第五節(jié)合情推理與演繹推理2019考綱考題考情1合情推理(1)歸納推理定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。特點：是由部分到整體、由個別到一般的推理。(2)類比推理定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理。特點：是由特殊到特殊的推理。2演繹推理(1)演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。(2)“三段論”是演繹推理的一般模式大前提已知的一般原理。小前提所研究的特殊情況。結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷。1合情推理包括歸納推理和類比推理，其結(jié)論是猜想，不一定正確，若要確定其正確性，則需要證明。2在進行類比推理時，要從本質(zhì)上去類比，只從一點表面現(xiàn)象去類比，就會犯機械類比的錯誤。3應(yīng)用三段論解決問題時，要明確什么是大前提、小前提，如果前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的。若大前提或小前提錯誤，盡管推理形式是正確的，但所得結(jié)論是錯誤的。一、走進教材1(選修12P35A組T4改編)對于任意正整數(shù)n,2n與n2的大小關(guān)系為()A當(dāng)n2時，2nn2B當(dāng)n3時，2nn2C當(dāng)n4時，2nn2D當(dāng)n5時，2nn2解析當(dāng)n2時，2nn2；當(dāng)n3時，2nn2；當(dāng)n6時，2nn2；歸納判斷，當(dāng)n5時，2nn2。故選D。答案D2(選修12P35A組T6改編)在等差數(shù)列an中，若a100，則有a1a2ana1a2a19n(n19，且nN*)成立。類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b91，則存在的等式為_。解析根據(jù)類比推理的特點可知：等比數(shù)列和等差數(shù)列類比，在等差數(shù)列中是和，在等比數(shù)列中是積，故有b1b2bnb1b2b17n(n17，且nN*)。答案b1b2bnb1b2b17n(nb0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在的直線方程是1。那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線1(a0，b0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程是_。解析(1)由題意得，二維空間中，二維測度的導(dǎo)數(shù)為一維測度；三維空間中，三維測度的導(dǎo)數(shù)為二維測度。由此歸納，在四維空間中，四維測度的導(dǎo)數(shù)為三維測度，故W2r4。故選A。(2)由橢圓與雙曲線類比可得，切點弦P1P2所在的直線方程為1。答案(1)A(2)11進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想。其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵。2類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等。【變式訓(xùn)練】(2019桂林模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)的論割圓術(shù)中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼w現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程。比如在表達式1中“”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程1x求得x。類比上述過程，則_。解析由題意可得x(x0)，整理得(x1)(x2 018)0(x0)，解得x2 018，即2 018。答案2 018考點三演繹推理【例3】(1)有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f(x0)0，則xx0是函數(shù)f(x)的極值點，因為f(x)x3在x0處的導(dǎo)數(shù)值為0，所以x0是f(x)x3的極值點，以上推理()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D結(jié)論正確(2)(2019湖南模擬)天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支。十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推。已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時為_年()A丙酉B戊申 C己申D己酉解析(1)大前提是“對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f(x0)0，則xx0是函數(shù)f(x)的極值點”，不是真命題，因為對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，如果f(x0)0，且滿足在x0附近左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值異號，那么xx0才是函數(shù)f(x)的極值點，所以大前提錯誤。故選A。(2)天干以10循環(huán)，地支以12循環(huán)，從1949年到2029年經(jīng)過80年，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項，80108，則2029年的天干為己；801268，則2029年的地支為酉。故選D。答案(1)A(2)D演繹推理的推證規(guī)則1演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略。2在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成?！咀兪接?xùn)練】(1)用“三段論”推理：任何實數(shù)的絕對值大于0，因為a是實數(shù)，所以a的絕對值大于0。你認為這個推理()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D是正確的(2)在一次調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量有如下關(guān)系：甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和。那么這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為_。解析(1)實數(shù)0的絕對值等于0，不大于0，大前提錯誤。(2)因為甲、丙閱讀量之和等于乙、丁閱讀量之和，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，所以乙的閱讀量大于丙的閱讀量，甲的閱讀量大于丁的閱讀量，因為丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和，所以這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為甲、丁、乙、丙。答案(1)A(2)甲、丁、乙、丙1(配合例1使用)(1)給出以下數(shù)對序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)記第i行的第j個數(shù)對為aij，如a43(3,2)，則anm()A(m，nm1) B(m1，nm)C(m1，nm1) D(m，nm)(2)觀察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推測出一個一般性結(jié)論：對于nN*，則12n21_。解析(1)由前4行的特點，歸納可得：若anm(a，b)，則am，bnm1，所以anm(m，nm1)。(2)由112,121422,12321932,12343211642，歸納猜想可得12n21n2。答案(1)A(2)n22(配合例2使用)如圖，在ABC中，O為其內(nèi)切圓圓心，過O的直線將三角形面積分為相等的兩部分，且該直線與AC，BC分別相交于點F，E，則四邊形ABEF與CEF的周長相等。試將此結(jié)論類比到空間，寫出一個與其相關(guān)的命題，并證明該命題的正確性。解如圖，截面AEF經(jīng)過四面體ABCD的內(nèi)切球(與四個面都相切的球)的球心O，且與BC，DC分別交于點E，F(xiàn)，若截面將四面體分為體積相等的兩部分，則四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積相等。下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)內(nèi)切球半徑為R，則VABEFD(SABDSABESADFS四邊形BEFD)RVAEFC(SAECSACFSECF)R，即SABDSABESADFS四邊形BEFDSAECSACFSECF，兩邊同加SAEF可得結(jié)論。3(配合例3使用)數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)。證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an。證明(1)因為an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2