第三章 不等式3.4 基本不等式：第2課時 基本不等式的應用A級基礎鞏固一、選擇題1若x0，則函數yx()A有最大值2 B有最小值2C有最大值2 D有最小值2解析：因為x0，所以x2.所以x2.當且僅當x1時，等號成立，故函數yx有最大值2.答案：A2下列命題正確的是()A函數yx的最小值為2B若a，bR且ab0，則2C函數的最小值為2D函數y23x的最小值為24解析：A錯誤，當x0，所以0，0，且2；C錯誤，若運用基本不等式，需21，x21無實數解；D錯誤，y2(3x)24.答案：B3lg 9lg 11與1的大小關系是()Alg 9lg 111 Blg 9lg 111Clg 9lg 111 D不能確定解析：lg 9lg 111.答案：C4已知a，bR，且ab1，則ab的最小值為()A2 B. C. D2答案：C5已知a(x1，2)，b(4，y)(x，y為正數)，若ab，則xy的最大值是()A. BC1 D1解析：因為ab，則ab0，所以4(x1)2y0，所以2xy2，所以xy(2x)y，當且僅當2xy時，等號成立答案：A二、填空題6設x1，則函數y的最小值是_解析：因為x1，所以x10，設x1t0，則xt1，于是有yt5259，當且僅當t，即t2時取“”，此時x1.所以當x1時，函數y取得最小值9.答案：97若正數a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_解析：abab323，所以(3)(1)0，所以3，所以ab9.答案：9，)8當x1時，不等式xa恒成立，則實數a的最大值為_解析：xa恒成立a，因為x1，即x10，所以xx112 13，當且僅當x1，即x2時，等號成立所以a3，即a的最大值為3.答案：3三、解答題9已知x，y0，且x2yxy30，求xy的范圍解：因為x，y是正實數，故30x2yxy2xy，當且僅當x2y，即x6，y3時，等號成立所以xy2300.令t，則t0，得t22t300，解得5t3.又t0，知03，即xy的范圍是(0，1810(1)設abc，且恒成立，求m的取值范圍(2)記F(x，y)xya(x2)，x，y(0，)若對任意的x，y(0，)，恒有F(x，y)0，請求出a的取值范圍解：(1)由abc，知ab0，ac0.所以原不等式等價于m.要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可因為222 4.當且僅當，即2bac時，等號成立，所以m4，即m(，4(2)由F(x，y)0，得xya(x2)因為x0，y0，所以a.所以a.因為2x2y，所以，當且僅當x2y0時，等號成立所以a.B級能力提升1某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為400平方米的三級污水處理池，如圖所示，池外圈造價為每米200元，中間兩條隔墻造價為每米250元，池底造價為每平方米80元(池壁的厚度忽略不計，且池無蓋)若使水池的總造價最低，那么污水池的長和寬分別為()A.40米，10米 B20米，20米C30米，米 D50米，8米解析：設總造價為y元，污水池的長為x米，則寬為米，總造價y20022508040040032 000400232 00056 000(元)，當且僅當x，即x30時等號成立，此時污水池的寬為米答案：C2函數yloga(x3)1(a0，a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10上，其中m，n0，則的最小值為_解析：函數yloga(x3)1(a0，a1)的圖象恒過定點A(2，1)，且點A在直線mxny10上，所以2mn1，m，n0，所以(2mn)442 8，當且僅當即時等號成立答案：83桑基魚塘是某地一種獨具地方特色的農業生產形式，某研究單位打算開發一個桑基魚塘項目，該項目準備購置一塊1 800平方米的矩形地塊，中間挖出三個矩形池糖養魚，挖出的泥土堆在池糖四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，池糖周圍的基圍寬約為2米，如圖，設池塘所占的總面積為S平方米(1)試用x表示S；(2)當x取何值時，才能使得S最大？并求出S的最大值解：(1)由圖形知，3a6x，所以a.則總面積Sa2aa1 83