求多元函數極限的方法【摘要】對于大部分學生,尤其是初接觸高等數學的同學而言,極限是一道很難過的關,因為那種“無限逼近”卻又“無法達到”的抽象對于剛剛結束中學數學學習,習慣于具體圖形分析、函數計算的同學來說,在思維上有了更高的要求。而對于高等數學來講,極限又是相當重要的基礎,不管是函數連續性的驗證,亦或是單側導數的求解,極限都是很重要的一個環節,它就相當于一條線慣于始終,所以說學好極限,是學好高等數學的一個起點。【1】【關鍵詞】多元函數；求極限多種方法；求極限常出現的錯誤【引言】之前學過如連續、導數微分和積分等都要用極和秋極限的方法，例如：利用定義來求極限、用柯西收斂準則、利用兩邊夾定理等等。這些方法雖然簡便易于理解和掌握，但對于一些特殊的極限題目很難解決，例如：設，求的問題題目盡給出了第項和第+1項的關系若用利用定義來求極限、用柯西收斂準則及求一些復合函數極限的問題本文將探討一些特殊的求極限的方法，對某些用常見方法不易求解的題目運用此方法可以容易地解出。【2】本文將從多個方面,通過利用極限的性質及相關概念和幾個典型例題對常用求極限的方法進行解析，并列出容易出錯的地方。1 利用極限定義的思想觀察函數的極限例1、討論當時函數=的極限。我們列出了當時某些函數值，考察函數的變化趨勢，如下表所示。0.4930.4960.4980.4990.5010.5020.5030.5050.7570.7540.7520.7510.7490.7480.7450.745從列表可以看出，當趨向于時，就趨向于0.7，即時，=的極限是0.75。2、利用四則運算法則求極限例2（1）求（2）解（2）=3、利用無窮小量與無窮大量的關系及無窮小量的性質求極限例3求解因為=0，且即有界，所以=04、利用兩個重要極限求極限例4 求解=1（因為時）。令則當時所以=也可以直接計算=5、利用初等函數的連續性求極限例5求解：點是初等函數的一個定義區間內的點，所以6、利用等價無窮小代換求極限例6 求解：當時， 所以7、利用羅比達法則求極限例7 求解：=8、利用左、右極限來確定分段函數在分界點處的極限求，解：因為=1所以不存在因為1利用極限的定義來驗證極限的存在極限定義并未給出求極限的具體方法,但卻可以驗證極限的存在,而且它是研究理論問題的基本方法,用極限定義驗證極限存在,一般需經過變形放大,由或去尋找滿足條件的充分大的正整數 N或充分小的正數或充分充分的正數 X。比如:證明證明對，要使，只要因為，不妨設，此時，從而，因此，,于是取，從而，當時，總有，從而2利用化簡來求極限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形)比如 求此題要用到兩個知識點將分子有理化分母分解因式解：=3利用極限運算法則和無窮小的性質求極限比如 求本題是“-”型的極限,先對分子有理化,可轉化為型將分子分母同時除以 x的最高次冪變形后求解。解=在無窮小量的諸多性質中,常用無窮小乘以有界變量仍為無窮小及用等價無窮小代換來求極限。比如 求解 注意到且所以由無窮小的性質得又比如求解 當時，所以=4.2重要極限2，特征:“1 ”型;底數中要轉化為有“1”的形式; “1”的后面的變量與冪指數互為倒數。比如 求解=5利用極限存在準則(夾逼定理、單調有界原理)來求極限5.1利用夾逼定理求極限比如 求解 因為，=1，2，3，從而而，所以5.2利用“單調有界數列必有極限”定理求極限特點:能出現關系式;可轉化為關系式解題方法 :一是利用數學歸納法證有界,二是證單調。比如 設試證數列極限存在，并求此極限。顯然，假設因由數學歸納法知對,02,又 有界, 0 ,所以單調增加。因此存在。不妨設=，由得，從而=2即6利用洛必達法則求極限用洛必達法則時要注意:要注意洛必達法法則條件,有時要用多次洛必達法則,無限次循環型號不能用洛必達法則,如,每次用洛必達法則前,要先化簡,x0(或x)時,極限中含有sin,cos (或sinx,cox)不能用洛必達法則。“0g”,“-”,“1 ”,“”,“”,“”型未定式,通過變形、通分、有理化分子、取對數等方式轉化為“”或“”未定式極限后再用洛必達法則。比如求解7利用連續性求極限比如 求解注意到在x=1處連續,所以=8利用函數極限存在的充要條件求極限主要用來解決在求分段函數在分段點處的極限或某些特殊函數在一些點處的極限時,可用此方法。如求解，所以不存在。9利用導數求極限 比如設求解=10利用泰勒公式求極限特點“”型;或或用洛必達法則較復雜或根本不可能用。解題的關鍵是展開到含項,或相互抵消后的后一項。比如求解=11利用定積分和積分中值定理求極限比如設=，求解因為所以=12利用函數極限與數列極限關系求極限比如求解=13利用級數收斂的必要條件求極限比如 求,考察級數,而0時成立，而當0時本例的正確解法應該是由有可見不論動點沿什么曲線，趨向于點（0，0）時，總有此不等式成立。由夾逼定理知=0忽視算數跟所造成的錯誤，在求一元函數極限時也常發生。例9例10這兩個例子的錯誤均是由于忽視了例9的正確解