第3講 導數與函數的單調性、極值、最值問題,高考定位 高考對本內容的考查主要有：(1)導數的運算是導數應用的基礎，要求是B級，熟練掌握導數的四則運算法則、常用導數公式，一般不單獨設置試題，是解決導數應用的第一步；(2)利用導數研究函數的單調性與極值是導數的核心內容，要求是B級，對應用導數研究函數的單調性與極值要達到相等的高度.,真 題 感 悟,考 點 整 合,1.導數與函數的單調性,(1)函數單調性的判定方法：設函數yf(x)在某個區間內可導，如果f(x)0，則yf(x)在該區間為增函數；如果f(x)0，則yf(x)在該區間為減函數. (2)函數單調性問題包括：求函數的單調區間，常常通過求導，轉化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；利用單調性證明不等式或比較大小，常用構造函數法.,2.極值的判別方法,當函數f(x)在點x0處連續時，如果在x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極小值.也就是說x0是極值點的充分條件是點x0兩側導數異號，而不是f(x)0.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點，而且極值是一個局部概念，極值的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小.,3.閉區間上函數的最值,在閉區間上連續的函數，一定有最大值和最小值，其最大值是區間的端點處的函數值和在這個區間內函數的所有極大值中的最大者，最小值是區間端點處的函數值和在這個區間內函數的所有極小值中的最小者.,探究提高 討論函數的單調性其實質就是討論不等式的解集的情況.大多數情況下，這類問題可以歸結為一個含有參數的一元二次不等式的解集的討論，常需依據以下標準分類討論：(1)二次項系數為0、為正、為負，目的是討論開口方向；(2)判別式的正負，目的是討論對應二次方程是否有解；(3)討論兩根差的正負，目的是比較根的大小；(4)討論兩根與定義域的關系，目的是根是否在定義域內.另外，需優先判斷能否利用因式分解法求出根.,微題型2 已知函數的單調區間求參數范圍 【例12】 已知aR，函數f(x)(x2ax)ex(xR，e為自然對數的底數). (1)當a2時，求函數f(x)的單調遞增區間； (2)若函數f(x)在(1，1)上單調遞增，求a的取值范圍； (3)函數f(x)是否為R上的單調函數？若是，求出a的取值范圍？若不是，請說明理由.,(2)因為函數f(x)在(1，1)上單調遞增，所以f(x)0對x(1，1)都成立.因為f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0對x(1，1)都成立.,(3)若函數f(x)在R上單調遞減，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立.因為ex0，所以x2(a2)xa0對xR都成立.所以(a2)24a0，即a240，這是不可能的.故函數f(x)不可能在R上單調遞減.,若函數f(x)在R上單調遞增，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立，因為ex0，所以x2(a2)xa0對xR都成立.而(a2)24aa240，故函數f(x)不可能在R上單調遞增. 綜上，可知函數f(x)不可能是R上的單調函數.,探究提高 (1)已知函數的單調性，求參數的取值范圍，應用條件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出參數的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應注意參數的取值是f(x)不恒等于0的參數的范圍. (2)可導函數f(x)在某個區間D內單調遞增(或遞減)，轉化為恒成立問題時，常忽視等號這一條件，導致與正確的解法擦肩而過，注意，這里“”一定不能省略.,解 (1)當a0時，f(x)xxln x，f(x)ln x， 所以f(e)0，f(e)1. 所以曲線yf(x)在點(e，f(e)處的切線方程為yxe， 即xye0.,熱點二 利用導數研究函數的極值 【例2】 (2016蘇、錫、常、鎮調研)設函數f(x)x2exk(x2ln x)(k為實常數，e2.718 28是自然對數的底數). (1)當k1時，求函數f(x)的最小值； (2)若函數f(x)在(0，4)內存在三個極值點，求k的取值范圍.,探究提高 極值點的個數，一般是使f(x)0方程根的個數，一般情況下導函數若可以化成二次函數，我們可以利用判別式研究，若不是，我們可以借助導函數的性質及圖象研究.,【訓練2】 設函數f(x)ax32x2xc. (1)當a1，且函數圖象過 (0，1)時，求函數的極小值； (2)若f(x)在R上無極值點，求a的取值范圍.,熱點三 利用導數研究函數的最值 【例3】 (2015南京、鹽城模擬)設函數f(x)x3kx2x(kR). (1)當k1時，求函數f(x)的單調區間； (2)當k0時，求函數f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.,解 f(x)3x22kx1. (1)當k1時，f(x)3x22x1，41280， 所以f(x)0恒成立，故f(x)在R上單調遞增. 故函數f(x)的單調增區間為(，)，無單調減區間.,(2)當k0時，對xk，k，都有 f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(x21)(xk)0， 故f(x)f(k)； f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(xk)(x22kx2k21)(xk)(xk)2k210， 故f(x)f(k).而f(k)k0，f(k)2k3k0， 所以f(x)maxf(k)2k3k，f(x)minf(k)k.,探究提高 含參數的函數的極值(最值)問題常在以下情況下需要分類討論： (1)導數為零時自變量的大小不確定需要討論；(2)導數為零的自變量是否在給定的區間內不確定需要討論；(3)端點處的函數值和極值大小不確定需要討論；(4)參數的取值范圍不同導致函數在所給區間上的單調性的變化不確定需要討論.,1.如果一個函數具有相同單調性的區間不止一個，這些單調區間不能用“”連接，而只能用逗號或“和”字隔開. 2.可導函數在閉區間a，b上的最值，就是函數在該區間上的極值及端點值中的最大值與最小值.,3.可導函數極值的理解,(1)函數在定義域上的極大值與極小值的大小關系不確定，也有可能極小值大于極大值； (2)對于可導函數f(x)，“f(x)在xx0處的導數f(x0)0”是“f(x)在xx0處取得極值”的必要不充分條件； (3)注意導函數的圖象與原函數圖象的關系，導函數由正變負的零點是原函數的極大值點，導函數由負變正的零點是原函數的極小值點.,4.求函數的單調區間時，若函數的導函數中含有帶參數的有理因式，因式根