,第二章,第五節,隨機變量的相互獨立性 (22),一、隨機變量的相互獨立性,二、兩個隨機變量的函數的分布,一、隨機變量的相互獨立性,定義1,有,即有,定理1,獨立的充分必要條件是對任意實數 x ,y 有,設( X ,Y )是二維隨機變量,若對任意實數 x ,y ,則稱隨機變量 X 與Y 相互獨立.,(1),設( X ,Y )是二維連續型隨機變量,則 X 與Y相互,(2),證:,先證充分性:,若,則有,故 X 與 Y 相互獨立.,再證必要性:,即,則有,若X 與Y 相互獨立，,由聯合概率密度函數的定義知,是( X , Y )的聯合概率密度函數,證畢.,解:,首先求 X 與 Y 的邊緣概率密度函數，,當 x 1時,則,當 0 x 1 時，,例1.,設( X ,Y )的聯合概率密度函數為,問 X 與Y 是否相互獨立？,當y 2時,又,則,當0 y 2時,由于,因此 X 與Y 不獨立.,則有,則有,對于二維離散型隨機變量,定理2,立的充分必要條件是,都有,即有,有下述定理:,設( X ,Y )是二維離散型隨機變量,則 X 與Y 相互獨,(3),( X ,Y )的任意一對可能取值,證明從略.,例2.,取出2件產品,試判斷 X 與Y 的獨立性.,袋中有5件產品,其中2件是次品,現從袋中逐次,設采用有放回抽取,規定:,解:,利用公式,可得 ( X ,Y ) 的聯合分布律如下:,0 1,由于,所以 X 與Y 相互獨立.,注:,變量是否相互獨立,變量是否相互獨立.,兩個隨機變量相互獨立的概念可直接推廣到 n 個隨機,變量.,n維隨機變量,定義為,若對于任意實數,則稱隨機變量,在實際應用中,通常不是用定義或定理來判斷隨機,而是根據實際問題本身來判斷隨機,的聯合分布函數,都有,是相互獨立的.,(如例2作有放回抽取),對于n 維連續型隨機變量及 n 維離散型隨機變量,也有類似于定理1與定理2的結論.,定理3,則隨機變量的函數,也是相互獨立的.,設,是相互獨立的隨機變量,二、二維隨機變量函數的分布,第三節已討論了一個隨機變量的函數的概率分布問題,即已知 X 的概率分布,求 X 的函數 Y = g (X)的分布.,下面我們把上述討論推廣到二維隨機變量上去,例3.,-1 0 1,求 X+Y 和 XY 的分布律.,即討論,二維隨機變量函數的概率分布.,下面通過例子,討論幾個,具體的二維隨機變量函數的概率分布.,設( X ,Y )的聯合分布律如下,解:,由( X ,Y )的聯合分布律容易求得,概率,概率,從而得 X +Y 和 XY 的分布律分別為:,例4.,為 f (x ,y) ,解:,設 Z 的分布函數為,則,其中,設二維連續型隨機變量( X , Y )的聯合概率密度,求Z = X + Y 的概率密度函數,令 t = x + y ,則 y = t x ,得,兩邊對 z 求導得,由X 與Y 在Z 中的對稱性,得,(4),(5),當X 與Y 相互獨立時,設其概率密度函數分別為,則有:,此時,(6),(7),例5.,求 Z = X + Y 的概率密度函數.,解:,當 時,已知 X 與Y 相互獨立,概率密度函數分別為,(6)式和(7)式這兩個積分即是函數,與,的卷積.,則,當 時，,下面求,在 時均為0，,因此 ；,當 時,在 時非0,則,當 時，,在 時非0,則,因此,例6.,與,的分布,解:,由于,不大于Z等價于X和Y都不大于Z,故有,立,的分布函數為:,又由于X 和Y 相互獨,設 X 與Y 相互獨立,且分布函數分別為,