第6章 測量誤差的基本理論,6.1測量誤差概述 6.2測量精度的評定指標 6.3誤差傳播定律及其應用 6.4算術平均值及其中誤差 6.5廣義算術平均值及其精度評定,6.1測量誤差概述,觀測中常見的現象舉例,1如圖1，對兩點的距離重復丈量n次，但結果不相等，即,。,2.對三角形三個內角進行觀測，得值a,b,c,但是,現象總結：(1)同一觀測量之間的值不相等,(2)觀測值與其理論值(真值)之間有差異. 原因:觀測中存在觀測誤差。,6.1測量誤差概述,一、測量誤差產生的原因 誤差來源的三個方面： 1、觀測者 觀測者的感覺器官的鑒別能力限制；技術熟練程度。 2、測量儀器 儀器本身器件之間裝配；使用過程中的變化。 3、測量環境（外界條件） 溫度、氣壓、大氣折光、風力、大氣透明度等。 三者合稱為觀測條件 二、誤差分類： 真誤差的定義i=X-li 根據觀測誤差對觀測結果的影響性質分為： 系統誤差、偶然誤差、粗差。,6.1測量誤差概述,二、誤差分類： 1、系統誤差 （1）定義：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現出系統性，或者在觀測過程中按一定的規律變化，或者為某一常數，那么，這種誤差就稱為系統誤差。 （2）舉例：尺長誤差（保持常數）；水準測量中的i角誤差（系統性）；大氣折光，白天黑夜相反；鋼尺溫度變化，熱脹冷縮（有規律變化） （3）消除或減弱的方法 好的觀測方法 水準測量中，前后視距相等，可以消除i角對觀測結果的影響；角度測量中，盤左、盤右取中數可以消除豎盤指標差的影響。 加改正數方法。 例如，鋼尺量距時，加入尺長改正、溫度改正等。,6.1測量誤差概述,二、誤差分類： 2、偶然誤差（隨機誤差） （1）定義：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統計規律，這種誤差稱為偶然誤差。 （2）舉例：讀數誤差，照準誤差 （3）消除或減弱的方法 采用概率論和數理統計的理論進行處理，減弱偶然誤差的影響。 3、粗差 （1）定義：指比可能產生的最大誤差還大的誤差（或錯誤）。 （2）舉例：找錯目標、大數讀錯等 （3）消除或減弱的方法 嚴格按規范規定的程序進行測量工作，加強檢核措施等。,6.1測量誤差概述,三、偶然誤差的特性 1.列表法分析 用601個三角形閉合差（真誤差）進行分析，見表6-1,6.1測量誤差概述,偶然誤差的四個特性： 用真誤差 列于據表6-1數據分析，得偶然誤差的四個特性： （1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。 （2）絕對值小的偶然誤差比絕對值大的偶然誤差出現的可能性大（頻率大或概率大）。 （3）絕對值相等的正、負誤差出現的可能性相等。 （4）在相同觀測條件下，同一量的多次觀測值的偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數的無限增大而趨于零。即,分析方法：誤差分布表法、直方圖法、數字特征法。,6.1測量誤差概述,2.直方圖分析法 用表6-1的數據作出圖6-1的誤差分布圖，更加直觀的說明偶然誤差的特性。這種圖稱為誤差頻率分布直方圖。 橫坐標表示誤差的數值大小； 縱坐標表示誤差出現在該區間的頻率ni/n除以區間的間隔值d,即：ni/n/d 因此，各每個矩形的面積等于誤差出現于該區間的頻率,6.1測量誤差概述,3.偶然誤差的概率分布 當誤差個數區域無窮、誤差區間無限小時，頻率直方圖變為概率分布圖，其直方圖的頂端的折線變為光滑的曲線。 該曲線在概率論中稱之為正態分布曲線。即偶然誤差屬于正態分布。 其概率分布密度函數為,6.1測量誤差概述,3.偶然誤差的概率分布 其概率分布密度函數為,62測量精度的評定指標,精度的（定義）：精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。 準確度：所謂準確度，是指隨機變量（觀測量）的數學期望與其真值的接近程度。 精確度：精確度是指隨機變量（觀測量）的數學期望與其真值的接近程度。 下圖說明三者之間的關系,62測量精度的評定指標,衡量精度的指標 在實用上，是用一些數字特征來說明誤差分布的密集或離散的程度，稱它們為衡量精度的指標。 常用的精度指標有：中誤差、相對誤差、容許誤差。 一、中誤差 1中誤差的定義 在相同的條件下，對同一量進行次觀測，所得各個真誤差平方的平均值的平方根，稱為中誤差，用m表示，即,m表示每一次觀測值的中誤差。,62測量精度的評定指標,2用真誤差計算中誤差算例 例6-2,62測量精度的評定指標,二、相對誤差 1中誤差的局限 例如，分別丈量了1000m及500m的兩段距離，它們的中誤差均為2cm，雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相同。顯然前者的相對精度比后者要高。此時，須采用另一種辦法來衡量精度，通常采用相對中誤差。 2相對中誤差 相對中誤差定義：中誤差的絕對值與相應觀測值之比值,62測量精度的評定指標,3相對誤差 相對誤差定義：差值的絕對值與相應觀測值之比值。,與相對誤差相對應，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。,相對精度是指長度元素而言。如果不特別說明，相對精度是指相對中誤差。角度元素沒有相對精度。,62測量精度的評定指標,三、容許（極限）誤差 按正態分布表查得，誤差出現的概率分別為：,絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現的概率僅有0.3%，大于二倍中誤差的概率只有4.5%。 這已經是概率接近于零的小概率事件，或者說這是實際上的不可能事件。 故一般以三倍中誤差或二倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱為容許（極限）誤差。即：,或,63誤差傳播定律及其應用,誤差傳播定律概念：闡述觀測值中誤差與觀測值函數中誤差之間數學關系的定律，稱為誤差傳播定律。 一、和、差函數的中誤差 1.函數形式 設x、y為獨立觀測值，其中誤差為mx，my，觀測值的函數為 Z=xy 2.函數的中誤差計算式 則函數Z的中誤差計算式為,算例：見例6-3、例6-4,63誤差傳播定律及其應用,二、倍數函數的中誤差 1.函數形式 設x為觀測值，其中誤差為mx，觀測值的函數為 Z=kx 2.函數的中誤差計算式 則函數Z的中誤差計算式為,算例：見例6-5,63誤差傳播定律及其應用,三、線性函數的中誤差 1.函數形式 設x1，x2，xn為獨立觀測值，其中誤差為m1 ，m2， ， mn，觀測值的函數為,算例：見例6-6,2.函數的中誤差計算式 則函數Z的中誤差計算式為,63誤差傳播定律及其應用 四、非線性函數的中誤差,算例：見例6-7,64算術平均值及其中誤差,一、算術平均值,即,64算術平均值及其中誤差,一、算術平均值,64算術平均值及其中誤差,二、算術平均值的中誤差 算術平均值的中誤差與單個觀測值的關系式,設單個觀測值的中誤差為m，算術平均值的中誤差為mx，則根據誤差傳播定律，得,64算術平均值及其中誤差,三、用觀測值的改正數計算中誤差 算術平均值的中誤差與單個觀測值的關系式。 在實際工作中，一般情況下，量的真值是不知的，故無法利用真誤差計算中誤差。 但是可以利用算術平均值和觀測值的差值-改正數計算。 1.改正數的計算 設對同一個量同精度觀測了n次，得觀測值,算術平均值為,64算術平均值及其中誤差,三、用觀測值的改正數計算中誤差 1.改正數的計算 則觀測值的改正數按下式計算,64算術平均值及其中誤差,三、用觀測值的改正數計算中誤差 2. 則觀測值的中誤差按下式計算,3. 算術平均值的中誤差按下式計算,其中,64算術平均值及其中誤差,四、用等精度雙觀測值的差值求觀測值的中誤差 1.雙觀測值的概念 對同一個量獨立觀測了兩次，得,則稱其為雙觀測值,2.雙觀測值的之差,3. 單次觀測值的中誤差,4.兩次觀測值平均值的中誤差,65廣義算術平均值及其精度的評定,一、“權”的定義 設觀測值Li的中誤差為mi，為任意常數，則定義的權為,二、常用的定權方法 1.水準測量的權 （1）按測站數定權 設某水準路線的觀測高差為hi，測站數為ni， hi的中誤差為mi，c為任意常數，則hi的權為,65廣義算術平均值及其精度的評定,二、常用的定權方法 1.水準測量的權 （2）按水準路線長度定權 設某水準路線的觀測高差為hi，路線長度Li千米， hi的中誤差為mi，c為任意常數，則hi的權為,65廣義算術平均值及其精度的評定,二、常用的定權方法 2.測量距離的權 設某段