，且定值為022、解：（1）函數f(x) 的定義域為0,+，fx= ax+2x=a+2x2x當a0時，fx0，所以fx在0,+上單調遞增 當a0時，令fx=0，解得x= -a2當0x-a2時，a+2x20，所以f(x)-a2時，a+2x20，所以f(x)0，所以f(x)在(-a2,+)上單調遞增 綜上，當a0時，函數fx在0,+上單調遞增；當a0，當x(1,+)時，g(x)0.所以x=1為極大值點，也為最大值點 所以g(x)g(1)=0，即lnx-x+10。故fxx2+x-1. （3）證明：lnxx-1（當且僅當x=1時等號成立），即lnxx1-1x,則