必修四 平面向量,總 復 習,知識網絡,二、向量的表示,A,B,2、坐標表示：,一、向量的概念,向量、零向量、單位向量、共線向量（平行向量）、相等向量、相反向量、向量的夾角等.,1、字母表示：,ea=ae=|a|cos ab ab=0 a，b同向ab=|a|b|反向時ab=-|a|b| a2=aa=|a|2(aa= ) cos= |ab|a|b|,平面向量的數量積ab的性質:,四、向量垂直的判定,五、向量平行的判定(共線向量的判定),六、向量的長度,七、向量的夾角,向量表示,坐標表示,向量表示,坐標表示,特別注意：,由此，當需要判斷或證明兩向量夾角為銳角或鈍角時，應 排除夾角為0或 的情況，也就是要進一步說明兩向量不共 線。,例1 e1、e2不共線，a=e1+e2 b=3e13e2 a與b是否共線。,典型例題分析:,例2 設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則k=_(kR),例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)，用a、b表示c。,例4、 |a|=10 b=(3,-4)且ab求a,例5、 設|a|=|b|=1 |3a-2b|=3則|3a+b|=_,（1）k=19,（2） , 反向,解,答案 C,解,考點歸納 1、向量的概念 2、實數與向量的積 3、平面向量的坐標運算 4、線段的定比分點 5、平面向量的數量積,D,A,A,4、已知|a|=|b|=1,a與b的夾角為90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd,k=（ ） A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 5、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，則a與b的夾角為（ ） A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。 6.若|a-b|= ,|a|=4,|b|=5,則ab=( ) A.10 B.-10 C.10 D.10,B,C,A,二、解答題： 7、已知e1與e2是夾角為60。的單位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求ab及a與b的夾角。 解：e1,e2是單位向量，且夾角為60。 e1.e2=|e1|e2|cos60。= ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2) =-6|e12|+e1e2+2e22=-3 而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7 |b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1e2+4e22=7 |a|= |b|= cos= =120。,8、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角；(2)已知|a|= ,|b|= ，且a與b的夾角為 ，試求a+2b與a-b的夾角的大小。 解：（1）(a+3b)(7a-5b)=0 (a-4b)(7a-2b)=0 7a+16ab-15b=0 7a2-30ab+8b2=0 a2=b2 2ab=b2 cos= =60。,（2）a2=3 b2=4 |a|b|=2 ab=|a|b|cos= cos30。=3,9、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC邊上的高為AD。 （1）求證：ABAC； （2）求點D和向量AD的坐標； （3）求證：AD2=BDDC 解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-