談向量教學與學生能力的培養江蘇省宜興職業教育中心校 湯朝亞在現實世界中存在著許許多多既有大小又有方向的量，如位移、速度、力和動量等，這些量必須用一種數學方法來表示，也就是向量。向量在數學、物理學以及許多生產實踐中有著廣泛的應用。通過向量的學習，將使學生對量的數學表達的認識進入一個新的領域，同時學生對平面幾何乃至立體幾何的定理及有關性質的推導和證明，對解析幾何有關問題的理解及應用，三角函數公式及其性質的來源、證明和運用等又達到了“質”的飛躍。20世紀初，人們利用空間的性質與向量運算的聯系，使學生進一步領會數形結合和分類討論等數學方法，進而成為一種優良的數學體系通過向量的實際應用培養學生空間想象力，思維能力，把實際問題轉化為數學模型的能力。本文結合實際，談談筆者在新教材的教學過程中，對此的理解和應用。一、 培養學生觀察能力及建立數學模型的能力。觀察能力是學生獲得數學知識的必要條件，只有培養學生敏銳細致的觀察能力才能使他們及時發現問題，只有發現問題才能產生疑惑，才能提出問題，只有提出問題才能激發釋疑的欲望，促使尋找分析與解決問題的決心和毅力。愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”。善于觀察的人可以將常人熟視無睹的問題提出來，并加以研究解決。例如牛頓的“萬有引力定律”是受觀察蘋果落地啟發的。在平面幾何中常用的定理在初中教學過程中都以“默認”的形式存在，學生是知其然而不知其所以然，因而數學意識并不強烈，讓很多有意義的問題擦肩而過。在引入向量的知識后，因為“向量”具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，它可作為聯系代數與幾何的紐帶，是中學數學知識的一個交匯點，以前學過的平面幾何、三角函數等知識均能得到較充分的應用，可借助它解決部分定理的證明。因此在教學中我有意識在這里充分發揮，設計了一批例題，并加以實施，以其達到培養學生觀察、分析、解決問題的能力，乃至提高建立數學模型的能力。（1）、運用向量方法解決平面幾何問題，向量方法是借助向量的幾何意義，把問題轉化為向量的計算，通過向量計算達到求解目的。用向量方法解決幾何問題，一方面體現向量的應用性，另一方面能在應用中達到對向量知識的理解與掌握。為此，我選擇學生在初三熟知的一個定理，用通過向量的運算及其幾何意義來解決：例1、 求證：直徑所對的圓周角為直角。由于本例只須通過向量的運算便可得出結論，使學生得到很大的啟發，既鞏固了向量運算的方法，又明白了向量對于解決數學問題的作用。因嘗到了甜頭而提高了學習的興趣。（2）運用向量運算解決平面幾何中較難解決的證明題，進一步提高學生運用向量解決問題的潛意識。為此，我設計了另一個問題進行說教：例2、 用向量證明三角形的三條中線共點。分析：本題的意圖是為了提高學生用向量證明平面幾何命題的能力，在教學時啟發學生，要證明三線共點，可轉化為先證明三線中兩線分別共點于G1，G2，然后再證明點G1與點G2重合。這樣便可達到證明三線共點的目的。如圖2所示，可設AD與BE相交于點G1，AD與CF相交于點G2，然后證明G1與G2點重合。例3、 求證ABC的三條高相交于一點。證法1、設ABC的AB、AC邊高分別為CF、BE，它們交于點H，連接AH（如圖3）二、 培養學生歸納和類比推理的能力。1、 數學教學是數學活動的教學，因此，不要僅僅呈現數學的結論，也要關注知識產生的過程。數學知識產生的其中一種是歸納和類比的推理，因此在教學中，我注意啟發學生運用歸納或類比推理的方法，從特殊前提想象猜測出一般結論，其中歸納想象是從個別的有限的事物推廣到一般的無限的事物。類比想象是從個別事情聯想到類似事情的認識，在數學中常用這種歸納、類比的方法來獲得猜想結果。例4、“正弦定理”的證明。該內容既是重點又是難點。因此我利用教材先從直角三角形（因為初三已有銳角三角函數的基礎）的特殊情況推導出正弦定理的結論，具體的步驟是：利用向量知識證明正弦定理。下面我再將在銳角三角形的正弦定理證明的教學過程再闡述一下：怎樣引導學生運用向量的數量積與三角形的邊長與三角函數聯系起來呢？三、 培養學生運用向量尋找解決某些幾何問題方法的能力 當然，向量的應用不僅僅局限于平面圖形中的應用，在立體幾何中也有廣泛的應用。在有些立體幾何題目中，用向量來解決問題可以起到事半功倍的效果。例5：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為BC,A1D1的中點，求棱AD與平面B1EDF夾角的余弦.解：設正方體棱長為a,如圖建立空間直角坐標系，則各點的坐標分別為A(a,0,a),B(a,a,a),C(0,a,a),D(0,0,a),A1(a,0,0),D1(0,0,0)。由中點公式，可求得E()，F（），設平面的法向量，則必有，即，令，得，即.設AD于平面的夾