第二講 數列的極限,數列的極限,一、數列極限的概念 二、收斂數列的性質,數列的極限,一、數列極限的概念 二、收斂數列的性質,一、數列極限的概念,(一) 引例 (二) 數列極限的定義,一、數列極限的概念,(一) 引例 (二) 數列極限的定義,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當n無限增大時,1/2n的變化趨勢為0,江澤民主席在哈佛大學的演講 江澤民文選第二卷第59頁,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當n無限增大時,1/2n的變化趨勢為0,極限：,變量的變化趨勢,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當n無限增大時,1/2n的變化趨勢為0,極限：,變量的變化趨勢,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當n無限增大時,1/2n的變化趨勢為0,極限：,變量的變化趨勢,極限 方法：,在考察變量的變化趨勢用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法.,精確值,精確值,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當n無限增大時,Sn的變化趨勢為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當n無限增大時,1/2n的變化趨勢為0,極限：,變量的變化趨勢,極限 方法：,在考察變量的變化趨勢用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法.,常量,常量,一、數列極限的概念,(一) 引例 (二) 數列極限的定義,一、數列極限的概念,(一) 引例 (二) 數列極限的定義,（二）數列極限的定義,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,定義：,表示：,(a) 數軸上的一系列點,(b) 平面上的一系列點,實質：,自變量為正整數的函數,（二）數列極限的定義,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,（二）數列極限的概念,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,（二）數列極限的概念,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,例：,增減性,依次遞減,依次增大,來回擺動,來回擺動,來回擺動,變化趨勢,1,1,1,無限大,無,變化趨勢為常數,數列極限的描述性定義,（二）數列極限的概念,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,（二）數列極限的概念,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,對于任意給定的正數，,都可以找到一項，,使得該項以后的所有項，,小于上述給定的正數,當n無限增大時，,無限接近于1,取,例,欲使,給定0，,欲使,取,數列極限的精確定義：,即：,正整數,1.關于,任意變小，,描述了 與 的無限接近程度.,相對固定，根據給定的找N,2.關于N,依賴于，有時可記作N（）.,不唯一.,注,例1,證明,例2,證明,例3,證明,注,1.記住重要結論,2.證明的關鍵：,依據找N（N可以不同）,3.找N的方法：,常用“適當放大”的方法,4.放大的技巧：,利用各種不等式,歌謠：,證明規律遵,執果索其因,依據找N,N能找到,結論斷言真,如何找N,適當放大身,若把技巧問,不等式來尋,關鍵要把準,（二）數列極限的概念,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,（二）數列極限的概念,1數列的概念 2數列極限的描述性定義 3數列極限的精確定義 4數列極限的意義,1幾何意義,2粗略說法,數列的極限,一、數列極限的概念 二、收斂數列的性質,數列的極限,一、數列極限的概念 二、收斂數列的性質,二、收斂數列的性質,（一）極限的唯一性,如果數列 收斂,那么它的極限唯一.,定理1,（二）收斂數列的有界性,數列有界的定義,定理2,注,(1),(2),二、收斂數列的性質,（三）收斂數列的保號性,定理3,推論,二、收斂數列的性質,（四）收斂數列與其子數列間的關系,在數列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列xn中的先后次序，這樣得到的一個數列稱為原數列xn的子數列（或子列）.,例如,注,子數列概念,第nk項,第k 項,二、收斂數列的性質,（四）收斂數列與其子數列間的關系,注,定理4,如果數列xn收斂于a，那么它任一子數列也收斂,且極限也是a.,如果數列xn有兩個子數列收