FDTD近場到遠場的時域轉換沈愛國宋錚邢軍(電子工程學院微波教研室，合肥230037）【摘要】對FDTD中近區場向遠區場的轉換方法作了討論，具體分析了時域的轉換方法，在理論上說明了該方法的可行性，給出了具體的轉換步驟，并用典型的計算實例驗證其正確性。該方法為FDTD在寬頻領域的應用提供了方便，拓寬了應用范圍。關鍵詞:FDTD，近區場，遠區場一、引言自從Yee在網格中將空間離散化，把帶時間變量的Maxwell旋度方程轉化為差分格式，并成功地模擬了電磁脈沖與理想導體作用的時域響應以來，時域有限差分法(FDTD)得到了長足的發展，并以其明顯的優點得到越來越廣泛的應用1。起初，FDTD主要用于散射問題的處理，后來也逐漸應用于天線等輻射系統的計算。我們知道，FDTD計算直接得到的是近區場，但不管是散射問題或輻射問題，真正有用的往往是遠區場，這就涉及將近區場轉換為遠區場的問題。遠區場與近區場雖然在性質上有很大區別，但遠區場是近區場發展運動的結果，二者之間有密切的關系，在已知近區場的情況下，可以求得遠區場。FDTD在電磁計算中的應用主要有兩個方面，計算瞬態電磁問題和穩態電磁問題。最早的近場向遠場轉換工作是在穩態問題的計算中進行，即平面正弦波的散射問題計算，轉換主要在頻域中進行2。隨著FDTD在瞬態問題和寬頻問題中的應用，在頻域中處理近場向遠場的轉換顯示出很大的不便。若能將時域的散射近場直接轉換為遠區場，會解決這一矛盾，并能更有效地體現FDTD算法的優點。FDTD是在時域中對Maxwell旋度方程進行差分近似計算得到的，用該算法計算遠區場的時域響應是很自然的，當需要頻域響應時，對時域場進行Fourier變換即可。目前對于近場向遠場轉換的討論大多側重于原理的分析3,4，而對具體的轉換過程討論較少，應用不夠方便。本文首先從理論上說明時域轉換的可行性，詳細討論了轉換方法，并給出了流程圖，然后給出了具體計算實例，以檢驗轉換的正確性。二、轉換的基本原理按照FDTD計算電磁場的方法，總能求出散射體或輻射體表面的電流分布，由這些電流分布可以計算近區和遠區的散射場或輻射場。但是，散射體或輻射體的形狀可能很復雜，還可能以某種方式包含有介質成分，這使得每一個散射或輻射問題成為一個單獨的問題，而且本身還帶有一定的復雜性。一種替代的方法是不直接利用散射體或輻射體的表面電流，而是利用表面外的近場來獲得散射場或輻射場的信息，而這些近場數據則可取自一個完全包圍散射體或輻射體的具有簡單形狀（一般由平面構成）的虛設表面上。在這樣的表面上進行計算不僅使問題簡化，而且它的設置可以完全不依賴于實際散射體或輻射體的形狀，從而可以使算法具有通用性。而且，所有的近場數據是在時域有限差分計算中必然出現的，它的獲得不需要任何輔助工作。圖1給出了散射問題中置于散射場區中的虛設封閉面示意圖。在三維空間中，最簡單的虛設封閉面形狀為由六個與坐標面平行的矩形組成的長方體，因而其上散射近場的電場和磁場切向分量都可以從計算中直接獲得，繼而應用等效原理就可以獲得虛設封閉面上的等效電流和等效磁流。設虛設封閉面用Sa表示，其上的切向電場和切向磁場分別為分別為Sa上相應的等效切向電流和等效切向磁流，則有其中為Sa的單位外法向矢量。由電磁場的等效原理可得到如圖2所示的等效關系：(a)為以Sa為邊界的原始問題，由散射體表面S上的表面電流所決定的散射場Es和Es在Sa外的無界區域B中的分布與等效問題(b)中由Sa上的所決定的B區中的電磁場相同。因此，遠區散射場可以從Sa上的等效電流出發進行計算。三、遠區場的計算根據(1)式得到的等效面電流和面磁流，可以得到在遠區的輻射場為3：式中，R=r-r,r為遠區場點的向量，r代表該向量的模值，即r=r；R=R,；r是源點(等效面上)位置的向量；t為時間變量；=R/c表示信號從源點傳到場點所需要的時間延遲。實際計算中我們假設條件WT5HXrr成立，利用下列近似：這樣，（2）式可以簡化為：從上式可以看出，計算遠區場的主要任務是求等效電磁流在閉合封閉面上的積分，即：如何利用FDTD計算直接得到的電磁場分量來計算這兩個積分是本文的關鍵。根據FDTD的特點，計算中，在T0，t，2tE(r，T)，在T1/2t，3/2t，得到H(r,T)。由網格的劃分方式及其計算過程易知，電場分量和磁場分量在不同的網格點處計算。在矩形網格空間可以考慮選擇封閉面S，使得可以在T0，t，2t，時刻在該封閉面上計算nE，即等效磁流M。在時間和空間上取平均，我們同樣可以在這些時刻在相同的網格點上計算等效電流J。對于一個確定的r，令首先，我們給出FDTD計算中(5)式的近似表達式式中Jl(t)是所取封閉面S上的第L塊面積對J(t)產生的影響，l表示從S上第L塊面積上的信號傳到r處所需要的時間延遲，即為了得到遠區場的時域特性，我們僅在T0，t，2t，保存E和H值是不夠的，還必須作一些特殊的處理。由(8)式知道，J(t)的存儲可以從時刻開始，設置如下的存儲變量由(9)式就可以得到遠區場的WT5HXJWT5BX隨時間的變化量。下面我們來具體看一下第L小塊對(t)的作用。根據上式有：從(11)式可知，J(rl,mt)對(9)式中存儲空間的兩個分量產生影響，對第m+nl分量的影響為：在計算的每一時間步對這些影響進行計算，就可以得到時域的J(t)值。在實際計算中，我們不妨根據計算時間步數建立相應的數組來實現假想封閉面上的電磁場值向遠區場量的轉換。根據(11)式，計算中為確定第L小塊在遠區場量存儲空間的位置及影響程度，參數nl和l是非常重要的兩個量，因此，首先就要計算這兩個分量。為了簡化后面的計算，我們把與封閉面六個面上的每一小塊相對應的參數按一定方式轉換為一維數組，在計算中始終按同一方式進行賦值，就保證了存儲變量的統一性。圖3給出了FDTD中近區場向遠區場轉換的流程圖。四、計算實例為了檢驗方法的正確性，我們在數值上作了驗證。計算空間為242424的立方體網格，在計算網格的邊界用PML吸收邊界條件。在網格的中心位置Ez(12,12,12)加入電壓脈沖激勵，激勵源由下面兩式確定5：為了計算遠區的電磁場，選定了一個包圍激勵源的666的立方體閉合面。根據流程圖，我們程序中第一步完成的就是數組的設定。在所選的封閉面上包含216個小網格，相應的存儲、nl和l的就是1216的數組。如前面的分析，利用(7)式即可計算出來。另兩個參數可利用下面兩式計算：其中函數fix(x)表示對變量x向零取整。由(12)式及(8)式知道，對應于(9)式的存儲變量的數組大小決定于計算的時間步數N和nl數組中的最大值，即J(t)是一個維數為1M的數組，其中M=N+max(nl)，函數max(x)表示數組x的最大值。根據需要設置六個這樣的數組用來存儲等效電磁流對遠區影響的六個分量。設定了所需的數組變量，近場到遠區場轉換中，在閉合面上的關鍵問題也就解決了。接下來的任務就是執行每一步計算時提取所需的瞬時電磁場值，將其轉換為等效電磁流，分別計算這些電磁流對遠區的影響并存入對應的存儲空間中，最后利用所存儲的時間變量計算遠區的電磁場。如果需要，可通過Fourier變換求出頻域的遠區場。圖4、5給出了計算曲線。文中首先計算了遠區的瞬態場，圖4給出了在遠區=45，=90位置的場分量E隨時間變化的歸一化曲線。由圖可見，該近遠場轉換方法較好的保持了激勵源的脈沖波形。根據激勵源設置的特性，可將其等效成單極子，因此其電磁場分量在空間的分布是已知的。我們分別用時域方法和頻域方法計算了電場分量E在空間的歸一化分布圖，如圖5所示。其中(a)給出的是xoy面上的分布圖，(b)則給出了xoz面的分布圖。對于(a)，需要作特殊交代，在Matlab中繪制歸一化分布圖，我們發現該曲線與極坐標系的參考圓重合導致曲線不明顯，為了使分布曲線清晰可見，我們對歸一化的數據統一乘以系數0.9得到了圖中的結果。為了便于比較，我們在圖中同時給出了相應的理論值。圖示曲線表明計算所得到的電磁場分布情況與理論分析相符，進一步分析計算曲線可以看出時域法的計算結果更接近理論值，再次證明該算法的正確性和實用性。五、結束語FDTD在電磁場計算中的應用越來越廣泛，對于瞬態問題和寬頻問題的計算，為了得到遠區的響應，利用頻域的近場向遠場轉換方法要對感興趣的所有頻率點分別計算，重復性工作較多，計算時間長，限制了其應用。本文給出了時域上的具體轉換方法，并驗證了該方法的正確性。同時，該方法具有通用性，對所有的FDTD計算都實用，為FDTD在寬頻和瞬態問題處理中的應用提供了方便。而且，在需要時可以通過Fourier變換非常方便地得到頻域的特性。因此，時域轉換的實現在一定程度上擴大了FDTD的應用范圍，有一定的理論價值和實際意義。參考文獻1王長清,祝西里.電磁場計算中的時域有限差分法.北京：北京大學出版社，1994.2K.Umashankar，A.Taflove.Anovelmethodtoanalyzeelectromagneticscatteringofcomplexobjects.IEEETrans.Electromagneticcompat,1982,24(4):406410.3K.S.Yee,D.Ingham,K.Shlager.TimedomainextrapolationtothefarfieldbasedonFDTDcalculations.IEEETrans.Antenna.Propagat,1991,39(3):410413.4R.J.Luebbers,K.S.Kunz,M.SchneiderandF.Hunsberger.Afinitedifferencet