第二章 隨機變量及其分布,一、隨機變量 二、離散型隨機變量及其分布律,第一講,1 隨機變量,例1 ：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現的情況。其樣本空間為,S= HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,TTH, TTT ,以X表示三次拋擲得到正面H的總數 ,則 X 的可能取值為0，1，2，3因此， X 是一個變量但是， X 取什么值依賴于試驗結果，即 X的取值帶有隨機性，所以，我們稱 X 為隨機變量X 的取值情況可由下表給出：,定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件,如例1 中,X=2表示事件“恰好出現兩次正面H”,X=1表示事件“恰好出現1次正面H”,X1表示事件“至少出現1次正面H”,X=0表示事件“三次都出現反面T”,說 明,例2 擲一顆骰子,令：X表示出現的點數則 X就 是一個隨機變量它的取值為1，2，3，4，5，6,例3 一批產品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正品現從中取出 6 件，令： X表示取出 6 件產品中的次品數則 X 就是一個隨機變量,例4 擲一枚硬幣，令：,X是一隨機變量,引進隨機變量后，對隨機現象統計規律性的研 究，就由對事件與事件概率的研究轉化為對隨 機變量及其取值規律的研究。,它的取值為 0,1,2,6,2 離散型隨機變量及其分布律,隨機變量通常分為兩類：離散型隨機變量 和非離散型隨機變量。如果隨機變量的所有取 值可以逐個列舉出來，則稱之為離散型隨機變 量。如前面例子中“取到次品的個數” 等都是離 散型隨機變量。非離散型隨機變量范圍很廣， 其中最重要、實際工作中經常用到的是所謂連 續型隨機變量，如 “某種電子元件的壽命”等,對離散型隨機變量僅僅知道它的所有取值是 不夠的，更重要的是要知道它取各個值的概率， 也就是說，必須知道它的概率分布情況。,例1 袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3 只球，則取出的3只球中的白球的個數X是一個隨 機變量，它的可能取值為 0,1,2。運用概率知識可 求出,或者列成一張表,分布律也可用表格形式表示：,離散型隨機變量分布律的性質:,更直觀地表示了隨機變量的取值及取各個值的 概率的規律,例2 設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信號燈，每盞信號燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數，求 X 的分布律. (信號燈的工作是相互獨立的).,PX=3=(1-p)3p,可愛的家園,解：以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為：,或寫成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,以 p = 1/2 代入得：,例3 設離散型隨機變量 X 的分布律為,一些常用的離散型隨機變量,1)（01）分布,如果隨機變量 X 的分布律為,(01)分布的分布律也可寫成,則稱 X服從以p為參數的(01)分布,2）二項分布,如果隨機變量 X 的分布律為,二項分布的概率背景n重伯努利試驗,例4 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？,解：每答一道題相當于做一次伯努利試驗,則答5道題相當于做5重伯努利試驗,設X=學生靠猜測答對題的數目,則,例5 對同一目標進行400次獨立射擊，設每次射 擊的命中率均為0.02，試求400次射擊至少擊中 2次的概率,解：將一次射擊看作是一次試驗,設擊中次數為X,所求的概率為,此例說明，雖然在一次試驗中A發生的概率很小，但將這一試驗獨立重復很多次，事件A