數學備課大師 目錄式免費主題備課平臺！圓的方程專項復習一、內容黃金組 1.掌握圓的標準方程的特點，能根據所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程，能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實際問題，并會推導圓的標準方程2.掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程二、要點大揭秘 1. 圓的標準方程平面內與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓。定點是圓心，定長是半徑。如果圓心坐標為(a,b)，半徑等于r,根據兩點間距離公式可得圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2。如果圓心恰好為原點時，方程為x2+y2=r2。由圓心坐標(a,b)及半徑r的值，可以直接寫出圓的標準方程。由圓的標準方程也可直接讀出圓心坐標和半徑r的大小。2. 圓的一般式方程任何一個圓的方程都可以寫成下面形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圓方程。(1) 當D2+E2-4F0時，方程表示圓，稱為圓的一般式方程，其圓心，半徑。(2) 當D2+E2-4F=0時，方程僅表示一個點；(3) 當D2+E2-4F0時，方程沒有實數解，方程不表示任何圖形。3. 參數方程的概念在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數，即且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，則此方程組就叫這條曲線的參數方程，聯系x,y之間關系的變數叫做參數。相對于參數方程而言，直接給出曲線上點的坐標關系的方程叫做曲線的普通方程。4. 圓的參數方程若圓心坐標為C(a,b)，半徑為r，則稱為圓的參數方程。其中是以x軸正方向為始邊方向，方向為終邊方向的角。C是圓心，P是圓上與對應的點。5. 點與圓的位置關系設圓C(x-a)2+(y-b)2=r2，點M(x0，y0)到圓心的距離為d，則有：(1)dr 點M在圓外；(2)d=r 點M在圓上；(3)dr 點M在圓內6. 相交兩圓的公共弦所在直線方程：設圓C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若兩圓相交，則過兩圓交點的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0三、好題解給你(1) 預習題例1. 寫出下列各圓的方程： (1)圓心在原點，半徑是3；解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5； 評注：要求能夠用圓心坐標、半徑長熟練地寫出圓的標準方程例2求下列圓的半徑和圓心坐標：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2) x2+y2+2by=0解：(1)圓心為(4，-3)，半徑為5；(2)圓心為(0，-b)，半徑為|b|，注意半徑不為b例3. 求下列各圓的一般方程：(1)過點A(5，1)，圓心在點C(8，-3)；(3) 過三點A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)解：(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=0例4. 已知圓的方程是x2+y2=1，求：(1)斜率為1的切線方程；解：(4) 基礎題例1(1)已知兩點P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上，在圓內，還是在圓外？解(1)：分析一：從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數解決解法一：設圓心C(a，b)、半徑r，則由C為P1P2的中點得：又由兩點間的距離公式得：所求圓的方程為：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：從圖形上動點P性質考慮，用求曲線方程的一般方法解決解法二：直徑上的四周角是直角，對于圓上任一點P(x，y)，有PP1PP2化簡得：x2+y2-10x-12y+51=0即(x-5)2+(y-6)2=10為所求圓的方程解(2)：分別計算點到圓心的距離：因此，點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內例2求過三點O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程解：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圓上，則有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0例3. 的方程解：因為圓的切線垂直于過切點的半徑，(5) 應用題例1. 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓C1x2+y2-2x+10y-24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程(0，2)設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，因為兩點在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10例2求以圓C1：x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程。解 由題：兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線的方程4x+3y-2=0，過兩圓交點的圓系方程可設為x2+y2-12x-2y-13+( x2+y2+12x+16y-25)=0，即(1+)x2+(1+)y2-12(1-)x-2(1-8)y-13-25=0，配方得圓心坐標，公共弦是直徑，則圓心在公共弦上4+3-2=0，=。以公共弦為直徑的圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0。評注 兩相交圓的公共弦所在直線方程，可以將兩個圓方程作差，消去x,y的平方項求得。因為交點坐標是兩圓方程的公共解，滿足兩方程的差方程，差方程因消去x,y的平方項后變為關于x,y的二元一次方程，是一條直線的方程，這直線經過兩圓的交點，即為公共弦方程。同理可知，無論為何值，方程x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0表示的曲線經過兩圓x2+y2-12x-2y-13=0與x2+y2+12x+16y-25=0的公共點。本題也可先求出兩圓的交點后，再求所求圓的圓心及半徑后得出方程。例3 和切點坐標分析：求已知圓的切線問題，基本思路一般有兩個方面：(1)從代數特征分析；(2)從幾何特征分析一般來說，從幾何特征分析計算量要小些 圓心O(0，0)到切線的距離為4，把這兩個切線方程寫成注意到過圓x2+y2=r2上的一點P(x0，y0)的切線的方程為x0x+y0y=r2，(6) 提高題例1 未經過原點，且過圓x2+y2+8x-6y+21=0和直線x-y+5=0的兩個交點的圓的方程解法一：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三點在圓上，解法二：設過交點的圓系方程為：x2+y2+8x-6y+21+(x-y+5)=0例2已知正三角形ABC的頂點A(5,-6)，B(-1,2)，求ABC的外接圓的方程。解 由題。設C(x,y)，則由得 解之得或即頂點C有兩種可能C(,)或C(,)。正三角形的重心就是外接圓圓心，則圓心(a,b)為即，或即。外接圓半徑。圓方程為，或。評注 正三角形的重心、內心、外心合一，本題先求出C的坐標，再求重心，即求出圓心，而正三角形外接圓半徑是邊長的倍，由AB的長度即得圓半徑。然后寫出圓的標準方程即可。本題也可以用軌跡法求解；設外接圓上動點P，則APB或者等于60或者等于120，通過AP，BP的斜率與夾角(到角)公式求圓的方程。例3A、B、C為已知直線上的三個定點，動點P不在此直線上，且使APB=BPC，求動點P的軌跡解：以B為原點，直線ABC為x軸建立直角坐標系，令A(-a，0)，C(c，0)(a0，c0)，P(x，y)，由到角公式，整理可得方程為：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0當a=c時，則得x=0(y0)，即y軸去掉原點；當ac時，則得(x-與x軸的兩個交點四、課后演武場1求下列條件所決定的圓的方程：(1)圓心為 C(3，-5)，并且與直線x-7y+2=0相切；(2)過點A(3，2)，圓心在直線y=2x上，且與直線y=2x+5相切2已知：一個圓的直徑端點是A(x1，y1)、B(x2，y2)證明：圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=03一個等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點的坐標是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圓的方程4趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓的方程5求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程6等腰三角形的頂點是A(4，2)，底邊一個端點是B(3，5)，求另一個端點的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么答案及提示：1(1)(x-3)2+(y+5)2= 322因為直徑的端點為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則圓心和半徑分別為所以圓的方程為化簡得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04如圖建立坐標系，得拱圓的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2y0)5x2+y2-x+7y-32=06所求的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+10=0(x3，x5)，軌跡是以【典型例題】例1 求圓心在軸上，且過點A（1，4），B（2，）的圓的方程。解：方法一：設方法二：設方法三：設方法四：，又 CM：設C（，0）在CM上例2 求過直線與已知圓的交點，且在兩坐標軸上的四個截距之和為8的圓的方程。解：設令令，同理：例3 已知圓滿足：截軸所得弦長為；被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為；圓心到直線：的距離為的圓的方程。解：設當時，當時，由、得：又到的或或或或例4（1）已知：，求過點（1，）的切線方程（2）已知：，求過點P（3，1）圓的切線方程。解：（1）（2）當斜率存在時，設：斜率不存在時，即注：（1）C：，P（，），則過點P圓的切線方程為：（2）C：過圓上一點P（，）與圓相切的直線方程為：（3）C：（），P（，）過P圓的切線方程：例5 已知P（5，0）和圓，過P作直線與圓相交于A、B，求弦AB中點的軌跡方程。解：方法一：設AB中點M（），則A（），B（）：， M：，代入中，（）方法二：設A（，）B（，）且（在已知圓內部分）方法三：點M在以OP為直徑的圓上注：以A（）B（）為直徑的圓的方程是：例6 設P（）是圓外的一點，過P作圓的切線，試求過兩切點的切點弦所在的直線方程。解：以OP為直徑的圓：又：為所求直線方程例7 求與軸相切并與圓相外切的動圓的圓心的軌跡方程。解：設圓心為（）當時，例8 已知中，A（），B（0，2），C（）（是變量），求面積的最大值。點的坐標為（）則即是以為圓心，以1為半徑的圓 A，B（）且AB的方程為即則圓心（）到直線AB的距離為 C到AB的最大距離為 的最大值是 【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一. 選擇：1. 點P（）在圓的內部，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 2. 點M（）是圓（）內不為圓心的一點，則直線與該圓的位置關系是（）A. 相切B. 相交 C. 相離D. 相切或相交3. 點P（）與圓的位置關系是（）A. 在圓外B. 在圓內 C. 在圓上D. 不確定4. 直線（）截圓所得弦長等于4，則以、為邊長的三角形一定是（）A. 直角三角形B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形D. 不存在5. 圓上到直線的距離為的點共有（）A. 1個 B. 2個C. 3個 D. 4個6. 圓過點（）的最大弦長為，最小弦長為，則等于（）A. B. C. D.解：設C 7. 已知點P（）在圓上，則、的取值范圍是（）A. B. C. D. 以上都不對8. 兩圓與的位置關系是（）A. 內切B. 外切C. 相離D. 內含二. 填空：1. 圓關于直線對稱的方程是。2. 圓上的點到直線的距離的最大值是。3. 已知點P是圓上的一個動點，點A是軸上的定點，坐標為（12，0），當P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡方程是。4. 已知A（1，1），C：一束光線從A出發經軸反射到C上的最短距離是。三. 解答題：1. 求與軸切于點（5，0）并在軸上截取弦長為10的圓的方程。2. 已知圓C與圓C1：相外切，并且與直線：相切于點P（3，），求此圓C的方程。3. 已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（，0）（）距離之比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀。4. 已知對于圓上任意一點P（），不等式恒成立，求實數的取值范圍。【試題答案】一.1. D2. C3. A4. A5. C6. A7. C8.