一元微積分學,大 學 數 學（一）,第一講 一元微積分的應用(一),腳本編寫：劉楚中,教案制作：劉楚中,函數的單調性、極值,第六章 一元微積分的應用,本章學習要求： 熟練掌握求函數的極值、最大最小值、判斷函數的單調性、判斷函數的凸凹性以及求函數拐點的方法。 能運用函數的單調性、凸凹性證明不等式。 掌握建立與導數和微分有關的數學模型的方法。能熟練求解相關變化率和最大、最小值的應用問題。 知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。 掌握建立與定積分有關的數學模型的方法。 熟練掌握“微分元素法”，能熟練運用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉曲面的側面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。 能利用定積分定義式計算一些極限。,第六章 一元微積分的應用,第一、二節 運用導數研究函數,一、導數的簡單應用,二、函數的單調性,三、函數極值,四、函數的最大值、最小值,五、函數的凹凸性,一、導數的簡單應用,解,解,解,解,在實際問題中，往往是同時出現幾個變量. 變量 之間有確定的關系，并且它們都是另外某一個變量的 函數( 例如，都是時間 t 的函數. ) 從它們對這另一個 變量的變化率之間的關系出發，由已知的一個或幾個 變量的變化率求出一個變量的未知的變化率，就是所 謂的相關變化率問題.,解,解,解,下面我們運用函數的導數(微分)來研究函數的有關 性質：單調性、凹凸性、極值等，并研究如何作出函數 的圖形.,由拉格朗日中值定理的推論我們已經知道:,二、函數的單調性,觀察下面的圖形, 你能得出什么結論？,綜上所述, 可知:,提供了判斷函數單調性的方法,解,三、函 數 的 極 值,函數的極值是個局部性的概念.,我們已經知道的與函數極值有關的定理和公式:,定理,費 馬 Pierre de Fermat (16011665),費馬，法國數學家. 出身于一個商人 家庭. 他的祖父、父親、叔父都從商. 他 的父親是當地的第二執政官, 經辦著一個 生意興隆的皮革商店. 費馬畢業于法國奧爾良大學，以律師 為職. 曾任圖盧茲議會會員, 享有長袍貴 族特權. 精通 6 種語言. 業余愛好數學并 在數論、幾何、概率論、微積分等領域內 作出了創造性的工作.,費馬大定理被稱為“會下金蛋的母雞” .,首先考察下列函數的圖形:,判別函數的極值點, 主要是判別極值可疑點左、右,對于可微函數將歸結于判別函數的導數的符號.,兩側函數的單調性.,(單調增加),(單調減少),(單調減少),(單調增加),定理,由定理中 (1) 的條件, 得,由定理中(2) 的條件, 得,看這一部分,此時應另找其他方法.,高階的泰勒展開式？,定理,列表討論單調性, 判別極值:,解,極小,極小,極大,解,解,首先看看函數的圖形.,由圖形可知:,不是函數的極值點.,問題在于如何進行解析描述.,我們再看一下泰勒公式：,就是說：,綜上所述,定理,在工程技術和生產實踐中, 常常需要考慮,在一定條件下, 怎樣才能使用料最少、費用最,省, 而效率和效益最高等問題. 這些問題反映,到數學上就是最優化問題.,優化技術應用價值很大,三、函 數 的 最大、最小值,怎樣求函數在一個區間上 的最大、最小值呢？,溫故而知新,最小值 , 只要先求出函數,一切極值可疑點 ( 駐點和一階導數不存在的,點), 然后比較極值可疑點的函數值及區間端,點函數值 , 其中最大者就是函數,最小者就是函數,求最值的幾個特殊情況,極大(小)值點 , 則該點就是函數的最大(小)值點 .,實際判斷原則,計算函數值:,( 端點值 ),解,沒有什么新的東西,設容積(體積)為 V , 半徑為 r , 高為 h .,用料最省即指容器的表面積 A 最小.,應用題,解,又 A 的最小值一定存在 ,故當要求的容器的容積為 A 時 , 選擇半徑,某出版社出版一種書, 印刷 x 冊所需,成本為,每冊售價 p 與,假設書可全部售出, 問應將價格 p 定為多,少才能使出版社獲利最大？,由經驗公式, 得,于是,得唯一極值可疑點,解,即為 Q 的最大點 .,從而應將價格 p 定為,此時最大獲利為,將一根直徑為 d 的圓木鋸成截面為矩形的梁.,問應如何選擇矩形截面的高 h 和寬 b才能使梁的抗,彎截面模量 W 最大？,由力學知識, 梁的抗彎截面模量為,由右圖可以看出：,解,問題歸結為求函數 W 的最大值：,由于梁的最大抗彎截面模量一定存在