8.3 再探實際問題與二元一次方程組 衡水市三中 封,做一個豎式盒子要用幾張長方形紙板和幾張正方形紙板？,里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少只，恰好使庫存的紙板用完？,豎式紙盒展開圖,橫式紙盒展開圖,用如圖一,中的長方形和正方形紙板作側面和底面，,做成如圖二,中豎式和橫式的兩種無蓋紙盒。現在倉庫,分析：,x,2y,4x,3y,圖一,圖二,上題中如果改為庫存正方形紙板500張，長方形紙板1001張，那么，能否做成若干只豎式紙盒和若干只橫式紙盒后，恰好把庫存紙板用完？,練習,x,2y,4x,3y,豎式紙盒展開圖,橫式紙盒展開圖,圖一,圖二,2、一個人的工資今年比去年增長了20%后變為3000元，則該人去年的工資為 元。,2500,1、一個人的工資去年為3000元，今年比去年增長了20%，則該人今年的工資為 元。,3600,探究一：增長率問題,1、某工廠去年的利潤為200萬，今年總收入比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬.去年的總收入、總支出各是多少?,解：設去年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，則有,（1+20%）x,（110% ）y,780,答：去年的總收入為2000萬元、總支出是1800萬元。,探究一：增長率問題,1、某工廠去年的利潤為200萬，今年總收入比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬. 的總收入、總支出各是多少?,解：設去年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，則有,若條件不變，求今年的總收入、總支出呢？,解：設今年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，則有,類比-進步,今年,去年,2、某企業去年的總產值比總支出多500萬元，而今年計劃的總產值比總支,解：設今年計劃的總產值為x萬元，總支出為y萬元。,答：今年計劃總產值為2300萬元，總支出為1350萬元。,出多950萬元，已知今年計劃總產值比去年增加15%，而計劃總支出比去年減少10%，求今年計劃的總產值和總支出各是多少？,舉一反三,2、某企業去年的總產值比總支出多500萬元，而今年計劃的總產值比總支,解：設今年計劃的總產值為x萬元，總支出為y萬元。,出多950萬元，已知今年計劃總產值比去年增加15%，而計劃總支出比去年減少10%，求今年計劃的總產值和總支出各是多少？,另：設去年計劃的總產值為a萬元，總支出為b萬元。,求出a、b后，進一步求今年的總產值和總支出。,舉一反三,7紅太陽大酒店客房部有三人間、雙人間和單人間客房，收費數據如下表。為吸引客源，在五一黃金周期間進行優惠大酬賓，凡團體入住一律五折優惠。一個50人的旅游團在五月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間普通客房，并且每個客房正好住滿，一天一共花去住宿費1510元。 則三人間、雙人間普通客房各住了多少間？ 如果你作為旅游團團長，你認為上面這種住宿方式是不是費用最少？為什么？,學以致用,一個兩位數的十位數字與個位數字的和是7，如果這個兩位數加上45，則恰好成為個位數字與十位數字對調后組成的兩位數，求這個兩位數。,2。中考鏈接 隨著我國人口增長速度的減慢，初中入學學生數量每年按逐漸減少的趨勢發展。某區2003年和2004年初中入學學生人數之比是8：7，且2003年入學人數的2倍比2004年入學人數的3倍少1500人，某人估計2005年入學學生人數將超過2300人，請你通過計算，判斷他的估計是否符合當前的變化趨勢。,探究1 養牛場原有30只母牛和15只小牛，天約需用飼料；一周后又購進支母牛和只小牛，這時一天約需用飼料。飼養員李大叔估計平均每只母牛天約需飼料，每只小牛天約需飼料， 你能否通過計算檢驗他的估計？,解：設： （相等關系） 列 解得： 答：,平均每只母牛天約需飼料，每只小牛天約需飼料，,平均每只母牛天約需飼料，每只小牛天約需飼料， 李大叔對母牛的估計較準確，對小牛的估計偏高。,探究二 據以往統計資料,甲,乙兩種作物的單位面積產量的比是1:1.5，現要在一塊長200m，寬100m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩個長方形,使甲,乙兩種作物的總產量的比是3:4(結果取整數)?,3。開放性問題 聯想集團有A型、B型、C型三種型號的電腦，其價格分別為A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元，我市某中學計劃將100500元錢全部用于購進其中兩種不同型號的電腦共36臺，請你設計出幾種不同的購買方案，并說明理由。,反思：未知數不只兩個，為了解決問題方便，所以設三個未知數以幫助解決問題，把問題割裂開來看，仍屬于二元一次方程組，在一個問題里面設三個未知數，這本身就是一種創造性思維。,例4、用一些長短相同的小木棍按圖所式，連續擺正方形或六邊形要求每兩個相鄰的圖形只有一條公共邊。已知擺放的正方形比六邊形多4個，并且一共用了110個小木棍，問連續擺放了正方形和六邊形各多少個？,一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車，已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：,（）這批貨物需租用5輛甲種貨車、2輛乙種貨車剛好一次運完，如果每噸付20元運費，貨主應付運費多少元？,問： 每輛甲種貨車能裝貨多少噸？ 每輛乙種貨車可裝貨多少噸？,（）,（噸）,溫故知新：,答：要剛好一次運完，貨主應付運費500元。,解 :(1)設甲種貨車每輛可運x噸， 乙種貨車每輛可運y噸.,由題意得：,4x+5y=28.5,3x+6y=27,解這個方程組，得,x = 4,(2) ( 5x+2y)20= ( 5 4 +2 2.5)20=500(元),y = 2.5,答：甲種貨車每輛可運4噸， 乙種貨車每輛可運2.5噸.,1、在這道題目中，有部分條件是以表格的形式 給出的，這就要求同學們在審題時要真正讀 懂表中的信息，這樣才能找到解題的方向。 2、本題中的單位運價是每噸20元，有時，單位 運價還可以以下面的形式出現。,北京和上海都有某種儀器可供外地使用。其中北京 可提供10臺，上海可提供4臺。已知重慶需要8臺， 武漢需要6臺，從北京、上海將儀器運往重慶、武漢 的費用如下表所示。有關部門計劃用8000元運送這 些儀器，請你設計一種方案，使武漢、重慶能得到 所需儀器，而且運費正好夠用。,練一練：,400元,400(10-x)元,北京,上海,重慶,武漢,10臺,4臺,需要8臺,需要6臺,800元,500元,300元,800x元,500y元,300(4-y )元,解：設北京運往重慶x臺，上海運往重慶y臺.,800x+400(10-x)+500y+300(4-y)=8000,x+y=8,解這個方程組，得,x = 6 y = 2,答：北京運往重慶6臺，運往武漢4臺； 上海運往重慶2臺，運往武漢2臺。,由題意得：,2.精加工的蔬菜 + 粗加工的蔬菜 = 140噸,2、某蔬菜公司收購到某蔬菜140噸,準備加工后上市銷售.該公司的加工能力是:每天可以精加工6噸或者粗加工16噸.現計劃用15天完成加工任務,該公司應安排幾天粗加工,幾天精加工,才能按期完成任務?,分析,1.精加工的天數+粗加工的天數= 15天,x+y=15,6x+16y=140,解：,設應安排 x天精加工,y天粗加工,探究一之例2,問題情景:植物園門票價格如下表所示:,某校初一(1), (2)兩個班共104人去植物園春游,其中(1)班人數較少,不到50人,(2)班人數較多,有50多人.經估算如果兩班都以班為單位分別購票,則一共應付1240元.,問題:你能否算出兩個班各有多少名學生?,議一議:假如(1)班先到達公園,想要單獨購票,你能幫他們想出一個比較經濟的購票方案嗎?,想一想:你認為他們如何購票比較合算?,、小華4年后的年齡與小麗4年前的年齡相等，3年后她們兩人的年齡和等于它們今年年齡差的3倍，求小華和小麗今年的年齡。,x,y,x+4,y-4,x+3,y+3,問題2：小明在拼圖時，發現8個一樣大小的小長方形如圖1那樣，恰好可以拼成一個大的長方形。小紅看見了，說：“我也來試一試。”結果小紅七拼八湊，拼成如圖2那樣的正方形。咦，怎么中間還留了一個洞，恰好是邊長為2cm的小正方形！你能算出每一個小長方形的長和寬是多少嗎？,5y,3x,圖1,圖2,這類問題可以通過數形結合的方法來解決.,例3： 一個長方形，它的長減少4cm，寬增加 2cm，所得的是一個正方形，它的面積與長方形 的面積相等，求原長方形的長與寬。,解：設長方形的長為xcm，寬為ycm， 由題意得：,從甲地到乙地的路有一段上坡與一段平路,如果保持上坡每小時行3千米,平路每小時行4千米,下坡每小時行5千米,那么從甲地到乙地需行33分,從乙地到甲地需行23.4分,從甲地到乙地全程是多少?,1、你能用圖形表示這個問題嗎?,2、你能自己設計一個表格，顯示題中各個量嗎？,3、若設甲到乙上坡路長為x千米，平路長為y千米，你能填出來嗎？,X 3,23.4 60,y 4,X 5,33 60,y 4,練習,十一、探究題 1、某校初三（2）班40名同學為“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情況如下表：,表格中捐款2元和3元的人數不小心被墨水污染已看不清楚。你能把它填進去嗎？,解：設捐款2元的有x名同學，捐款3元的有y名同學，根據題意，可得方程組是,解這個方程組得，,答：捐款2元的有15名同學，捐款3元的有12名同學.,問題3：某公園規定，團體購買門票，票價如下表：,今有兩個旅游團，若分別購票，兩團共計付門票費1314元；若合在一起作為一個團體購票，需付門票費1008元，問這兩個旅游團各有多少人？,解：1008是9的整數倍而不是11、13的整數倍 總人數應大于100 10089=112 總人數為112人 1314不是11的整數倍 兩團的人數可能分別在1 50和 51100內 或者分別在1 50和100以上,兩個旅游團分別有41人和71人。,x,這類問題可以通過分類討論的方法來解決.,長青化工廠與A地相距150千米，工廠要將200噸貨物用汽車運往A地，已知公路運價是1.5元/（噸千米），則需付運費_元.,45000,想一想：,探究：,長青化工廠用汽車從A地購買一批原料運回工廠， 制成產品后用火車運到B地。工廠與A地相距80千米， 與B地相距150千米。公路運價為1.5元/（噸千米）， 鐵路運價為1.2元/（噸千米），這兩次運輸支出公路運費 15000元，鐵路運費97200元。求工廠從A地購得的原料 有多少噸？制成的產品有多少噸？,解：設購得的原料為x噸，制成的產品為y噸， 根據題意得,1.5 80 x=15000,1.2150 y=97200,答：購得的原料為125噸，制成的產品為540噸。,這道題中的量有很多，不妨我們畫一個示意圖。,A地,B地,長青化工廠,公路80km,鐵路150km,原料,產品,1.5元/（噸千米）,1.2元/（噸千米）,公路運費：15000元 鐵路運費：97200元,回顧本題的思考過程：,題中的量很多，并且相互關聯，這時，我們 可畫一張示意圖，把題中的條件在圖中標出來， 這樣比較直觀，能幫助我們比較順利地找出 題中的相等關系。 可見，畫示意圖是解決道路運輸問題 的手段之一。,如圖8.3-2，長青化工廠與A，B兩地有公路、 鐵路相連。這家工廠從A地購買一批原料運回 工廠，制成產品運到B地。 公路運價為1.5元/（噸千米）， 鐵路運價為1.2元/（噸千米）， 這兩次運輸共支出公路運費15000元， 鐵路運費97200元。,探究,問：購得的原料有多少噸？ 制成的產品有多少噸？,設產品重x噸，原料重y噸。根據題中數量關系填寫下表：,1.5x10,1.5y 120,1.2x 120,1.2y 110,15000,97200,列表分析是解決道路運輸問題的另一手段。,解：設原料重x噸，產品重y噸，則,1.5（10x+20y）=15000,1.2（120x+110y）=97200,解這個方程組，得,x = 400 y = 300,答：購得的原料重400噸，制成的產品重300噸。,（再添條件變題）,如圖8.3-2，長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連。這家工廠從A地購買一批原料運回工廠，制成產品運到B地。公路運價為1.5元/（噸千米），鐵路運價為1.2元/（噸千米），這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元。,探究,問： 購得的原料有多少噸？ 制成的產品有多少噸？,（1）,（2）若原料每噸1000元，制成的產品每噸 8