多邊形與平行四邊形一、 選擇題1. (2016浙江省紹興市4分）小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應該是（）A， B， C， D，【考點】平行四邊形的判定【分析】確定有關平行四邊形，關鍵是確定平行四邊形的四個頂點，由此即可解決問題【解答】解：只有兩塊角的兩邊互相平行，角的兩邊的延長線的交點就是平行四邊形的頂點，帶兩塊碎玻璃，就可以確定平行四邊形的大小故選D2（2016貴州畢節3分）下列語句正確的是（）A對角線互相垂直的四邊形是菱形B有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等C矩形的對角線相等D平行四邊形是軸對稱圖形【考點】矩形的性質；全等三角形的判定；菱形的判定；軸對稱圖形【分析】由菱形的判定方法得出選項A錯誤；由全等三角形的判定方法得出選項B錯誤；由矩形的性質得出選項C正確；由平行四邊形的性質得出選項D錯誤；即可得出結論【解答】解：對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，選項A錯誤；有兩邊及一角對應相等的兩個三角形不一定全等，選項B錯誤；矩形的對角線相等，選項C正確；平行四邊形是中心對稱圖形，不一定是軸對稱圖形，選項D錯誤；故選：C3. （2016遼寧丹東3分）如圖，在ABCD中，BF平分ABC，交AD于點F，CE平分BCD，交AD于點E，AB=6，EF=2，則BC長為（）A8B10C12D14【考點】平行四邊形的性質【分析】由平行四邊形的性質和角平分線得出ABF=AFB，得出AF=AB=6，同理可證DE=DC=6，再由EF的長，即可求出BC的長【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DC=AB=6，AD=BC，AFB=FBC，BF平分ABC，ABF=FBC，則ABF=AFB，AF=AB=6，同理可證：DE=DC=6，EF=AF+DEAD=2，即6+6AD=2，解得：AD=10；故選：B4. （2016四川瀘州）如圖，ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD=16，CD=6，則ABO的周長是（）A10 B14 C20 D22【考點】平行四邊形的性質【分析】直接利用平行四邊形的性質得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的長，進而得出答案【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，AC+BD=16，AO+BO=8，ABO的周長是：14故選：B二、 填空題1（2016河南）如圖，在ABCD中，BEAB交對角線AC于點E，若1=20，則2的度數為110【考點】平行四邊形的性質【分析】首先由在ABCD中，1=20，求得BAE的度數，然后由BEAB，利用三角形外角的性質，求得2的度數【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，BAE=1=20，BEAB，ABE=90，2=BAE+ABE=110故答案為：110【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及三角形外角的性質注意平行四邊形的對邊互相平行2. （2016陜西3分）請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分A一個多邊形的一個外角為45，則這個正多邊形的邊數是8B運用科學計算器計算：3sin735211.9（結果精確到0.1）【考點】計算器三角函數；近似數和有效數字；計算器數的開方；多邊形內角與外角【分析】（1）根據多邊形內角和為360進行計算即可；（2）先分別求得3和sin7352的近似值，再相乘求得計算結果【解答】解：（1）正多邊形的外角和為360這個正多邊形的邊數為：36045=8（2）3sin735212.3690.96111.9故答案為：8，11.93.（2016山東省東營市3分）如圖，在RtABC中，B90，AB4，BCAB，點D在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是_【知識點】直線射線和線段垂線段最短、圖形的相似平行線分線段成比例定理、平行四邊形平行四邊形的性質、【答案】4.【解析】根據“垂線段最短”，可知：當ODBC時，OD最短，DE的值最小.當ODBC時，ODAB.1.OD是ABC的中位線.ODAB2.DE的最小值2OD4.【點撥】將求DE的最小值轉化為求DO的最小值，DO的最小值就是點D到BC的距離，由此可解.4.（2016青海西寧2分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數為6【考點】多邊形內角與外角【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內角和定理即可解決問題【解答】解：多邊形的外角和是360度，多邊形的內角和是外角和的2倍，則內角和是720度，720180+2=6，這個多邊形是六邊形故答案為：65.（2016湖北隨州3分）如圖，在ABC中，ACB=90，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD=BD，連接DM、DN、MN若AB=6，則DN=3【考點】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質【分析】連接CM，根據三角形中位線定理得到NM=CB，MNBC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN=CM，根據直角三角形的性質得到CM=AB=3，等量代換即可【解答】解：連接CM，M、N分別是AB、AC的中點，NM=CB，MNBC，又CD=BD，MN=CD，又MNBC，四邊形DCMN是平行四邊形，DN=CM，ACB=90，M是AB的中點，CM=AB=3，DN=3，故答案為：36.（2016湖北武漢3分）如圖，在ABCD中，E為邊CD上一點，將ADE沿AE折疊至ADE處，AD與CE交于點F若B52，DAE20，則FED的大小為_【考點】平行四邊形的性質【答案】36【解析】四邊形ABCD為平行四邊形，DB52，由折疊的性質得：EAD，DAE20，AED，AED180DAED1802052108，AEFDDAE522072，FED10872367. （2016江西3分）如圖所示，在ABCD中，C=40，過點D作AD的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則BEF的度數為50【考點】平行四邊形的性質【分析】由“平行四邊形的對邊相互平行”、“兩直線平行，同位角相等”以及“直角三角形的兩個銳角互余”的性質進行解答【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，DCAB，C=ABF又C=40，ABF=40EFBF，F=90，BEF=9040=50故答案是：508. （2016四川攀枝花）如果一個正六邊形的每個外角都是30，那么這個多邊形的內角和為1800【考點】多邊形內角與外角【分析】根據正多邊形的性質，邊數等于360除以每一個外角的度數，然后利用多邊形的內角和公式計算內角和即可【解答】解：一個多邊形的每個外角都是30，n=36030=12，則內角和為：（122）180=1800故答案為：1800【點評】本題主要考查了利用外角求正多邊形的邊數的方法以及多邊形的內角和公式，解題的關鍵是掌握任意多邊形的外角和都等于360度9.（2016黑龍江龍東3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請你添加一個條件EB=DC，使四邊形DBCE是矩形【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質【分析】利用平行四邊形的判定與性質得到四邊形DBCE為平行四邊形，結合“對角線相等的平行四邊形為矩形”來添加條件即可【解答】解：添加EB=DC理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，且AD=BC，DEBC，又DE=AD，DE=BC，四邊形DBCE為平行四邊形又EB=DC，四邊形DBCE是矩形故答案是：EB=DC10（2016黑龍江龍東3分）已知：在平行四邊形ABCD中，點E在直線AD上，AE=AD，連接CE交BD于點F，則EF：FC的值是或【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質【分析】分兩種情況：當點E在線段AD上時，由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得EFDCFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；當當點E在射線DA上時，同得：EFDCFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值【解答】解：AE=AD，分兩種情況：當點E在線段AD上時，如圖1所示四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AD=BC，EFDCFB，EF：FC=DE：BC，AE=AD，DE=2AE=AD=BC，DE：BC=2：3，EF：FC=2：3；當點E在線段DA的延長線上時，如圖2所示：同得：EFDCFB，EF：FC=DE：BC，AE=AD，DE=4AE=AD=BC，DE：BC=4：3，EF：FC=4：3；綜上所述：EF：FC的值是或；故答案為：或11（2016黑龍江齊齊哈爾3分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當的條件ACBC或AOB=90或AB=BC使其成為菱形（只填一個即可）【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質【分析】利用菱形的判定方法確定出適當的條件即可【解答】解：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，添加一個適當的條件為：ACBC或AOB=90或AB=BC使其成為菱形故答案為：ACBC或AOB=90或AB=BC12（2016黑龍江齊齊哈爾3分）如圖，若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對邊CD相切于點D，則C=45度【考點】切線的性質；平行四邊形的性質【分析】連接OD，只要證明AOD是等腰直角三角形即可推出A=45，再根據平行四邊形的對角相等即可解決問題【解答】解；連接ODCD是O切線，ODCD，四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABOD，AOD=90，OA=OD，A=ADO=45，C=A=45故答案為45三、 解答題1. （2016吉林7分）圖1，圖2都是88的正方形網格，每個小正方形的頂點成為格點，每個小正方形的邊長均為1，在每個正方形網格中標注了6個格點，這6個格點簡稱為標注點（1）請在圖1，圖2中，以4個標注點為頂點，各畫一個平行四邊形（兩個平行四邊形不全等）；（2）圖1中所畫的平行四邊形的面積為6【考點】作圖應用與設計作圖；平行四邊形的性質【分析】（1）根據平行四邊形的判定，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可在圖1和圖2中按要求畫出平行四邊形；（2）根據平行四邊形的面積公式計算【解答】解：（1）如圖1，如圖2；（2）圖1中所畫的平行四邊形的面積=23=6故答案為62. （2016吉林8分）（1）如圖1，在RtABC中，ABC=90，以點B為中心，把ABC逆時針旋轉90，得到A1BC1；再以點C為中心，把ABC順時針旋轉90，得到A2B1C，連接C1B1，則C1B1與BC的位置關系為平行；（2）如圖2，當ABC是銳角三角形，ABC=（60）時，將ABC按照（1）中的方式旋轉，連接C1B1，探究C1B1與BC的位置關系，寫出你的探究結論，并加以證明；（3）如圖3，在圖2的基礎上，連接B1B，若C1B1=BC，C1BB1的面積為4，則B1BC的面積為6【考點】幾何變換綜合題【分析】（1）根據旋轉的性質得到C1BC=B1BC=90，BC1=BC=CB1，根據平行線的判定得到BC1CB1，推出四邊形BCB1C1是平行四邊形，根據平行四邊形的性質即可得到結論；（2）過C1作C1EB1C于E，于是得到C1EB=B1CB，由旋轉的性質得到BC1=BC=B1C，C1BC=B1CB，等量代換得到C1BC=C1EB，根據等腰三角形的判定得到C1B=C1E，等量代換得到C1E=B1C，推出四邊形C1ECB1是平行四邊形，根據平行四邊形的性質即可得到結論；（3）設C1B1與BC之間的距離為h，由已知條件得到=，根據三角形的面積公式得到=，于是得到結論【解答】解：（1）平行，把ABC逆時針旋轉90，得到A1BC1；再以點C為中心，把ABC順時針旋轉90，得到A2B1C，C1BC=B1BC=90，BC1=BC=CB1，BC1CB1，四邊形BCB1C1是平行四邊形，C1B1BC，故答案為：平行；（2）證明：如圖，過C1作C1EB1C，交BC于E，則C1EB=B1CB，由旋轉的性質知，BC1=BC=B1C，C1BC=B1CB，C1BC=C1EB，C1B=C1E，C1E=B1C，四邊形C1ECB1是平行四邊形，C1B1BC；（3）由（2）知C1B1BC，設C1B1與BC之間的距離為h，C1B1=BC，=，S=B1C1h，S=BCh，=，C1BB1的面積為4，B1BC的面積為6，故答案為：62.（2016湖北荊州10分）如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點，四邊形OABC是平行四邊形，FAB=15，連接OF交AB于點E，過點C作OF的平行線交AB的延長線于點D，延長AF交直線CD于點H（1）求證：CD是半圓O的切線；（2）若DH=63，求EF和半徑OA的長【分析】（1）連接OB，根據已知條件得到AOB是等邊三角形，得到AOB=60，根據圓周角定理得到AOF=BOF=30，根據平行線的性質得到OCCD，由切線的判定定理即可得到結論；（2）根據平行線的性質得到DBC=EAO=60，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根據相似三角形的性質得到，求得EF=2，根據直角三角形的性質即可得到結論【解答】解：（1）連接OB，OA=OB=OC，四邊形OABC是平行四邊形，AB=OC，AOB是等邊三角形，AOB=60，FAD=15，BOF=30，AOF=BOF=30，OFAB，CDOF，CDAD，ADOC，OCCD，CD是半圓O的切線；（2）BCOA，DBC=EAO=60，BD=BC=AB，AE=AD，EFDH，AEFADH，DH=63，EF=2，OF=OA，OE=OA（2），AOE=30，=，解得：OA=2【點評】本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，連接OB構造等邊三角形是解題的關鍵3.（2016陜西）如圖，在ABCD中，連接BD，在BD的延長線上取一點E，在DB的延長線上取一點F，使BF=DE，連接AF、CE求證：AFCE【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質【分析】由平行四邊形的性質得出ADBC，AD=BC，證出1=2，DF=BE，由SAS證明ADFCBE，得出對應角相等，再由平行線的判定即可得出結論【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AD=BC，1=2，BF=DE，BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在ADF和CBE中，ADFCBE（SAS），AFD=CEB，AFCE4.（2016山東省菏澤市3分）如圖，點O是ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）若M為EF的中點，OM=3，OBC和OCB互余，求DG的長度【考點】平行四邊形的判定與性質【分析】（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EFBC且EF=BC，DGBC且DG=BC，從而得到DE=EF，DGEF，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）先判斷出BOC=90，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出EF即可【解答】解：（1）D、G分別是AB、AC的中點，DGBC，DG=BC，E、F分別是OB、OC的中點，EFBC，EF=BC，DE=EF，DGEF，四邊形DEFG是平行四邊形；（2）OBC和OCB互余，OBC+OCB=90，BOC=90，M為EF的中點，OM=3，EF=2OM=6由（1）有四邊形DEFG是平行四邊形，DG=EF=6【點評】此題是平行四邊形的判定與性質題，主要考查了平行四邊形的判定和性質，三角形的中位線，直角三角形的性質，解本題的關鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形5.（2016山東省濱州市10分）如圖，BD是ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F，G，連接ED，DG（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；（2）若ABC=30，C=45，ED=2，點H是BD上的一個動點，求HG+HC的最小值【考點】平行四邊形的判定與性質；角平分線的性質【分析】（1）結論四邊形EBGD是菱形只要證明BE=ED=DG=GB即可（2）作EMBC于M，DNBC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RTEMC中，求出EM、MC即可解決問題【解答】解：（1）四邊形EBGD是菱形理由：EG垂直平分BD，EB=ED，GB=GD，EBD=EDB，EBD=DBC，EDF=GBF，在EFD和GFB中，EFDGFB，ED=BG，BE=ED=DG=GB，四邊形EBGD是菱形（2）作EMBC于M，DNBC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RTEBM中，EMB=90，EBM=30，EB=ED=2，EM=BE=，DEBC，EMBC，DNBC，EMDN，EM=DN=，MN=DE=2，在RTDNC中，DNC=90，DCN=45，NDC=NCD=45，DN=NC=，MC=3，在RTEMC中，EMC=90，EM=MC=3，EC=10HG+HC=EH+HC=EC，HG+HC的最小值為10【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、角平分線的性質、垂直平分線的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是利用對稱找到點H的位置，屬于中考常考題型6.（2016廣西桂林8分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E，F分別是OA，OC的中點，連接BE，DF（1）根據題意，補全原形；（2）求證：BE=DF【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質【分析】（1）如圖所示；（2）由全等三角形的判定定理SAS證得BEODFO，得出全等三角形的對應邊相等即可【解答】（1）解：如圖所示：（2）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，OB=OD，OA=OC又E，F分別是OA、OC的中點，OE=OA，OF=OC，OE=OF在BEO與DFO中，BEODFO（SAS），BE=DF7.（2016廣西百色8分）已知平行四邊形ABCD中，CE平分BCD且交AD于點E，AFCE，且交BC于點F（1）求證：ABFCDE；（2）如圖，若1=65，求B的大小【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，ADBC，B=D，得出1=DCE，證出AFB=1，由AAS證明ABFCDE即可；（2）由（1）得1=DCE