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,3.1.4 空間向量的正交 分解及其坐標表示,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐標表示,【溫故知新】,問題：,我們知道，平面內的任意一個向量 都可以用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？,由此可知，如果 是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量 ，存在一個有序實數組 x,y,z使得 我們稱 為向量 在 上的分向量。,探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量 ，你能得出類似的 結論嗎？,任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。,一、空間向量基本定理：,如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序實數組x,y,z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。,特別提示：對于基底a,b,c,除了應知道a,b,c不共面， 還應明確：,（2） 由于可視 為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是 。,（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯的不同概念。,推論：設O、A、B、C是不共線的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數組x,y,z，使 當且僅當x+y+z=1時，P、A、B、C四點共面。,1、已知向量a，b，c是空間的一個基底 求證：向量a+b，a-b，c能構成空間的一個基底,練習,二、空間直角坐標系,x,y,z,O,e1,e2,e3,給定一個空間坐標系和向量 ,且設e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序數組( x, y, z)叫做p在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，記作.P=(x,y,z),三、空間向量的直角坐標系,x,y,z,O,e1,e2,e3,例1,解:,連AN,例題,已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N，分別是對邊OA，BC的中點，點P，Q是線段MN三等分點，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.,練習,B,練習2,練習： 1、在空間坐標系o-xyz中， ( 分 別是與x軸、 y軸、 z軸的正方向相同的單位向量)，則 的坐標為 ，點B的坐標為 。 2、點M（2，-3，-4）在

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