1、放縮法在數列不等式中的應用數列不等式是高考大綱在知識點交匯處命題精神的重要體現，在高考試題中占有重要地位，在近幾年的高考試題中，多個省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數列不等式的求解常常用到放縮法，筆者在教學過程中發現學生在用放縮法處理此類問題時，普遍感到困難，找不到解題思路。現就放縮法在數列不等式求解過程中常見的幾種應用類型總結如下。1. 直接放縮，消項求解例1在數列中,且成等差數列,成等比數列. ,（）求及,由此猜測的通項公式,并證明你的結論;（）證明:.分析：（）數學歸納法。 （）本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積，可將其放縮為等差型兩項之積，通過裂項求和。（）略解（）n2時，由（）

2、知故，綜上，原不等式成立 點評： 數列和式不等式中，若數列的通項為分式型，可考慮對其分母進行放縮，構造等差型因式之積。再用裂項的方法求解。另外，熟悉一些常用的放縮方法，如：,例2設數列滿足其中為實數（）證明：對任意成立的充分必要條件是；（）設，證明：;分析：（）數學歸納法證明（）結論可變形為，即不等式右邊為一等比數列通項形式，化歸思路為對 用放縮法構造等比型遞推數列，即解：（）解略。（）設 ，當時，結論成立，當 時， ,由（1）知，所以 且 點評：直接對多項式放大后，得到的是等比型遞推數列，再逐項遞推得到結論。通過放縮得到等比型遞推數列是求解數列不等式的另一個重要的類型。2. 利用基本不等式放

3、縮例3已知數列，記，求證：當時，（）；（）；（）。分析：（）在的條件下，的等價形式為，要證，只需證即證，可用數學歸納法證明（）由 累加及可得（）和式通項的分母由 累乘得到的，條件中可有得到，但 的分子分母次數不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數列（）解略。（）解略。（）證明：由，得所以，于是，故當時，又因為，所以點評：本題第三問，基本不等式的應用使構造等比型遞推數列成為可能，在公比時，等比數列的前 項和趨向于定值，即前項和有界，這為數列和式范圍的證明提供了思路。3. 利用數列的單調性放縮例4 數列為非負實數列，且滿足：，求證：分析：有時數列不等式的證明可以在數列單調性的前提下進行放縮。證明

4、：若有某個，則，從而從起，數列單調遞增，和會隨n的增大而趨向于無窮，與矛盾，所以是單調遞減的數列，即，令由得，即由于故。點評：本題考慮了數列，的單調性，然后利用放縮法進行證明。又如，例3的第三問也可用單調性證明：及，要證,只要證，即而所以問題得證4. 放縮法在數學歸納法的應用數列不等式是與自然數有關的命題，數學歸納法是證明與自然數有關的命題的重要方法。應用數學歸納法證明時，通常要利用放縮法對條件進行適當的轉化，才能實現由時成立到時也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發現，在數列不等式的求解過程中，通過放縮法的應用，主要使數列不等式轉化為以下兩種類型：（1）可直接裂項的形式，再求和證明求解。（等差型）（2）等比型遞推數列，時，數列前項和有界。（等比型）數列不等式是一類綜合性較強的問題，我們可以利用上述思路對數列不等式進行分析、求解。在解題過程中要充分挖掘題設條件信息，把條件合理