第十二章 極限與導數,函數的極限與連續性,第 講,3,1.當自變量x取正值并且無限增大時，如果函數f(x)無限趨近于一個常數a，就說當x趨向于 時，函數f(x)的極限是a，記作 . 2.當自變量x取負值并且絕對值無限增大時，如果函數f(x)無限趨近于一個常數a，就說當x趨向于 時，函數f(x)的極限是a，記作 .,正無窮大,負無窮大,3.如果 且 ，那么就說當x趨向于 時，函數f(x)的極限是a，記作 . 4. 當自變量x無限趨近于常數x0(但不等于x0)時，如果函數f(x)無限趨近于一個常數a，就說當x 時，函數f(x)的極限是a，記作 .,無窮大,趨近于x0,5. 如果當x從點x=x0左側(即xx0)無限趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于常數a，就說a是函數f(x)在點x0處的 ，記作 . 6. 如果當x從點x=x0右側(即xx0)無限趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于常數a，就說a是函數f(x)在點x0處的 ，記作 . 7. 的充要條件 是 .,左極限,右極限,8. 如果 那么 = ; = ; = (b0).,ab,ab,9. 如果函數y=f(x)在點x=x0處及其附近有定義，且 ，就說函數f(x)在點x0處連續.如果函數f(x)在某個區間內 都連續，就說函數f(x)在這個區間內連續. 10. 如果f(x)是閉區間a，b上的連續函數，那么f(x)在閉區間a，b上有.,最大值和最小值,每一點處,1.已知函數f(x)是偶函數,且 則下列結論一定正確的是( ) 解：因為f(x)是偶函數,所以f(-x)= f(x). 又 所以 又f(x)= f(-x),所以,B,2. 等于( ) 解:因為 所以,A,3.若 在點x=0處連續， 則f(0)= . 解:因為f(x)在點x=0處連續， 所以,題型1 求函數的極限,1. 求下列各極限：,解：(1)原式 (2)原式,(3)因為 所以 所以 不存在. (4)原式,點評：若f(x)在x0處連續，則應有 故求f(x)在連續點x0處的極限時，只需求f(x0)即可；若f(x)在x0處不連續，可通過變形，消去因式x- x0 ，轉化成可直接求f(x0)的式子.求分式型函數的極限，一般是先通分、約分，然后再求.若分式中含有根式的，注意分母有理化、分子有理化在變形中的應用.,求下列極限:(1) 解：(1)原式,(2)原式,題型2 求函數極限式中的參數值,2. 已知 求a、b的值. 解：因為 存在， 所以x=-2是方程x2+ax+2=0的一個根， 所以(-2)2-2a+2=0，解得a=3. 所以,點評：根據分式型極限求解過程的逆向思維，當遇到求 型式子的極限時，一般是分子中含有分母為零值的那個因式，因此，按待定系數法或方程的思想進行求解.,則a+b= . 解： 所以有a=2，且4a+b=0，則b=-8， 所以a+b= -6 .,-6,3. 設函數f(x)= ，g(x)= 試確定函數F(x)= f(x)+ g(x)的連續區間. 解：由題設， F(x)=,題型3 函數的連續性,x (x0),0 (x0),x+1 (x1),x (x1)，,x+1 (x0),2x+1 (0x1),2x (x1).,因為 所以F(x)在x=0處連續. 因為 所以F(x)在點x=1處不連續， 而F(x)在其余各點都連續. 故F(x)的連續區間是(-，1)，(1，+).,點評：函數的連續性，一是可以根據圖象來觀察；二是根據函數在某點x0處連續的充要條件： 來轉化，得到相應的等式.,已知函數 (1)試求f(x)的定義域，并畫出f(x)的圖象； (2)求 并指出 是否存在. 解：(1)當|x|2時， 當|x|2時，,當x=2時， 當x=-2時， 不存在，f(x)不存在. 所以 f(x)=,-1 (x2或x-2),0 (x=2),1 (-2x2).,所以f(x)的定義域是x|xR且x-2. 圖象如下圖. (2)因為 所以 不存在.,1. 函數f(x)在點x=x0處有極限，不要求f(x)在x=x0時有意義，即x0可以不在函數f(x)的定義域內.即使f(x)在x=x0處有定義， 也不一定等于f(x0).若 存在，且 則 2. 遇到求 型，或 型或-型函數極限時，則應對函數表達式進行恒等變形，變形手段主要有：因式分解，通分與分解，分子或分母有理化等.,3. 基本初等函數在其定義域內每一點都連續.如果函數f(x)在閉區間a，b內連續，且f(a)f(b)0，則必存在x0(a，b)，使得f(x0)=0. 4. 函數f(x)在點x0處連續，反映在函數的圖象上是在點x= x0處是不間斷的，這是“連續”的直觀理解. 5. 如果函數f(x)在點x0處不連續，則稱x0是f(x)的間斷點.如果函數f(x)在x0間斷，則可能有下列三種情況：,(1)f(x)在點x0沒有定義； (2) f(x)在點x0有定義， 但是極限 不存在； (3) f(x)在點x0處有定義，且極限 存在，但是 6. 由連續函數的定義及函數極限的運算法則，我們可以得到連續函數的下列運算性質：,如果函數f(x)、g(x)在某一點x=x0處連續，那么函數f(x) g(x)， f(x) g(x)， 在點x=x0處都