數學歸納法典型例題一. 教學內容：高三復習專題：數學歸納法二. 教學目的掌握數學歸納法的原理及應用三. 教學重點、難點數學歸納法的原理及應用四. 知識分析【知識梳理】數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法，在高等數學中有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數學歸納法去證明現代的結論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考查，既要求歸納發現結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。 一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行： （1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n = n 0時命題成立； （2）（歸納遞推）假設n = k（）時命題成立，證明當時命題也成立。 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數n都成立。上述證明方法叫做數學歸納法。 數學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數成立，就能保證該命題對后繼正整數都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數學歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真偽，而是證明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。【要點解析】 1、用數學歸納法證明有關問題的關鍵在第二步，即nk1時為什么成立，nk1時成立是利用假設nk時成立，根據有關的定理、定義、公式、性質等數學結論推證出nk1時成立，而不是直接代入，否則nk1時也成假設了，命題并沒有得到證明。 用數學歸納法可證明有關的正整數問題，但并不是所有的正整數問題都是用數學歸納法證明的，學習時要具體問題具體分析。 2、運用數學歸納法時易犯的錯誤 （1）對項數估算的錯誤，特別是尋找nk與nk1的關系時，項數發生什么變化被弄錯。 （2）沒有利用歸納假設：歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。 （3）關鍵步驟含糊不清，“假設nk時結論成立，利用此假設證明nk1時結論也成立”，是數學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環節，對推導的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規范性。【典型例題】 例1. 用數學歸納法證明：時，。解析：當時，左邊，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。假設時等式成立，即有，則當時，所以當時，等式也成立。由，可知，對一切等式都成立。點評：（1）用數學歸納法證明與自然數有關的一些等式，命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由到時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。（2）在本例證明過程中，（I）考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值代入通項，考察命題的真假，（II）步驟在由到的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數學歸納法。本題證明時若利用數列求和中的拆項相消法，即，則這不是歸納假設，這是套用數學歸納法的一種偽證。（3）在步驟的證明過程中，突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是明確時證明的目標，充分考慮由到時，命題形式之間的區別和聯系。 例2. 。解析：（1）當時，左邊，右邊，命題成立。（2）假設當時命題成立，即，那么當時，左邊。上式表明當時命題也成立。由（1）（2）知，命題對一切正整數均成立。 例3. 用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數n，不等式成立。解析：當時，左=，右，左右，不等式成立。假設時，不等式成立，即，那么當時，時，不等式也成立。由，知，對一切大于1的自然數n，不等式都成立。點評：（1）本題證明命題成立時，利用歸納假設，并對照目標式進行了恰當的縮小來實現，也可以用上歸納假設后，證明不等式成立。（2）應用數學歸納法證明與非零自然數有關的命題時要注意兩個步驟缺一不可，第步成立是推理的基礎，第步是推理的依據（即成立，則成立，成立，從而斷定命題對所有的自然數均成立）。另一方面，第步中，驗證中的未必是1，根據題目要求，有時可為2，3等；第步中，證明時命題也成立的過程中，要作適當的變形，設法用上歸納假設。 例4. 若不等式對一切正整數n都成立，求正整數a的最大值，并證明你的結論。解析：取，。令，得，而，所以取，下面用數學歸納法證明，（1）時，已證結論正確（2）假設時，則當時，有，因為，所以，所以，即時，結論也成立，由（1）（2）可知，對一切，都有，故a的最大值為25。 例5. 用數學歸納法證明：能被9整除。解析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假設能被9整除，則能被9整除。由（1）（2）知，對一切，命題均成立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，則時時也能被9整除。由（1），（2）可知，對任何，能被9整除。點評：證明整除性問題的關鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證。 例6. 求證：能被整除，。解析：（1）當時，命題顯然成立。（2）設時，能被整除，則當時，。由歸納假設，上式中的兩項均能被整除，故時命題成立。由（1）（2）可知，對，命題成立。 例7. 平面內有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成個部分。解析：時，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立。假設時，個圓將平面分成個部分，當時，第k+1個圓交前面k個圓于2k個點，這2k個點將圓分成2k段，每段將各自所在區域一分為二，于是增加了2k個區域，所以這k+1個圓將平面分成個部分，即個部分。故時，命題成立 。由，可知，對命題成立。 點評：用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k+1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數學歸納法證明幾何命題的一大技巧。 例8. 設，是否存在關于自然數n的函數，使等式對于的一切自然數都成立？并證明你的結論。解析：當時，由，得，當時，由，得，猜想。下面用數學歸納法證明：當時，等式恒成立。當時，由上面計算知，等式成立。假設成立，那么當時，當時，等式也成立。由知，對一切的自然數n，等式都成立。故存在函數，使等式成立。點評：（1）歸納、猜想時，關鍵是尋找滿足條件的與n的關系式，猜想的關系未必對任意的都滿足條件，故需用數學歸納法證明。（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出，即。【模擬試題】 1. 用數學歸納法證明“當n為正奇數時，能被整除”時，第二步歸納假設應寫成 A. 假設時，命題成立B. 假設時，命題成立C. 假設時，命題成立D. 假設時，命題成立 2. 證明，假設時成立，當1時，左端增加的項數是 A. 1項 B. 項 C. k項 D. 項 3. 記凸k邊形的內角和為，則凸邊形的內角和（ ） A. B. C. D. 4. 某個命題與自然數n有關，若時命題成立，那么可推得當時該命題也成立，現已知當時，該命題不成立，那么可推得 A. 當時，該命題不成立B. 當時，該命題成立C. 當n=4時，該命題不成立D. 當n=4時，該命題成立 5. 用數學歸納法證明時，由到時，不等式左邊應添加的項是 A. B. C. D. 6. （5分）在數列中，且，2成等差數列（表示數列的前n項和），則，分別為_；由此猜想_。 7. （5分）已知對一切都成立，那么a=_，b=_，c=_。 8. （14分）由下列各式：，你能得出怎樣的結論？并進行證明。 9. （16分）設數列滿足，。（1）證明：對一切正整數n均成立；（2）令，判斷與的大小，并說明理由。 10. （14分）已知函數，設數列滿足，數列滿足，。（1）用數學歸納法證明（2）證明：。 11. （16分）（2006年，江西）已知數列滿足：，且。（1）求數列的通項公式；（2）證明：對一切正整數n，不等式恒成立。 【試題答案】 1. B 2. D 3.