課件,第三章 線性系統的時域分析法,三性分析：穩定性 穩態特性 動態特性 控制系統的輸出： c(t)=ct(t)+ cs(t) ct(t) 動態分量（又叫暫態分量） cs(t) 穩態分量 動態響應（又叫瞬態響應）是指系統從初始狀態到 接近穩定狀態的響應。輸入只影響穩態分量。 系統分析的準確度取決于數學模型描述的真實程度。 動態響應對穩定系統才有意義。,3.1 系統時間響應的性能指標,控制系統性能評價分為動態性能和穩態性能。 3.1.1 典型輸入信號 控制系統是針對某一類輸入信號來設計的。根據系統常遇到的輸入信號形式，在數學上加以理想化的一些基本輸入函數。 單位階躍函數，單位斜坡函數，單位加速度函數，單位脈沖函數，正弦函數。 不同輸入信號對應的輸出響應是不同的，但對于線性控制系統，他們所表征的系統性能是一致的。,一階躍函數,二斜坡函數（勻速函數）,三拋物線函數（勻加速函數）,R=1時，稱為單位階躍函數，記為l(t) 。R(S)=1/S。,R=1時，稱為單位斜坡函數。,R=1/2時，稱為單位拋物線函數。,四脈沖函數,五正弦函數,當 時，則稱為單位脈沖函數。,3.1.2 動態過程與穩態過程,動態過程（過渡過程，瞬態過程 ）：系統在典型輸入信號作用下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的過程。,2 穩態過程（穩態響應 ）：系統在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮時，系統輸出量的表現形式。,3.1.3 動態性能與穩態性能,動態性能：通常在階躍函數作用下，測定計算系統的動態性能。,描述穩定的系統在單位階躍函數作用下，動態過程隨時間t的變化狀況指標，稱為動態性能指標。,二. 階躍響應的時域性能指標,c(t) = ct(t) + css(t) = 暫態響應 + 穩態響應,1. 暫態性能指標,圖30,(1) 延遲時間td：c(t)從0到0.5c()的時間。,(2)上升時間tr：c(t)第一次達到c()的時間。 無超調時, c(t)從0.1 c()到0.9 c()的時間。,(3) 峰值時間tp： c(t)到達第一個峰值的時間。,(4)調節時間ts： c(t)衰減到與穩態值之差不超過2%或5%所需的時間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號表示，即 =2%或 =5% 。,(5)最大超調量s%：c(t)偏離階躍曲線的最大值，常用百分數表示。,圖30,(6)震蕩次數N：在ts內,c(t)偏離c()的次數，一個峰谷算一個周期，即算震蕩一次。,2. 穩態性能指標 穩態誤差ess：穩定系統誤差的終值。即,系統響應典型輸入信號，若時間趨于無窮時，系統輸出量與輸入量間有差值，稱系統存在穩態誤差。穩態誤差是衡量系統控制精度的一種度量。,3.1.4理想系統的階躍響應,B,動態性能指標定義1,上升時間tr,調節時間 ts,動態性能指標定義2,0.95,3T,動態性能指標定義3,3.1.5 線性系統解的形式,一 線性系統時域方程一般形式,二 解的形式通解和特解,為常系數,1 通解齊次方程為：,解的形式為 的函數組合而成,（1）單根 （2）重根 2 特解 特解的形式與激勵函數形式有關系 3 總解 通解特解,3-2 一階系統的時域分析,一階系統：以一階微分方程作為運動方程的控制系統。,一單位階躍響應,標準形式 傳遞函數,解的一般形式,t0,穩態解,暫態解,一階系統的動態響應,一階系統響應的特點： （1） t=T時，輸出達到穩態值的 0.632 t= 0 時， 輸出為0 t=時，輸出達到穩態值1 t=T 時，輸出達到穩態值的.632 t=3T時，輸出達到穩態值的0.95 t=4T時，輸出達到穩態值的0.98 （2）t0時，響應曲線的切線斜率為1/T, 切線與穩態值的交 點處的t=T。t增加,c(t)斜率下降。,一階系統的動態響應,（3）過渡過程時間 ts=3T（95）， ts=4T（98） （4）延遲時間 td0.69T （5）上升時間 tr0.22T tr=2.3T-0.1T=2.2T （6）特征根S=1/T，T越小，動特性越好，穩態特性也越好。,一階系統的單位階躍響應曲線 這是指數曲線， 處斜率最大，其值為1/T，若保持此變化速度，在 t=T 時，輸出將達到穩態值。而實際系統只能達到穩態值的0.632, 經過3T或4T的時間系統輸出響應分加別達到穩態值的0.95或0.98。,當輸入信號為理想單位脈沖函數，系統的輸出稱為單位脈沖響應。,二單位脈沖響應,三單位斜坡響應,跟蹤誤差為T。,四單位拋物線響應,五結果分析,輸入信號的關系為：,而時間響應間的關系為：,一階系統時域分析,單 位 脈 沖 響 應,單位階躍響應,h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(2T)=0.865h(),h(3T)=0.95h(),h(4T)=0.982h(),單位斜坡響應,c(t)=t-T+Te-t/T,T,r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t,3 二階系統的時域分析,二階系統的定義：用二階微分方程描述的系統。,微分方程的標準形式：,阻尼比，,無阻尼自振頻率。,傳遞函數及方框圖,等效的開環傳函及方框圖,一單位階躍響應,1.閉環極點的分布,二階系統的特征方程為,兩根為,位于平面的左半部,的取值不同,特征根不同。,（1） （欠阻尼）有一對共軛復根,（5） 負阻尼 ， 位于右半平面,（2） （臨界阻尼）， ，兩相等實根,（3） （過阻尼）， ，兩不等實根,（4） （無阻尼）， ，一對純虛根,欠阻尼二階系統根在復平面的位置,- zwn,wd,wn,b,b = cos -1 z,2.二階系統的單位階躍響應,圖3-16,z 為不同值時,單位階躍響應曲線見,一般 在0.40.8間響應曲線較好,z1,z1,0z1,z0,不同z時,特征根的分布,結論：,正阻尼（穩定狀態）,過阻尼（非振蕩系統）,臨界阻尼,欠阻尼（振蕩系統）,1,無阻尼（臨界穩定）,負阻尼（不穩定狀態）,2 二階系統的解，隨著 的不同，在S平面上有不同解。,3,正阻尼，穩定，根在左半平面,無阻尼，臨界穩定，根在虛軸上,負阻尼，不穩定，根在右半平面,過阻尼,臨界阻尼,欠阻尼,零阻尼,運動模態總結,3,解與系統的結構有關系,4,當解s位于左半平面，穩定系統,當解s位于右半平面，不穩定系統,當解s是純虛數解，臨界穩定,總結：,二. 二階欠阻尼系統的性能指標,1. 定義,超調量 :,上升時間 :,峰值時間 ：單位階躍響應達到第一個峰值所需時間。,振蕩次數 ：在調整時間內響應過程穿越其穩態值 次數的一半定義為振蕩次數。,調整時間：單位階躍響應進入到使下式成立所需時間。,，一般取,單位階躍響應第一次達到其穩態值所需時間。,2. 性能指標的計算,(1)上升時間,（2）峰值時間,（3）超調量,（4）調節時間,一般取,（5） 延遲時間,延遲時間和調節時間很難定量描述，采用工程上的近似計算,（6） 振蕩次數N,三計算舉例,【例】設控制系統方框圖如圖3-18所示。當有一單位階躍信號作用于系統時，試求系統的暫態性能指標tr、tp、ts、N和%,解: 閉環傳遞函數為,振蕩次數 ：,性能指標,四二階系統的脈沖響應,（1）無阻尼 脈沖響應,（2）欠阻尼 脈沖響應,（3）臨界阻尼 脈沖響應,（4）過阻尼 脈沖響應,脈沖響應與階躍響應的關系,五具有閉環零點的二階系統的單位階躍響應,二階系統的閉環傳函具有如下標準形式,當 時，對欠阻尼情況,對應的性能指標為,附加極點對系統的影響,零點對過阻尼二階系統的影響,%=33%,說明： 1.閉環負實零點的主要作用在于加速二階系統的響應過程(起始段)； 2.削弱系統阻尼，超調量大； 3.合理的取值范圍為 。,零狀態響應,六 初始條件不為零的二階系統的響應過程,當初始條件不為零時，求拉氏變換得,可見， 具有相同的衰減振蕩特性,一 概念： 通常把三階以上的系統就稱為高階系統 。一般近似為一個二階系統來處理。 設 控制系統的閉環傳遞函數為 階躍響應,4 高階系統的時域分析,高階系統階躍響應曲線 1. 響應曲線的類型（振蕩情況）由閉環極點的性質所決定。 2. 動態響應曲線的形狀由閉環系統的零、極點共同決定。 3.閉環極點離虛軸愈近，其對系統的影響愈大。 主導極點：這種離虛軸最近的閉環極點將對系統的動態響 應起主導作用，并稱其為閉環。 偶 極 子： 同一位置或相距很近的閉環零、極點 ，對系統 的影響很小。,二閉環主導極點的概念,高階系統的時域分析,在高階系統的諸多閉環極點中，把無閉環零點靠近，且其它閉環極點與虛軸的距離都在該復數極點與虛軸距離的五倍以上，則稱其為閉環主導極點。,三高階系統單位階躍響應的近似分析,由此可見高階系統的暫態響應是一階和二階系統。 暫態響應分量的合成則有如下結論：,（1）各分量衰減的快慢由指數衰減系數 及 決定。系統的極點在S平面左半部距虛軸愈遠，相應的暫態分量衰減愈快。,（2）系數 和 不僅與S平面中的極點位置有關，并且與零點有關。 a.零極點相互靠近，且離虛軸較遠， 越小，對 影響越小； b.零極點很靠近，對 幾乎沒影響； c.零極點重合（偶極子）， 對 無任何影響； d.極點 附近無零極點，且靠近虛軸，則對 影響大。,（3）若 時，則高階系統近似成二階系統分析。,偶極子,例：三階系統的閉環傳遞函數 系統閉環極點： P1 、P2 的實部和實極點P3 的實部之比： 所以P1 、P2為一對主導極點。系統單位階躍響應： 如果忽略P3 對應的動態分量，兩該系統的解相近：,5 線性系統的穩定性與穩定判據,一穩定的概念與定義,定義：若線性系統在初始擾動的影響下，其過渡過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統為漸近穩定，簡稱穩定；反之若在初始擾動影響下，系統的過渡過程隨時間推移而發散，則稱其不穩定。,二線性系統穩定的充要條件（分析方法1）,穩定性是系統自身的固有特性，與外界輸入信號無關。,線性系統穩定的充要條件： 閉環特征根均為負實部,即Resi0 (i=1,2 n) 其特征根全部位于S平面的左半部。,ReSi 表示極點的實部,2穩定的充要條件 （分析方法1） 穩定性定義表明，線性系統的穩定性僅取決于系統自身的固有特性，而與外界條件無關。 設初始條件為零時，輸入 即R（S）=1。 當作用時間t0時， =0，這相當于系統在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。 此時，系統的脈沖響應 即輸出增量收斂于原平衡工作點，則系統是穩定的。,控制系統的穩定性分析,設閉環系統的傳遞函數： 設 為系統特征方程 的根，且互不相等。 系統輸出： 對上式拉氏反變換，得到理想脈沖函數作用下的輸出： 上式表明，線性系統穩定的充要條件是：閉環系統特征方程的 所有根均具有負實部；或者說，閉環傳遞函數的極點均分布在 平面的左半部。,三穩定判據 1. Routh穩定判據 系統的特征方程為：,必要條件 （1）特征方程的各項系數ai(i=1,2,n)都不為零； （2）特征方程的各項系數ai(i=1,2,n)具有相同 的符號。,充分條件：勞斯表中第一列所有元素的計算值均大于零 即勞斯陣列第一列所有元素為正。,勞斯陣列,若系統的特征方程為：,則勞斯表中各項系數如下圖：,勞 斯 表,勞斯判據,閉環特征根均為負實部,即Resi0 (i=1,2 n),(1)系統穩定的充要條件是勞斯表中第一列元素均為正。 (2)若第一列元素有符號變化，則符號改變的次數等于正實部根的個數。,勞斯判據：,勞斯表的組成： 最左邊的一列：按S的n次的從高到低從上向下依次排列。 最上邊的兩行：由S的系數的奇/偶位置排列組成。 左上角= S的最高蓂n的系數。,關于勞斯判據的幾點說明,如果第一列中出現一個小于零的值，系統就不穩定； 如果第一列中有等于零的值，說明系統處于臨界穩定狀態； 第一列中數據符號改變的次數等于系統特征方程正實部根的數目，即系統中不穩定根的個數。,解：,例：將特征方程系數列成勞斯表，判別正實根的個數。,結論：系統不穩定；系統特征方程有兩個正實部的根。,2.Routh判據的特殊情況,a. 某行第一個元素為零，其余均不為零。,方法一:,處理方法：用(0且0)代替0繼續計算。,【例3-7】已知 D(s)= s4 + 2s3 + s2 + 2s+1=0, 用勞斯判據判別系統的穩定性。,結論：有兩個正實部根, 系統不穩定。,1 1 1,2 2 0,2-2/e 0 0,1 0 0,勞 斯 表,1,0,0,第一列元素變號兩次,2-2/e 0,例,設系統的特征方程為：,試用勞斯判據確定正實部根的個數。,方法2：,解：,將特征方程系數列成勞斯表,由表可見，第二行中的第一列項為零，所以第三行的第一列項出現無窮大。為避免這種情況，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可為任意正數，這里取a=1。,于是得到新的特征方程為：,將特征方程系數列成勞斯表：,結論：第一列有兩次符號變化，故方程有兩個正實部根。,b. 勞斯表某行全為零,說明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。,處理方法: 用全零行上一行的系數構成輔助方程； 將輔助方程對s求導數，得一新方程； 用新方程的系數代替全零行，按新表判穩定。,結論: 不穩定; 有與原點對稱的根； 若第一列元素均為正,一定有虛根; 若第一列元素有負數，則符號改變次數等于實 根個數。,(2)勞斯表中出現全零行,3.Routh判據的應用,4. Hurwitz判據,設系統的特征方程為：,則系統穩定的充要條件是由特征方程的系數ai(i=1,2,n) 構成的主行列式及其主對角線上的各階主子式均為正，即,赫爾維茨判據,Hurwitz判據: 系統穩定的充要條件是 各階主子行列式均為正。,3-6 線性系統的穩態誤差及計算,控制系統的穩態誤差是系統控制準確度的一種度量，統稱為穩態性能。穩態誤差使不可避免的 影響穩態誤差的主要因素：系統的結構，輸入作用函數的形式，系統的類型三個因素。 只有當系統穩定時，研究穩態誤差才有意義。 無差系統和有差系統（階躍函數作用下定義）,1.誤差的定義,一誤差與穩態誤差,本節討論線性控制系統由于系統結構，輸入形式和類型所產生的穩態誤差及計算。其中包括系統類型與穩態誤差的關系。控制系統設計的主要任務之一就是盡力減少控制系統的穩態誤差。,系統的誤差e(t)常定義為：e(t)=期望值實際值,誤差: (1) e(t)=r(t)-c(t) (2) e(t)=r(t)-b(t),輸出量為：,根據系統的結構圖，當輸入信號R(s)與主反饋信號B(s)不等時，比較裝置輸出,通常：E(s)為誤差信號，簡稱誤差，是時間的函數。,2 誤差的計算 1）系統誤差傳遞函數為：,系統誤差傳遞函數證明：,因為： E(S)=R(S) - E(S) G1(S) G2(S) H(S) 得： R(S)=E(S) 1+ G1(S) G2(S) H(S) 故： e(S)=E(S)/R(S),系統誤差為：,說明：,1）誤差是從系統輸出端來定義的，它是輸出的希望值與實際值之差，這種方法定義的誤差在性能指標提法中經常使用，但在實際系統中有時無法測量，因而一般只具有數學意義。,2）偏差是從系統的輸入端來定義的，它是系統輸入信號與主反饋信號之差，這種方法定義的誤差，在實際系統中是可以測量的，因而具有一定的物理意義。,3）對單位反饋系統而言，誤差與偏差是一致的。,穩態誤差：反饋系統誤差信號e(t)的穩態分量，記作ess(t)。,動態誤差：反饋系統誤差信號e(t)的暫態分量，記作ets(t)。,控制系統的穩態誤差定義為誤差信號 的穩態分量,簡記為,穩態誤差定義：穩定系統誤差的終值稱為穩態系統。當時間t趨于無窮時，e(t)極限存在，則穩態誤差為,2) 利用終值定理計算,應用終值定理的條件是sE(s)在s右半平面及虛 軸上解析，或者說sE(s)的極點位于左半平面（包括坐標原點）。,即：,（系統按穩態誤差劃分的型）,設開環傳遞函數為,二系統型別,誤差分析,1 誤差定義,輸入端定義：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),輸出端定義：,E(s)=R(s)-C(s),En(s)=C希-C實= Cn(s),2 例題,求圖示系統的穩態誤差ess 。,其中 r(t)=t, n(t)= -1(t),解：,令n(t)=0,因為系統穩定，所以,令r(t)=0,En(s)= -Cn(s),總誤差ess=essr+ essn,G0H0,此時的k為開環增益 tj和ti是時間常數,s表示開環有個極點在坐標原點的極點的重數，分類方法：以的個數來劃分,=0,稱為0型系統,稱為型系統,稱為型系統,稱為型系統,=1,=2,=3,優點：1可以根據已知的輸入信號形式，迅速判 斷是否存在穩態誤差及穩態誤差的大小。,2系統階數m,n的大小與系統型別無關，且不影響穩態誤差的數值。,系統穩態誤差計算式可以化為,影響穩態誤差的因素有系統型別，開環增益，輸入信號的形式和幅值,三種典型輸入下的穩態誤差與靜態誤差系數：,R(s)=R/s,1.r(t)=R1(t),2.r(t)=Rt,R(s)=R/s2,3.r(t)=Rt2/2,R(s)=R/s3,三 階躍輸入作用下的穩態誤差與靜態位置誤差系數,結論: 0型系統在階躍輸入作用下有誤差,常稱有差系統。,四 速度輸入作用下的穩態誤差與靜態速度誤差系數,易知,結論:0型系統不能跟蹤斜坡輸入；1型可跟蹤，但有與K有關的誤差 ；2型及以上在斜坡輸入下的 ess=0 。,五 加速度輸入作用下的穩態誤差與靜態速度誤差系數,易知,從靜態誤差系數的定義可以知道：一個穩定的線性定常系統只能有一個不等于零的靜態誤差系數，其余的靜態誤差系數不是等于零就是等于無窮大。,結論: 0型和1型系統不能跟蹤拋物線輸入, 2型可跟蹤但有誤差, 3型及以上系統才能準確跟蹤。,取不同的,r(t)=R1(t),r(t)=Rt,r(t)=Rt2/2,型,0型,型,R1(t),Rt,0,0,0,Rt2/2,R1(t),Rt,Rt2/2,k,k,k,0,0,0,小結：,1,2,3,Kp=?,Kv=?,Ka=?,非單位反饋怎么辦？,靜態誤差系數,穩態誤差,討論：1 靜態誤差系數kp,kv和ka,定量描述了系統跟蹤不同輸入形式信號的能力。當系統輸入信號的形式，輸出量的期望值及允許的穩態誤差確定以后，可以根據靜態誤差系數去選擇系統的類型和開環增益。 2 系統的輸入信號是多種典型函數的組合，則根據疊加定理，將每一輸入分量單獨作用于系統，在將各穩態誤差分量疊加求得。 3 靜態誤差系數法分析適用于1(t),t和t2/2以及它們的組合。,動態誤差系數（廣義誤差系數）,可以研究輸入信號幾乎為任意時間函數時的系統穩定誤差變化。,將誤差傳遞函數,在,的鄰域內的泰勒級數為 :,誤差信號可表示為：,即：,動態誤差系數的計算,誤差傳遞函數為,這是一個無窮級數，它的收斂域是 s = 0 鄰域，這相當于在時間域內 時成立的誤差級數。因此在所有初始條件為零的條件下，對上式進行拉氏變換，就得到穩態誤差表達:,將 在 s = 0 的鄰域內展開成Taylor級數，有,1.一般方法,。P113 公式（3-85）,同理可得,則穩態誤差可以寫成,這里ci， cfi稱為誤差系數。,i = 0，1，2，,式中： C i = 1/ i ! e( i ) (0) ( i =0,1,2,),C i 稱謂動態誤差系數 C 0 稱謂動態位置誤差系數 C 1 稱謂動態速度誤差系數 C 2 稱謂動態加速度誤差系數 “動態” 完整描述系統穩態誤差隨時間t 變化的規，而不是誤差信號中的暫態隨時間 t 變化的規律。 誤差級數在 時，才能成立。因此，如果輸入信號r(t)包含有隨時間增長而趨于零的分量，這一分量不應包含在級數中的輸入信號及其各階導數之內。,動態穩態誤差系數和靜態穩態誤差系數之間的關系： 0 類型 C0 =1 / (1+Kp) 1 類型 C1 =1 / Kv 2 類型 C2 =1 / Ka 注意：誤差系統分析中，只有輸入信號是階躍函數，斜坡函數和加速度函數，或者是三者的組合，靜態誤差才有意義。當系統輸入信號為其他形式的函數時，靜態誤差系數法便無法使用。此外，系統的穩態誤差一般是時間的函數，即使靜態誤差系數法可用，也不能表示穩態誤差隨時間變化的規律。對有些有效工作時間不長的控制系統（如導彈控制系統，輸出量往往在沒有達到要求的穩態值時，便結束工作。）無法使用靜態誤差系數分析法，需要引入動態誤差系數的概念。,2.系統階次較高時（這里介紹一種簡便算法）,（1）將已知的開環傳函按升冪排列成如下形式,（2）寫出多項式比值形式的誤差傳遞函數,（3）對上式用長除法得到一個s的上冥級數：,（4）求E(s),次式和P113 公式（3-85）比較可知：他們是等價的無窮級數。,最后的表達式稱為穩態誤差級數，表示在t 足夠大時，系統誤差與時間的關系。 稱為動態誤差系數。動態誤差系數采用長除法(或多項式除法)計算，參見例3-15。,輸入信號 ，計算該隨動系統的穩態誤差。,作業： 已知隨動系統的方框圖為:,例 315 單位反饋控制系統的開環傳遞函數： 輸入函數r(t)=sin5t,求系統的穩態誤差ess(t). 解：因輸入為正弦函數，無法使用靜態誤差系數法。 故：動態誤差系數為：C0=0, C1=10-2 C2=9X10-4 ,C3= -1.9X10-5 ,對