第41講 直線、平面平行的判定及其性質課時達標一、選擇題1已知兩個不同的平面，兩條不同的直線 a，b，a，b，則“a，b”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B解析 因為“a，b”，若ab，則與不一定平行，反之若“”，則一定有“a，b”故選B.2如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD上的點，且AEEBAFFD14，又H，G分別為BC，CD的中點，則()ABD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形B解析 由AEEBAFFD14知EF綊BD，所以EF平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點，所以HG綊BD，所以EFHG且EFHG，所以四邊形EFGH是梯形3能使直線a與平面平行的條件是()A直線與平面內的一條直線平行B直線與平面內的某條直線不相交C直線與平面內的無數條直線平行D直線與平面內的所有直線不相交D解析 A項不正確，由直線與平面內的一條直線平行，不能推出直線與平面平行，直線有可能在平面內；B項不正確，由直線與平面內的某條直線不相交，不能推出直線與平面平行，直線有可能在平面內，也可能和平面相交；C項不正確，由直線與平面內的無數條直線平行，不能推出直線與平面平行，直線有可能在平面內；D項正確，由直線與平面內的所有直線不相交，依據直線和平面平行的定義可得直線與平面平行4(2019山東師大附中月考)如圖，在長方體ABCDABCD中，下列直線與平面ADC平行的是()ABC BAB CAB DBBB解析 連接AB，因為ABCD，CD平面ADC，所以AB平面ADC.5已知a，b表示不同的直線，表示不同的平面，則下列命題正確的是()A若a，b，則 abB若ab，a，b，則C若ab，a，則b或bD若直線a與b異面，a，b，則C解析 對于A項，a與b還可能相交或異面，此時a與b不平行，故A項不正確；對于B項，與可能相交，此時設m，則am，bm，則ab，故B項不正確；對于D項，與可能相交，如圖所示，故D項不正確故選C.6已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列命題：n；mn；mn.其中正確命題的序號是()A B C DB解析 不正確，n可能在內；正確，垂直于同一平面的兩直線平行；正確，垂直于同一直線的兩平面平行；不正確，m，n可能為異面直線故選B.二、填空題7如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_解析 因為直線EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又E是DA的中點，所以F是DC的中點，由中位線定理可得EFAC，AB2，所以AC2，所以EF.答案 8設，是三個不同平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_(把所有符合題意條件的序號填上)解析 可以，由a得a與沒有公共點，由b，a，b知a，b在面內，且沒有公共點，故平行；a，b不可以，舉出反例如下：使，b，a，則此時能有a，b，但不一定ab，這些條件無法確定兩直線的位置關系；b，a可以，由b，a知a，b無公共點，再由a，b可得兩直線平行答案 9(2019吉安調考)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件_時，有平面D1BQ平面PAO.解析 如圖所示，假設Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QBPA.連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故點Q滿足條件Q為CC1的中點時，有平面D1BQ平面PAO.答案 Q為CC1的中點三、解答題10如圖，P是ABC所在平面外一點，A，B，C分別是PBC，PCA，PAB的重心求證：平面 A B C平面 ABC.證明 連接PA，PC并延長，分別交BC，AB于M，N.因為A，C分別是PBC，PAB的重心，所以M，N分別是BC，AB的中點連接MN，由知ACMN，因為MN平面ABC，所以AC平面ABC.同理，AB平面ABC，又ACABA，AC，AB平面ABC，所以平面ABC平面ABC.11(2019忻州二中模擬)如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點，求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.證明 (1)如圖，連接AE，設DF與GN的交點為O，則AE必過DF與GN的交點O.連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DEGN.又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M為AB中點，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN.又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.又DE平面BDE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.12已知在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，E為線段AD上靠近點A的三等分點，O為AB的中點，且PAPB，ABAD.問PB上是否存在一點F，使得OF平面PEC？若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由解析 PB上存在一點F，使得OF平面PEC，且F為PB的三等分點(靠近點B)證明如下：取BC的三等分點M(靠近點C)，連接AM，易知AE綊MC，所以四邊形AECM為平行四邊形，所以AMEC.取BM的中點N，連接ON，所以ONAM，所以ONEC.因為N為BM的中點，所以N為BC的三等分點(靠近點B)因為F為PB的三等分點(靠近點B)，連接OF，NF，所以NFPC，又ONNFN，ECPCC，所以平面ONF平面PEC，所以OF平面PEC.13選做題(2019深圳中學期中)如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD為正方形，E，F分別為側棱VC，VB上的點，且滿