專題8.7雙曲線及其幾何性質【考試要求】了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).【知識梳理】1.雙曲線的定義平面內與兩個定點F1，F2(|F1F2|2c0)的距離差的絕對值等于常數(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.其數學表達式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數且a0，c0：(1)若ac時，則集合P為空集.2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關系c2a2b2【微點提醒】1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.2.離心率e.3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.【疑誤辨析】1.判斷下列結論正誤(在括號內打“”或“”)(1)平面內到點F1(0，4)，F2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.()(2)平面內到點F1(0，4)，F2(0，4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.()(3)方程1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線.()(4)雙曲線(m0，n0，0)的漸近線方程是0.()(5)若雙曲線1(a0，b0)與1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)因為|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的軌跡為兩條射線.(2)由雙曲線的定義知，應為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.(3)當m0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而m0，n0時則表示焦點在y軸上的雙曲線.【教材衍化】2.(選修21P62A6改編)經過點A(3，1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為_.【答案】1【解析】設雙曲線方程為：x2y2(0)，把點A(3，1)代入，得8，故所求雙曲線方程為1.3.(選修21P61A1改編)已知雙曲線x21上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于_.【答案】6【解析】設雙曲線的焦點為F1，F2，|PF1|4，則|PF1|PF2|2，故|PF2|6或2，又雙曲線上的點到焦點的距離的最小值為ca1，故|PF2|6.【真題體驗】4.(2018浙江卷)雙曲線y21的焦點坐標是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)【答案】B【解析】由題可知雙曲線的焦點在x軸上，又c2a2b2314，所以c2，故焦點坐標為(2，0)，(2，0).5.(2017全國卷)雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，則a_.【答案】5【解析】由題意可得，所以a5.6.(2018北京卷)若雙曲線1(a0)的離心率為，則a_.【答案】4【解析】由題意可得，即a216，又a0，所以a4.【考點聚焦】考點一雙曲線的定義及應用【例1】 (1)已知F1，F2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cos F1PF2()A. B. C. D.(2)(2019濟南調研)已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_.【答案】(1)C(2)x21(x1)【解析】(1)由x2y22，知ab，c2.由雙曲線定義知，|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cos F1PF2.(2)如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因為|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點M到兩定點C1，C2的距離的差是常數且小于|C1C2|6.又根據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點M的軌跡方程為x21(x1).【規律方法】1.利用雙曲線的定義判定平面內動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出曲線方程；2.在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合|PF1|PF2|2a，運用平方的方法，建立與|PF1|，|PF2|的聯系.【訓練1】 (1)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為2，左、右焦點分別為F1，F2，點A在雙曲線C上，若AF1F2的周長為10a，則AF1F2的面積為()A.2a2 B.a2C.30a2 D.15a2(2)(2019杭州質檢)雙曲線C的漸近線方程為yx，一個焦點為F(0，)，點A(，0)，點P為雙曲線第一象限內的點，則當點P的位置變化時，PAF周長的最小值為()A.8 B.10 C.43 D.33【答案】(1)B(2)B【解析】(1)由雙曲線的對稱性不妨設A在雙曲線的右支上，由e2，得c2a，AF1F2的周長為|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a，又AF1F2的周長為10a，|AF1|AF2|6a，又|AF1|AF2|2a，|AF1|4a，|AF2|2a，在AF1F2中，|F1F2|4a，cos F1AF2.又0F1AF0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018天津卷)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由題設知，又由橢圓1與雙曲線有公共焦點，易知a2b2c29，由解得a2，b，則雙曲線C的方程為1.(2)由d1d26，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b3.因為雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以雙曲線的方程為1.【規律方法】1.利用待定系數法求雙曲線標準方程的關鍵是：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出關于參數a，b，c的方程并求出a，b，c的值.2.與雙曲線1有相同漸近線時可設所求雙曲線方程為(0).【訓練2】 (1)(2019海南二模)已知雙曲線C：1(a0，b0)過點(，)，且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點組成一個等邊三角形，則雙曲線C的標準方程是()A.y21 B.1C.x21 D.1(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x3y0，且雙曲線經過點P(，2)，則雙曲線的方程為_.【答案】(1)C(2)1【解析】(1)由雙曲線C：1(a0，b0)過點(，)，且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點組成一個等邊三角形，可得解得雙曲線C的標準方程是x21.(2)由雙曲線的漸近線方程為yx，可設雙曲線方程為(0).因為雙曲線過點P(，2)，所以，故所求雙曲線方程為1.考點三雙曲線的性質角度1求雙曲線的漸近線【例31】 (一題多解)(2018全國卷)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()A.yx B.yxC.yx D.yx【答案】A【解析】法一由題意知，e，所以ca，所以ba，即，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx.法二由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx.角度2求雙曲線的離心率【例32】 (1)(2018全國卷)設F1，F2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B.2 C. D.(2)(2018泰安聯考)已知雙曲線C1：1(a0，b0)，圓C2：x2y22axa20，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是()A. B.C.(1，2) D.(2，)【答案】(1)C(2)A【解析】(1)不妨設一條漸近線的方程為yx，則F2到yx的距離db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據余弦定理得cosPOF1cosPOF2，則3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.(2)由雙曲線方程可得其漸近線方程為yx，即bxay0，圓C2：x2y22axa20可化為(xa)2y2a2，圓心C2的坐標為(a，0)，半徑ra，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為.角度3與雙曲線有關的范圍(最值)問題【例33】 已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因為F1(，0)，F2(，0)，y1，所以(x0，y0)(x0，y0)xy30，即3y10，解得y00，b0)的一條漸近線與圓(x2)2(y1)21相切，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)已知焦點在x軸上的雙曲線1，它的焦點到漸近線的距離的取值范圍是_.【答案】(1)B(2)(0，2)【解析】(1)雙曲線C的漸近線方程為byax0，結合圖形易知與圓相切的只可能是byax0，又圓心坐標為(2，1)，則1，得3a4b，所以9a216b216(c2a2)，則e2，又e1，故e.(2)對于焦點在x軸上的雙曲線1(a0，b0)，它的一個焦點(c，0)到漸近線bxay0的距離為b.本題中，雙曲線1即1，其焦點在x軸上，則解得4m0，b0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設為t (t0).2.已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程0就是雙曲線1 (a0，b0)的兩條漸近線方程.【易錯防范】1.雙曲線方程中c2a2b2，說明雙曲線方程中c最大，解決雙曲線問題時不要忽視了這個結論，不要與橢圓中的知識相混淆.2.求雙曲線離心率及其范圍時，不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是(1，)這個前提條件，否則很容易產生增解或擴大所求離心率的取值范圍致錯.3.雙曲線1 (a0，b0)的漸近線方程是yx，1 (a0，b0)的漸近線方程是yx.【分層訓練】【基礎鞏固題組】(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2019鄭州模擬)設雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為()A.yx B.yxC.yx D.y2x【答案】B【解析】因為2b2，所以b1，因為2c2，所以c，所以a，所以雙曲線的漸近線方程為yxx.2.雙曲線C：1(a0，b0)的一個焦點為F，過點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，且交y軸于B，若A為BF的中點，則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題易知雙曲線C的一條漸近線與x軸的夾角為，故雙曲線C的離心率e.3.(2018全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(4，0)到C的漸近線的距離為()A. B.2 C. D.2【答案】D【解析】法一由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為yx.由點到直線的距離公式，得點(4，0)到C的漸近線的距離為2.法二離心率e的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是yx，點(4，0)到C的漸近線的距離為2.4.(2019天津和平區一模)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為，過右焦點F作漸近線的垂線，垂足為M.若FOM的面積為，其中O為坐標原點，則雙曲線的方程為()A.x21 B.1C.1 D.1【答案】C【解析】由題意可知e，可得，取一條漸近線為yx，可得F到漸近線yx的距離db，在RtFOM中，由勾股定理可得|OM|a，由題意可得ab，聯立解得所以雙曲線的方程為1.5.已知F2，F1是雙曲線1(a0，b0)的上、下兩個焦點，過F1的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點B，A，若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為()A.yx B.yxC.yx D.yx【答案】D【解析】根據雙曲線的定義，可得|BF1|BF2|2a，ABF2為等邊三角形，|BF2|AB|，|BF1|AB|AF1|2a，又|AF2|AF1|2a，|AF2|AF1|2a4a，在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2120，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 120，即4c24a216a222a4a28a2，亦即c27a2，則ba，由此可得雙曲線C的漸近線方程為yx.二、填空題6.直線l：y2x10過雙曲線1(a0，b0)一個焦點且與其一條漸近線平行，則雙曲線方程為_.【答案】1【解析】由題意得一個焦點為F(5，0)，c5，2，又a2b2c2，所以a25，b220，所以雙曲線方程為1.7.設雙曲線1的右頂點為A，右焦點為F.過點F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為_.【答案】【解析】a29，b216，故c5.A(3，0)，F(5，0)，不妨設直線BF的方程為y(x5)，代入雙曲線方程解得B.SAFB|AF|yB|2.8.(2019梅州質檢)已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點.P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF2分別交雙曲線C左、右支于M，N.若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，則雙曲線C的離心率為_.【答案】【解析】由題意，|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義可得，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1O|F2O|，|PO|MO|，得四邊形PF1MF2為平行四邊形，又MF2N60，可得F1PF260，在PF1F2中，由余弦定理可得，4c216a24a224a2acos 60，即4c220a28a2，c23a2，可得ca，所以e.三、解答題9.(2019安徽江南十校聯考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，).(1)求雙曲線的方程；(2)(一題多解)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：0.【答案】見解析【解析】(1)解e，可設雙曲線的方程為x2y2(0).雙曲線過點(4，)，1610，即6.雙曲線的方程為x2y26，即1.(2)證明法一由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.點M(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，點M(3，m)在雙曲線上，9m26，即m230，0.10.設A，B分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使t，求t的值及點D的坐標.【答案】見解析【解析】(1)由題意知a2，一條漸近線為yx，即bxay0.由焦點到漸近線的距離為，得.又c2a2b2，b23，雙曲線的方程為1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x02.又t，即(x1，y1)(x2，y2)t(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0.將直線方程yx2代入雙曲線方程1得x216x840，其中(16)24840，則x1x216，y1y2(x1x2)412.解得t4，點D的坐標為(4，3).【能力提升題組】(建議用時：20分鐘)11.(2019河南適應測試)已知F1，F2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內角為，則雙曲線的漸近線方程為()A.y2x B.yxC.yx D.yx【答案】D【解析】不妨設P為雙曲線右支上一點，則|PF1|PF2|，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因為所以PF1F2為最小內角，故PF1F2.由余弦定理，可得，即(ac)20，所以ca，則ba，所以雙曲線的漸近線方程為yx.12.已知點F為雙曲線E：1(a0，b0)的右焦點，直線ykx(k0)與E交于不同象限內的M，N兩點，若MFNF，設MNF，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.， B.2，1C.2， D.，1【答案】D【解析】如圖，設左焦點為F，連接MF，NF，令|MF|r1，|MF|r2，則|NF|MF|r2，由雙曲線定義可知r2r12a，點M與點N關于原點對稱，且MFNF，|OM|ON|OF|c，rr4c2，由得r1r22(c2a2)，又知SMNF2SMOF，r1r22c2sin 2，c2a2c2sin 2，e2，又，sin 2，e22，(1)2.又e1，e，1.13.(2018北京卷)已知橢圓M：1(ab0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個