第二章 控制系統的數學模型,2-1控制系統的時域數學模型 2-2控制系統的復域數學模型 2-3控制系統的結構圖及傳遞函數 2-4控制系統的信號流圖,2-1 控制系統的時域數學模型,2-1-1、建立系統微分方程的方法 2-1-2、非線性元件微分方程的線性化,1. 線性元件的微分方程（舉例）,例 2-2,解：直流電動機的運動方程由三部分組成： 電樞回路電壓平衡方程 電磁轉矩方程 電動機軸上的轉矩平衡方程,圖示為電樞控制直流電動機, 要求取電樞電壓ua(t) 為輸入量, 電動機轉速m(t) 為輸出量, 列寫微分方程。圖中Ra、La分別是電樞電路的電阻和電感, Mc是折合到電動機軸上的總負載轉矩.激磁磁通為常值。,電樞回路電壓平衡方程,Ea是電樞反電勢, 與激磁磁通及轉速成正比, 方向與電樞電壓ua(t)相反 Ea = Cem(t) Ce反電勢系數（V/rad/s）,電磁轉矩方程,Cm電動機轉矩系數 (Nm/A),電動機軸上的轉矩平衡方程,Jm電動機和負載折合到電動機軸上的轉動慣量 kgm fm電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦 系數（Nm/rad/s）,消去Mm ,求出ia(t), 代入, 亦代入得：,當電樞電路電感La較小, 忽略不計時, 可簡化為,電動機機電時間常數(s),電動機傳遞系數,電樞電阻Ra和電動機的轉動慣量Jm都很小時,電動機可作為測速發電機使用.,例 2-2,2-1-1建立系統微分方程的方法,建立系統的物理模型； 建立輸入-輸出量之間微分方程式 聯立每個部分的數學模型，消去中間變量，求出輸入-輸出之間的微分方程式。,2-1-2. 非線性微分方程的線性化,將非線性微分方程在一定的條件下轉化為線性微分方程的方法,稱非線性微分方程的線性化. 非線性微分方程能進行線性化的一個基本假設是變量偏離其預期工作點的偏差甚小,這種線性化通常稱為小偏差線性化.,2-1-2. 非線性微分方程的線性化,將一個自變量的函數 y =f(x)在預期工作點處(x0, y0)展開,進行線性化.,設函數 y =f(x)在(x0, y0)點連續可微,在該點附近用泰勒級數展開,當增量(x-x0)較小時,略去其高次冪項,令,線性化方程: , K是比例系數.,2-1-2. 非線性微分方程的線性化,將兩個自變量的函數 y =f(x1, x2)在預期工作點處(x10, x20)展開,進行線性化.,設函數在(x10, x20)點連續可微,同樣在該點附近用泰勒級數展開,當增量較小時,略去其高次冪項,令,線性化方程:,2-2 控制系統的復域數學模型,2-1、傳遞函數 2-2、典型環節傳遞函數,1.傳遞函數的定義,定義 系統零狀態響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比,用G(s)表示.信號系統中稱系統函數.,線性定常系統微分方程,2. 傳遞函數的性質,性質 復變量s的有理真分式,系數均為實數,具有復變函數的所有性質. 傳遞函數與輸入量的形式無關.,傳遞函數與微分方程有相通性, 相互轉換. 傳遞函數G(s)的拉氏反變換是脈沖響應g(t).,求例2-2電樞控制直流電動機的傳遞函數G(s).,解: 令,舉例,3. 傳遞函數的零點和極點,定義,G(s)的分母多項式之根構成系統的極點,分子多項式之根構成系統的零點,即 pj 是極點,zi 是零點.,稱傳遞系數或根軌跡增益.,3. 傳遞函數的零點和極點,把極點和零點畫在s平面上,即為系統的極點零點分布圖,簡稱極零圖。,其中用“X”表示極點，用“O”表示零點。,j,零點,極點,4 傳遞函數的極點和零點對輸出的影響,傳遞函數的極點決定了系統自由運動的模態,例: 已知輸入 r(t) = e -t，系統函數,求系統零狀態響應 c(t), 并標出自由分量和受迫分量.,解：,自由響應分量自由運動模態：,受迫響應分量：,因為G(s) 的極點為: s1= -2, s2= -3,4 傳遞函數的極點和零點對輸出的影響,4 傳遞函數的極點和零點對輸出的影響,傳遞函數的零點不形成自由運動的模態, 但影響各模態在響應中所占的比重, 因而影響響應曲線的形狀.,階躍響應,4 傳遞函數的極點和零點對輸出的影響,零點距極點越遠，該極點所產生的模態所占比重越大 零點距極點越近，該極點所產生的模態所占比重越小 如果零極點重合該極點所產生的模態為零，因為分子分母相互抵消,傳遞函數的極點和零點繪圖,極點和零點繪圖,求系統的階躍響應,求系統的階躍響應,5. 典型環節及其傳遞函數,比例環節,特點：輸入輸出量成比例,無失真和時間延遲. 實例：電子放大器,齒輪,電阻(電位器).,K 增益,慣性環節,T 時間常數,特點：含一個儲能元件, 對突變的輸入, 其輸出不能立即復現, 輸出無振蕩. 實例：RC網絡, 直流伺服電動機的傳遞函數也包含這一環節.,5. 典型環節及其傳遞函數,微分環節,理想微分 一階微分 二階微分,特點：輸出量正比輸入量變化的速度,能預示輸入信號的變化趨勢. 實例：測速發電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數.,5. 典型環節及其傳遞函數,積分環節,特點：輸出量與輸入量的積分成正比例,當輸入消失,輸出具有記憶功能. 實例：電動機角速度與角度間的傳遞函數,模擬計算機中的積分器等.,5. 典型環節及其傳遞函數,純時間延時環節,特點：輸出量能準確復現輸入量,但須延遲一固定的時間間隔. 實例：管道壓力、流量等物理量的控制.,延遲時間,2-3 控制系統的結構圖與信號流圖,1. 系統結構圖的組成和繪制 2. 結構圖的等效變換和簡化 3. 信號流圖的組成及性質 4. 信號流圖的繪制 5. 梅森增益公式 6. 閉環系統的傳遞函數 .,控制系統的結構圖(方塊圖)和信號流圖都是描述系統各元件特性、系統結構和信號流向的圖解表示。,2-3 控制系統的結構圖與信號流圖,1. 系統結構圖的組成和繪制,信號線 帶有箭頭的直線, 箭頭表示信號的流向, 在直線旁標記信號的時間函數或象函數.,表示輸入到輸出單向傳輸間的函數關系. 包含四種基本單元:,分支點 （引出點或測量點） 表示信號測量或引出的位置, 同一位置引出的信號大小和性質完全一樣.,1. 系統結構圖的組成和繪制,比較點 （綜合點或合成點） 兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件. “+”表示相加, “-”表示相減, “+”號可省略不寫.,方框 （或環節） 對信號進行的數學變換. 方框中寫入元部件或系統的傳遞函數.,1. 系統結構圖的組成和繪制,結構圖的繪制 (1) 考慮負載效應分別列寫系統各元部件的微分方程或傳遞函數, 并將它們用方框(塊)表示.,(2) 根據各元部件的信號流向, 用信號線依次將各方框連接起來, 便可得到系統的結構圖.,結構圖也是系統數學模型的一種！,解：,拉氏變換得：,例：,畫出RC電路的方塊圖.,解：,例：,畫出RC網絡的結構圖.,考慮負載效應,例：,畫出RC網絡的結構圖.,例：,畫出RC網絡(中間有隔離)的結構圖.,解：,2. 結構圖的等效變換和簡化,結構圖的簡化原則,結構圖的等效變換原則 變換前后各變量之間的傳遞函數保持不變. 結構圖的基本連接方式 在控制系統中, 任何復雜系統主要由串聯、并聯和反饋三種基本形式連接而成。,串聯方框的簡化（等效）,由幾個子系統串聯組成的復合系統。,時域,復頻域,并聯方框的簡化（等效）,時域,復頻域,解：,串聯方框的簡化（等效）,串聯方框的簡化（等效）,并聯方框的簡化（等效）,并聯方框的簡化（等效）,反饋連接方框的簡化（等效）,結構特點是輸出量的一部分，返回到輸入端與輸入量進行比較，形成反饋。,G(s) 稱為前向通路的系統函數；,H(s) 稱為反饋通路的系統函數。,反饋連接方框的簡化（等效）,閉環連接方框的簡化,解：,閉環連接方框的簡化,閉環連接方框的簡化,反饋連接方框的簡化,解：,反饋連接方框的簡化,反饋連接方框的簡化,比較點的移動,引出點的移動,結構框圖化簡舉例,A先前移至B點,串聯和并聯,B后移至C點,結構框圖化簡舉例,串聯和并聯,B后移至C點,反饋公式,結構框圖化簡舉例,串聯和并聯,B后移至C點,3. 信號流圖的組成及性質,線性連續系統的信號流圖是由點和有向線段組成的線圖, 用來表示系統的輸入輸出關系, 是系統框圖表示的一種簡化形式。,信號流圖的定義,3. 信號流圖的組成及性質,流圖中的術語定義,節點： 表示系統中變量或信號的點。 傳遞函數：兩個節點之間的增益。 支路： 連接兩個節點之間的定向線段。,3. 信號流圖的組成及性質,流圖中的術語定義,輸入節點或源節點：只有輸出支路的點, 它對 應的是自變量（即輸入信號）. 輸出節點或阱節點：只有輸入支路的點, 它對 應的是因變量（即輸出信號）.,3. 信號流圖的組成及性質,流圖中的術語定義,回路: 通路的終點就是通路的起點, 并且與任何 其他節點相交不多于一次. 環路增益: 環路中各支路傳遞函數的乘積. 不接觸環路: 兩環路之間沒有任何公共節點.,3. 信號流圖的組成及性質,流圖中的術語定義,前向通路: 從源點到阱點方向的通路上, 通過 任何節點不多于一次的全部路徑. 前向通路增益: 前向通路中, 各支路傳遞函數 的乘積.,3. 信號流圖的組成及性質,流圖的性質,支路表示了一個信號與另一信號的函數關系, 信號只能沿著支路上的箭頭方向通過. 節點可以把所有輸入支路的信號疊加, 并把 總和信號傳送到所有輸出支路.,3. 信號流圖的組成及性質,流圖的性質,具有輸入和輸出支路的混合節點，通過增加 一個具有單位傳輸的支路，可以把它變成輸 出節點來處理。,3. 信號流圖的組成及性質,流圖的性質,4. 給定系統, 信號流圖形式并不是惟一的. 流圖轉置以后, 其傳遞函數保持不變. 所謂轉置就是把流圖中各支路的信號傳輸方 向調轉, 同時把輸入輸出節點對換。,4. 信號流圖的繪制,由系統微分方程繪制信號流圖,任何線性數學方程都可以用信號流圖表示. 對含有微分或積分的線性方程拉氏變換, 得到s的代數方程. 給系統的每個變量指定一個節點, 按因果關系, 從左向右順序排列. 用表明增益的支路, 根據數學方程將各節點變量正確連接, 得到信號流圖.,4. 信號流圖的繪制,由系統結構圖繪制信號流圖,用小圓圈表示各變量對應的節點. 在比較點之后的引出點只需在比較點處設置一個節點便可. 例e, e2 點. 在比較點之前的引出點需設置兩個節點, 分別表示引出點和比較點. 例 e1 點.,4. 信號流圖的繪制,由系統結構圖繪制信號流圖,5. 梅森(Mason)增益公式,梅森公式用于求系統的傳遞函數。,梅森公式的形式：, 流圖的特征行列式.,pk由源節點到阱節點的第k條前向通路總增益.,n 源節點到阱節點的前向通路總數.,5. 梅森(Mason)增益公式,梅森公式的形式：,= 1 -（所有不同環路的增益之和） +（每兩個互不接觸環路增益乘積之和） -（每三個互不接觸環路增益乘積之和） + ,k第k條前向通路特征行列式的余因子,它是 除去與第k條前向